第六章 空間力系

1、第六章第六章 空間力系空間力系空間力系：空間力系：力的作用線是空間分布的力系?？臻g一般力系6-2 力在直角坐標軸的分解和投影一、力在直角坐標軸上的投影a)一次投影法（直接投影法）cosFY cosFZ cosFX 空間匯交力系空間平行力系6-1 工程中的空間力系問題b) 二次投影法（間接投影法）力F投影z軸上投影當力F與坐標軸Ox、Oy間的夾角不易確定時坐標平面 Oxy上，力矢量力矢量Fxyx和y 軸上投影cossinFX sinsinFY cosFZ 二、力沿直角坐標軸的分解以 、 、 表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量xFyFzFkjiFFFFZYXzyx力F在坐標軸上的投影和力沿坐

2、標軸的正交分矢量間的關(guān)系可表示為：jFYykFZziFXx大小方向余弦222ZYXF力F的FY),cos(jFFZ),cos(kFFX),cos(iF例61 如圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力 的作用。已知斜齒輪的齒傾角(螺旋角) 和壓力角 ，以求力 沿 x、y和z軸的分力。nFnF解：先將力Fn向z軸和Oxy平面投影，得sinnFZcosnxyFF再將力 向x、y軸投影，得xyFsincossinnxyFFXcoscoscosnxyFFY則力 沿各軸的分力為nFjFcoscosnyFkFsinnzFiFsincosnxF例62 已知力沿直角坐標軸的解析式為 試求這個力的大小和方向，并作圖表示

3、。)(54kNkjiF 3解：3X4Y5Z力的大小方向余弦則角度為kNZYXF252225657. 0254),cos(jF7071. 0255),cos(kF4243. 0253),cos(iFo9 .64),(iFo55.55),(jFooo13545180),(kF力F對z軸的矩就是分力Fxy對點O的矩，力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量、是一個代數(shù)量。()()2zoxyxyMMF hOAb FF即6-3 力對軸的矩OAbhFMMxyxyoz2)()(FF絕對值：絕對值：該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩的大小。正負號：正負號：從z軸正端來看，若力的這個投影

4、使物體繞該軸按逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動，則取正號，反之取負號。也可按右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則來確定其正負號，如圖所示，姆指指向與z軸一致為正，反之為負。當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零：(1)當力與軸相交時 (此時h0)；(2)當力與軸平行時 (此時 )。0 xyF力對軸的矩的單位為Nm空間一般力系的空間一般力系的合力矩定理合力矩定理空間任意力系的合力對于任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。()( )zRzMMFFFF根據(jù)合力矩定理，得()()()()zoxyoxoyMMMMFFFF 即yXxYMz)(F力對軸之矩的解析式y(tǒng)XxYMz)(FzYyZMx)(FxZzXMy)(F力作用點A的坐

5、標為A(x，y，z)力在三個坐標軸上的投影分別為X、Y 、Z，力對軸之矩的解析表達式力對軸之矩的解析表達式例63 手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，如圖所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為 。如果CDa，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力F對x、y和z三軸的矩。根據(jù)合力矩定理()()()()cosxxzzMMF ABCDF la FFcos)()(FlBCFMMzzyyFF 解： 解法一將力F沿坐標軸分解()()()()sinzzxxMMF ABCDF la FFsinFFxcosFFzsinFX cosFZ0Y解法二力F在x、y、z

6、軸的投影為力作用點D的坐標為lxaly0zsin)()sin)(0)(alFFalyXxYMzFcos)(0)cos)()(alFFalzYyZMxFcos)cos)(0)(FlFlxZzXMyF空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。222)()()(ZYXFRn1iin21RFFFFFkjiFFFFZYXzyxkjiFiiiRZYX方向余弦合力的大小RRFX),cos(iFRRFY),cos(jFRRFZ),cos(kF6-4 空間一般力系的平衡條件空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系的合力等于零，即0n1iiRFF222)()()(ZYXFR空間匯交力系 的平

7、衡方程0n1iiX0n1iiY0n1iiZ空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。（三個方程，可（三個方程，可求解三個未知量）求解三個未知量） 例64 如圖所示，用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的點C和D，連線CD平行于x軸。已知：CE=EBDE， 。CDB平面與水平面間的夾角 ，物重 。如起重桿的重量不計，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。o3010PkN30oEBF解：取起重桿AB與重物為研究對象。取坐標軸如圖所示。由已知條件知：45oCBEDBE 列平衡方程120,sin4

