平面向量數(shù)量積有答案

1、平面向量數(shù)量積、幾何綜合專題(有答案)平面向量與幾何綜合的題型方法主要有：1 .根據(jù)平面向量線性運算，轉(zhuǎn)化為已知向量的數(shù)量積2 .根據(jù)平面向量基本定理，轉(zhuǎn)化為已知基底，利用數(shù)量積運算律求解3 .給定坐標時，常建立平面直角坐標系，根據(jù)數(shù)量積坐標運算求解二次函數(shù)最值1.已知VABC為直角三角形,uuur uun uuu貝U PC (PA PB)的最小值為(C -,BC26, AC 8,點 P為VABC所在平面內(nèi)一點,A.252B.8D.175根據(jù)Cuur uuu一,以C點建系，設P(x, y)，則pc (pa 2uuu2PB)=2(x 2)22yl25，即當_3 一x=2, y= 2時，取得取小值

2、【詳解】如圖建系，C(0,0), A(8,0), B(0,6),ULUUUU設 P(x,y) , PA (8 x, y) , PB ( x,6 y),uuir uiu uuu則 PC (PA PB) ( x, y) (8 2x,6 2y)222x 8x 2y 6y_ 22(x 2)25252故選:A.2.已知VABC中，AB2,BC 3, ABC 60,BD 2DC, AE EC ,則 ADuuu BE)【答案】CC.-2D.【解析】【分析】uuu uuiruuur uuuuur mu 2 uur BD BA BC 3uurBA,以BA,BC為基底，將AD,BE用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算

3、律，即可求解uuir 2 uur uurBD 2DC, BD - BC, AD 3uuuAE EC, BElot uuu 2 uurAD BE (-BC1 uuur i uuu -BC -BA, 22uuu i uurBA) (-BC1 uuu2 BA)1 uiuf2 i uuir uuu i uuu2 -BC -BC BA -BA 362故選:C.3.在 ABC 中，已知 AB 33, AC2M，點D為BC的三等分點（靠近C),則uruvADuurvBC的取值范圍為A. 3,5B. 5,5C. 5,9D. 5,7【分析】利用向量加法法則把所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量得解.【詳解】uuu uutr一A

4、B,AC的數(shù)重積,再利用余弦函數(shù)求最值,uuur uuur 如圖，AD BCuur uur uuur uuuAC CD AC ABuuur i uuuuur uuuAC -CBAC AB3uuur i uur i uur AC -AB AC 33uuur uuurAC AB2 uuur i uuu uuur uuur-AC -AB AC AB 332 uuur2 i uur2 1 uur uuur -AC AB AB AC333= 8-1 - 33 2 根os BAC 3=7 2cos / BAC / BACC (0,兀), cos/BACC ( 1, 1), -7-2cosZBAC (5,

5、9),【點睛】此題考查了數(shù)量積，向量加減法法則,三角函數(shù)最值等，難度不大.4.已知菱形ABCD的邊長為4,uuurABC 60 , E是BC的中點DFuiur2AF ，貝U故選C.uuur uuirAE BFA. 24B.7C.10D.12【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，將uur uuruur uurAE BF用基底AB, AD表達，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.由已知得uurAF1 uur uunAD , BE 31 uur uuurBC , aduurBC所以uuirAEuuir 1 uuurAB BC2uur 1 uurAB AD ,2uuu uurBF AFuurAB1

6、uuur -AD 3uur AB.因為在菱形ABCD 中，ABC 60所以BAD120又因為菱形ABCD的邊長為4,所uuu uuur 以 AB ADuur uuur| AB| |AD|cos1208,所以uuur uuurAE BFuurAB1 ulu AD2uurAB1 uur AD3uuu . I AB |21 uur -AB6uuuAD1 61AD1uuur168)1 1612 .6故選：D5.在 VABC 中,BAC90 ，ABAC2,urnr uuur uuurBC 2BD， ACuur3AE，則uuurADuuuBE的值為（A.B.八1C.一3D.【分析】先通過平面向量基本定理，

7、將uur uuu巴膽AD, BE ,用基底AB, AC表示,再求解uuuv AD1 uuvAB 2uuuv ACuuv ,BEuuv AEuuuv AB1 uuu/AC 3uuvAB ,uuuvuuv 1uuvuuuv1uuu/uuv 11 uuu/2uu/2ADBE ABACACAB)-AC AB2323【詳解】,故選：A.6.在四邊形 ABCD 中，AD/BC, AB 2，AD 5，BC 3,A 60 ,點E在線段CB的延長線上，且AEBE ,點M在邊CD所在直線上，則ULLUAMLULfME的最大值為A.714B.24C.51D.30【答案】A【解析】【分析】依題意，如圖以 A為坐標原點