8、5sin450ooXFF120,sin30cos45 cos30cos45 cos300oooAooYFFF030cos30sin45cos30sin45cos, 021PFFFZoAoooo解得kNFF54. 321kNFA66. 8空間力偶對剛體剛體的作用效果決定于下列三個因素(2)力偶作用面的方位；(1)力偶矩的大?。?3)力偶的轉(zhuǎn)向。矢的指向指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則。注：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。注：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所決定?？臻g力偶用一個矢量，力偶矩矢M表示：矢的長度長度表示力偶矩的大小矢的方位方位與力偶作用面的法線方位相同，空間力偶系

9、的合成與平衡條件空間力偶系的合成與平衡條件任意個空間分布的力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即niin211MMMMM合力偶矩矢的解析表達式為xyzMMMMijkniin211MMMMMn1iixnx2x1xxMMMMMn1iiyny2y1yyMMMMMn1iiznz2z1zzMMMMM合力偶矩矢的大小方向余弦222)()()(iziyixMMMMMMy),cos(jMMMz),cos(kMMMx),cos(iM空間力偶系平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即01niiM由上式，有222()()()0ixiyizMMMM欲

10、使上式成立，必須同時滿足空間力偶系的平衡方程niizM10niixM10niiyM10空間力偶系平衡的必要和充分條件為：該力偶系中所有各力偶矩矢在三個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。（三個獨立的平衡方（三個獨立的平衡方程，求解三個未知量）程，求解三個未知量）空間任意力系向一點的簡化主矢和主矩力的平移定理22FFnnFF11FF)(1O1FMM )(2O2FMM )(nOnFMM 空間任意力系空間匯交力系空間力偶系空間匯交力系空間匯交力系合成一力力，作用線通過點O，其大小和方向等于力系的主矢主矢，即kjiFFFniiniiniiniiniiRZYX11111空間力偶系空間力偶系合成為一力偶力偶，

11、等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等于原力系各力對于點O之矩的矢量和，即原力系對點對點O的主矩的主矩11()nnoioiiiMMMF力系主矢的大小RRFY),cos(jF FRRFZ),cos(kF F222)()()(ZYXFRRRFX),cos(iF F方向余弦力系對點O的主矩的大小222 )( )( )(FFFzyxoMMMMoxoMM)(),cos(FiMoyoMM)(),cos(FjMozoMM)(),cos(FkM方向余弦飛機在飛行時受到重力、升力、推力和阻力等力組成的空間任意力系的作用。將力系向飛機的重心O簡化。力 三個作用于重心O的正交分力RF力偶矩矢 三個繞坐標軸的分力偶OMRx

12、FRyFRzF有效推進力；有效升力；側(cè)向力；OxMOyMOzM滾轉(zhuǎn)力矩；偏航力矩；俯仰力矩?？臻g任意力系平衡的必要和充分條件是：這力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零，即0,0Ro FM222)()()(ZYXFR222 )( )( )(FFFzyxoMMMM可將上述條件寫成空間任意力系的平衡方程0X 0Y 0Z ( )0 xMF F( )0yMF F( )0zMF F注：1.與平面力系相同，空間力系的平衡方程也有其它的形式。2.六個獨立的平衡方程，求解六個未知量。3.可以從空間任意力系的普遍平衡規(guī)律中導出特殊情況的平衡規(guī)律，例如空間平行力系、空間匯交力系和平面任意力系等平衡方程。例：設物體受

13、一空間平行力系作用。令z軸與這些力平行，則0X 0Y 0Z ( )0 xMF F( )0yMF F( )0zMF F自動滿足。因此，空間平行力系只有三個平衡方程，即：例65 如圖所示的三輪小車，自重P8kN，作用于點E，載荷 ，作用于點C。求小車靜止時地面對車輪的反力。110PkN解：以小車為研究對象。1()0,0.80.60.61.20yDBMPPFFF1()0,0.21.220 xDMPPFF10,0ABDZPPFFFkNFD8 . 5kNFB777. 7kNFA423. 4解得例66 如圖所示，皮帶的拉力 ，曲柄上作用有鉛垂力F = 2000N。已知皮帶輪的直徑D400mm，曲柄長R30

14、0mm，皮帶 1 和 2 與鉛垂線間夾角分別為 ， 。求皮帶拉力和軸承反力。122FF 30o60o解：以整個軸為研究對象。120,sin30sin600ooAxBxXFFFF120,cos30cos600ooAzBzZFFFFF00, 0Y12()0,cos30200cos602002004000 xooBzMFFFFF12()0,sin30200sin602004000zooBxMFFFF21()0,()02yMDFRFFF 又有122FF 解得NF30001NF60002NFAx10044NFAz9397NFBx3348NFBz1799無論怎樣列方程，獨立平衡方程的數(shù)目只有無論怎樣列方程

15、，獨立平衡方程的數(shù)目只有6個。個。每個方程中最好只包含每個方程中最好只包含個未知量。一般，力矩方程比個未知量。一般，力矩方程比較靈活，常可使一個方程只含一個未知量。較靈活，?？墒挂粋€方程只含一個未知量。為此，在選投影軸時應盡量與其余未知力垂直；在選為此，在選投影軸時應盡量與其余未知力垂直；在選取矩的軸時應盡量與其余的未知力平行或相交。取矩的軸時應盡量與其余的未知力平行或相交。投影軸不必相互垂直、取矩的軸也不必與投影軸投影軸不必相互垂直、取矩的軸也不必與投影軸重合。重合。 例67 如圖所示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P，在A處作用一水平力F，且F=

16、2P。求各桿的內(nèi)力。解：取長方體剛板為研究對象，各支桿均為二力桿，設它們均受拉力。6()0,02ABMaF aPF0, 0)(5FMAEF0, 0)(4FMACF26PF解得（壓力）6122()0,02EFMaaPF aFbabF2()0,02FGMbPFbF bFPF5 . 12解得23()0,cos4502BCoMbPF bFbFPF223解得50F 40F 26PF01F解得65 重心重心1概念及坐標公式概念及坐標公式重力是一個分布力系，可視為空間平行力系。一般所謂重力，就是這個空間平行力系的合力。重心：重心：不變形的物體(剛體)在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線通過的此物

17、體個確定的點。重心在工程實際中具有重要的意義。如重心的位置會影響物體的平衡和穩(wěn)定。通過平行力系的合力可以推導物體重心的坐標公式。這些公式也可用于確定物體的質(zhì)量中心、面積形心和液體的壓力中心等。平行力系中心平行力系中心將物體分割成許多微小體積，每小塊體積為 ，所受重力為 。iViW這些重力組成平行力系iWW合力取直角坐標系Oxyz，使重力及其合力與 z 軸平行。設任一微體的坐標為 xi ， yi ，zi ，重心C的坐標為 xc ， yc ， zc 。根據(jù)合力矩定理，對x軸取矩，有1122()nniiCW yW yW yW yWy 對y軸取矩有1 122nniiCW xW xW xW xWx1 1

18、22()CnniiWzW zW zW zW z 將物體連同坐標系一起繞x軸順時針轉(zhuǎn) ，使y軸向下，再對x軸取矩，得90o由以上三式可得計算重心坐標的公式計算重心坐標的公式，即11niiiCniiW xxW11niiiCniiW yyW11niiiCniiW zzWVVzVVzziiiiiCVVyVVyyiiiiiCVVxVVxxiiiiiC 如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量 常值,以 表示微小體積，物體總體積為 ，將 代入上式，得iVViViiWV 均質(zhì)物體的重心與其單位體積的重量(比重)無關(guān)，僅決定于物體的形狀。這時的重心稱為形心形心。均質(zhì)等厚薄殼的重心（面積的重心）公式iiCyAyAiiCzAzAiiCxAxA注：曲面的重心一般不在曲面上，而相對于曲面位于確定的注：曲面的重心一般不在曲面上，而相對于曲面位于確定的一點。一點。均質(zhì)等截面細長線段的重心（線段的重心）公式iiCylyliiCxlxliiCzlzl注：曲線的重心一般不在曲線上。注：曲線的重心一般不在曲線上。2. 確定物體重心的方法確定物體重心的方法如均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應地在這