8、建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據(jù) AE BE求出E的坐標，求出邊 CD所在直線的方程，設 M x, J3x 5出，利用坐標表示 uuuu uuurAM ,ME ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以 A為坐標原點建立平面直角坐標系，由 AB 2, AD 5, BC 3,A 60 ,A 0,0 , B 1,73 , C 4,73 , D 5,0因為點E在線段CB的延長線上，設 E xO,J3 , xo 1Q AE BE_ 22X，31 x0 解得 x01E 13QC 4,73 , D 5,0CD所在直線的方程為yJ3x 5M因為點M在邊CD所在直線上，故設 M x,

9、J3x 5J3uuuu AMx, . 3x 53uuurME1 x, 3x 4.3uuuu uuur AM ME x 1 x.3x 4,33x 5.324x 26x 6024x2 26x 602,13714 x4413 uuur uuur時 AM ME max714故選：A7.在平面直角坐標系中，A1,a,b R .當 A,B,C 三點共線時,uuuABuuur ,BC的最小值是A. 0B. 1C.近D. 2根據(jù)向量共線的坐標表示可求得2a ,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可知所求數(shù)量積為1,由二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果由題意得:uuuAB a1,1uur ,BCQ A,B,C三點共線,uurBC a 1,1

10、 ,uuu uuur 2AB BC a 1uuu1,即 ABuuuBC的最小值為1.故選：B.本題考查平面向量的坐標運算，涉及到向量共線的坐標表示和數(shù)量積的坐標運算形式，屬于基礎題.8.在銳角VABC中,UUVB 60 ,ABLUVAC八 urt uuv UUV ,2，則AB AC的取值氾圍為（A. 0,12B.4,12C.0,4D. 0,2以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，得到 C的坐標，找出三角形為銳角三角形的A的位置，得到所求范圍.解：以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系,UUV UUU/B 60 , AB ACuuiv BCC(1 向，設 A(x ,0)VABC是銳角三角形

11、，A C 120 ,30 <A< 90 ,即A在如圖白線段 DE上(不與D, E重合)，1<x< 4 ,UUVUUV2121則 ABACX2x (x-)224UUV UUV. AB AC的范圍為(012 .故選：A.9.如圖，在 AOB中,AOB 2OB1 uuur2,點C為AB的中點，OP OC,則uuuuuu uurOP OB的值為（P 7B.C.1D. 1【解析】【分析】利用向量的線性運算化簡uuu uum ，_ ,一OP OB，結(jié)合數(shù)量積的運算，求得uurOPuuu OB的值.【詳解】uuu uuirOP OB1 uuur OC OB故選：Auuir1 uuu

12、OA6uurOBuuu 1 uuuOB OA6uurOBuur2 OB10.在等腰直角三角形ABC 中,uuv900, CA2 ,點P為ABC所在平面上一動點,uuv且滿足BPA.2M0B.0,272C.2,2D.272, 272uuv uuv uuv1，求BP (CA CB)的取值范圍【解析】 【分析】P的坐標，從而求出建立平面直角坐標系，用坐標表不向量，用參數(shù)方程表布點uuv uuv uuvBP CA CB的取值范圍.【詳解】,uuv由|BPI=1知，點P在以B為圓心，半徑為1的圓上,設 P (2+cos 0 , sin 0,) 0 6 0 , 2兀;)uuv uuv又 CA + CB=(

13、2, 2)；uuv . uuv uuv BP ?( CA + CB ) =2cos 0 +2sin 0 =22 sin (9 + ),4“ 一 uuv uuv uuv當。+=,即。=一時，BP ?（ CA+CB）取得最大值4 243 一當 0 + =，即 042uuv- uuv uuv、時，BP ?( CA + CB)取得最小值-2 J2 ,uuv _ uuv uuvBP? (CA+CB)的取值范圍是-2J2, 2 V2 .故選D.11.如圖所示，在 ABC中，AB AC 3,BAC 90o ,點D是BC的中點，且Muuuu點在 ACD的內(nèi)部（不含邊界），若AM1 uuu uuruuuur u

14、uuu /士. 華-AB mAC ,則DM BM的取值范圍 3【解析】1 uuu uurAB mAC ,可得到 33 3uuuu建立如圖所示的坐標系，可知D ,，設M x, y,由 AM2 212 x 1 , y 3m ,結(jié)合m點在 ACD的內(nèi)部（不含邊界），可得- m ,再利用數(shù)量 33積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案. 3 3解：建立如圖所本的坐標系，D -,uuur mAC ,2 21 cx, y 3,0 m 0,3 , 3x 1, y 3m.M點在ACD的內(nèi)部（不含邊界）,716uutur uuuu1332 91 2DM BM -,3m 2,3m1 3m 3m - 9m -m

15、1 9(m -)222241 2uuuir uuuu因為1 m 2,所以DM BM 33，1故答案為 一,2212.如圖，在矩形 ABCD中，AB 3, BCJ3 ,點E為BC的中點，點F在邊CD,uuv uuuv 上，右AB AFL r uuuv uuuv - 口3,則AE BF的值是,9【答案】9 2以AB, AD為x, y軸建立直角坐標系，把向量運算用坐標表示.建立如圖所求的直角坐標系，則uuir BFuuu uuirAE BF3 (2V 39故答案為：2.13.如圖所示，平行四邊形ABCD 中，AB 2AD 2, BAD 60 , E 是 DC 中點,那么向量Av與EBv所成角的余弦值

16、等于【答案】-714unruuuuuu ulut首先利用向量的加減法將 AC , EB分別用AB 和AD表不，再利用利用向量夾角公式計A(0,0), B(3,0), C(3,73), D(0, 73) , EG?)，設_ uuruuur _F(x,避),則 AB (3,0) , AF (x, 73)，uuu uiurAB AF 3x 3，x 1 , uur 3(2,回，又 AE (3,)，2算即可.【詳解】uur uur uur 由題知：AC AB AD ,uuur 2ACuuu2 uuur 2 uuuu uurAB AD 2ABgAD 4uuruuruuruuruuuruuurEBABAEA

17、B(ADDE)uuu 21 uuui2EB -AB 4umr uuuuurACgEB (ABuuu 2 uuu uuirAD ABgAD 1uur i uur uurAD)gAB AD) 21 12 2 17.2uuruuir 1 uuirAB (AD -AB) 211 2 11 .21 uur 2 1 uur uuur-AB - ABgAD1 uur -AB 2uuir AD .uuur 2ADuur uuu cos ACgAEuur uur ACgAE uuur uur AC AE1_2_1,7143故答案為：二144, E, F 分別是 BC, CD14.如圖，在梯形 ABCD 中，AD

18、 “ BC, AB BC 2, AD的中點，若uur uuirAE DEuur uur1，則AF CD的值為【答案】2【解析】【分析】建系，設設 A ，由AE D1r1可得一，進一步得到C、F的坐標，再利用數(shù)量 積的坐標運算即可得到答案【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設D(4,0), B(2cos ,2sin ),E(1 2cos,2sin),C(2 2cos,2sin),uulruuu所以 AE (1 2cos ,2sin ) , de(2cos3,2sin ),uurAEuurDE得(1 2cos )(2cos 3) 4sin2cos12'又0,所以-7

19、 3 uurW，故 C(3,V3),F(亍?)CD 32 2_ uuur(1,、.3),af7、3(2,Ruur uur 7.所以AF CD 322故答案為:2由2.15.如圖,在平面四邊形 ABCD中,AB 3, AD4ADBuuuv uuuvBCD 一,則AC BD的值為 2DB、AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，寫出【分析】 以點D為坐標原點，uuur uuin ,A、B、C、D四點的坐標，并求出向重 AC、BD的坐標，利用坐標法來計算出uuiu uuu AC BD的值.【詳解】如下圖所示，以點 D為坐標原點，DB、AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐 標系，Q AB

20、 3, AD 1, ADB -, BD Jab2 AD22乏，又 CB CD ,且 BCD 一, 2則點 A 0, 1、B 272,0、CBCD是等腰直角三角形,uuu ,ACuuuBDuuu uuu 因止匕，AC BD、,22.2J2 104 ,故答案為4.uuv uuv uuv16.已知VABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA PB PC的最小值是【解析】【分析】建立直角坐標系，求出三角形 ABC各項點白坐標，設出P的坐標，運用向量坐標表示的加法和uuu uuu uuur數(shù)量積運算的公式，化簡PA PB PC，配方最后求出最小值.【詳解】建立如下圖所示白直角坐標系,A(

21、0, J3), B( 1,0), C(1,0),uuuP(x, y)，則有 PA_ uuu(X, . 3 y),PBuuur(1 x, y), PC (1 x, y),uuui uuu uuur_3 2 3PA (PB PC) 2x2 2、3y 2y2 2 x2 y -3-24當x 0 y -I,取得最小值2 23故答案為：-217.如圖，在平行四邊形 ABCD中，APBD,垂足為P,AP 3,點Q是BCD內(nèi)uur uuir(包括邊界)的動點，則 AP?AQ的取值范圍是 【答案】9,18.【解析】【分析】：，一 ,1.1建立平面直角坐標系，Pi 0,0 -3 I ,4尸.T0 = 3y 3 I

22、 , )18.在 ABC中，已知AB 3, AC 2, BAC 1200, D為邊BC的中點.若BE AD，垂足為uuuE，則 BEuurAC的值為入 27【答案】27 7【解析】【分析】過點C作CFuurAD 于 f , BEuuur uuuFC, BEuiurACuuir 2uuurFC ，計算AD'.7，"口方KG,根據(jù)等面積2uur法得到FC【詳解】如圖所示：過點C作CFAD于F ,易知BEDuuuCFD ,故 BEuuurFC ,uurBEuuurACuur uurFC AC cos ACFuuurFCuuuuuurFCAC -uttrACuuuADuuuABuuu

23、rimr 2AC ，故 ADuurAB根據(jù)等面積法:luuruuuAD FCuuuABuur 2FC .uurACuuirADuuu uuur 故 BE ACUULT 2 FC27故答案為:27uuirAC sinBAC ,解得uurFC本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力19.在 ABC中，已知 M是BC的中點，且 AM1 ,點P滿足PA2PMun uirPA (PBuuuPC）的取值范圍是49,4由中點公式的向量形式可得uurPBuurPCuuuuuuu uuu2PM ,即有 PA (PBuuuPC)uur2PAuuuuPM ，uuu設 PM x, APM ,有 PAu

24、uu(PBuur uur uuuir 2 PC) 2PA PM 4x2 cos,再分別討論三點A,P,M共線和不共線時的情況，找到 x,的關系，即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.uuuM是BC的中點，PBuuruuun uuu uuu uuirPC 2PM ，即 PA (PB PC)uuu uuuu 2PA PMuuu uuuu 設 PM x, PA,PMurn uuu uuiruuu uum,于是 PA (PB PC) 2PA PM24x cos當A, P,M共線時，因為AM 1,1 uuu uuuu若點P在AM之間，則PM -, PA,PM 3uuu uuu uuir4，此時，PA (PB PC)

25、;9若點P在AM的延長線上，則 PMuuu uuuu1, PA,PMur uur uuu0，此時，PA (PB PC) 4-(2)當A, P,M不共線時，根據(jù)余弦定理可得,2, 2x 4x 2x 2x cos 1-5x2解得cos54x1,由-1 <cos 8<1 ,解得9,4uur uuu uur22PA (PB PC) 4x cos 5x 1uir uur uuu 4 綜上，PA (PB PC) ,4 9“一 .4 ，故答案為：一 ,420.如圖，已知等腰梯形ABCD 中，AB 2DC 4, AD BCuur uur 則 EF BF的最小值是F是線段BC上的動點,【解析】【分析

26、】 以AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，用解析法將目標式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，求得函數(shù) 的值域，即可求得結(jié)果.以AB中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如下圖所示:由題可知，E 0,亞，C 1,亞,B 2,0 ,uur uur設 CF CB,0,1 ,故可得 F1,J2 J2uuu 則EF1, .2uuur ,BFuuu uur 2故可得EF BF 321,1,、.2 ,20,1 ，1因y 3 2 21的對稱軸，3uuur uuur11故可得EF BF的取小值為32193，4故答案為：一.3_uuu21 .在平面上，正方形ABCD的邊長為 J2 , BD中點為E,點P滿足| PE | 1 ,則uu

27、r uuurAP AC最大值是作出草圖，根據(jù)題意，點 P位于正方形uuur uuur 1一ABCD的外接圓圓E上，當AP AC最大時,uur , uuur ,一 一，, 一八 一，一一 一 一，一，AP與AC的夾角為0，點P與點C重合，再根據(jù)數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】uuu如圖根據(jù)題意，點 E為BD中點，且|PE | 1;所以點P在正方形ABCD的外接圓圓E上;uuir uur 又 AP ACuuur uuurAP AC cos ，其中uur .為AP與AC的夾角;2所以當 0時，有最大值，此時點 p與點C重合;uur uuiruuur 2AP ACAC 4.max22.設正 ABC的面積為2,邊AB, AC的中點分別為 D,E , M為線段DE上的動點,uuir 則MBuun uu2 AMC BC的取小值為2【解析】試題分析：設正 ABC的邊長為2a,因為正ABC的面積為2,所以a2 還3設 MD x,(0 x a),則 MEuuur uuuruun uuuuuuu uuuruuruunMB MCBC(MDDBRMEEC)BCuuur uuuruuuu