第一節(jié)重積分的概念及其性質(zhì)ppt課件

1、第十章一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重重 積積 分分 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 第十章 解法解法: 類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體給定曲頂柱體:0),( yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平

2、行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面求其體積求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” D),(yxfz D),(yxfz 1)“大化小大化小”用任意曲線網(wǎng)分用任意曲線網(wǎng)分D為為 n 個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域n ,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)個(gè)2)“常代變常代變”在每個(gè)在每個(gè)k , ),(kk 3)“3)“近似和近似和” nkkVV1 nkkkkf1),( ),(kkf ),2,1(),(nkfVkkkk 那那么么中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn)小曲頂柱體小曲頂柱體k ),(kk 4)“4)“取極限取極限”的的直直徑徑為為定定義義k kk,PPPP 2

3、121max)(令令 )(max1knk nkkkkfV10),(lim D),(yxfz ),(kkf k ),(kk 2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片有一個(gè)平面薄片, 在在 xoy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為度為),(),(常數(shù)常數(shù)若若 yx設(shè)設(shè)D 的面積為的面積為 ,那么那么 M假設(shè)假設(shè)),(yx 非常數(shù)非常數(shù) , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代變常代變,近似和近似和, 求求 極限極限” 處置處置.1)“大化小大化小”用任意曲線網(wǎng)分用任意曲線網(wǎng)分D 為為 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域,21n 相應(yīng)把薄片也分

4、為小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx,),(Cyx 2)“常代變常代變”中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn)k 在每個(gè)在每個(gè)),(kk 3)“近似和近似和” nkkMM1 nkkkk1),( 4)“取極限取極限” )(max1knk 令令 nkkkkM10),(lim k ),(kk ),2,1(),(nkMkkkk 則第則第 k 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量yx兩個(gè)問題的共性：兩個(gè)問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和,取極限取極限” nkkkkfV10),(lim nkkkkM10),(lim 曲頂柱體

5、體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)設(shè)將區(qū)域?qū)^(qū)域 D 任意分成任意分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域),2,1(nkk 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn),),(kkk 若存在一個(gè)常數(shù)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使使 nkkkkfI10),(lim 可積可積 , ),(yxf則稱則稱 Dyxf d),(),(yxfI為為稱稱在在D上的二重積分上的二重積分.稱為積分變量稱為積分變量yx,積分和積分和( , )dDf x y 積分域積分域被積函數(shù)被積函數(shù)積分表達(dá)式積分表達(dá)式面積元素面積元素記作記作是定義在有界區(qū)域是定義在有界區(qū)域 D上

6、的有界函數(shù)上的有界函數(shù) , DyxfV d),(引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積: DyxM d),(引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:假如假如 在在D上可積上可積,),(yxf也常也常d 二重積分記作二重積分記作.dd),( Dyxyxf,kkkyx 分區(qū)域分區(qū)域D , 因此面積元素因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作記作 Dyxyxfdd),( Dyxyxdd),( ,ddyx這時(shí)這時(shí)定理定理1.二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)若函數(shù)),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可上可在在則則Dyxf),(證明略)在在D上可積上可積

7、.限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù)限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù), 那么那么若有界函數(shù)若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上除去有上除去有 例如例如, yxyxyxf 22),(在在D :10 x10 y上二重積分存在上二重積分存在 ;yxyxf 1),(但但在在D 上上 y1xo1D二重積分不存在二重積分不存在 . 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) Dyxfk d),(. 1( k 為常數(shù)為常數(shù)) Dyxgyxf d),(),(. 2 21d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf ,1),(. 4 yxfD上上若若在在 D

8、D dd1 為為D 的面積的面積, 那那么么 ),(2121無無公公共共內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)DDDDD Dyxfk d),( DDyxgyxf d),(d),(特別特別, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxf Dyxf d),(那那么么 Dyxf d),( Dyx d),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yx Dyxf d),(6. 設(shè)設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDD D 的面積為的面積為 , MyxfmD d),(則有則有7.(二重積分的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(D ),(),(fdyxfD 證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,MyxfmD

9、d),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)D ),( Dyxff d),(1),( ),(d),(fyxfD 在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上 為為D 的面積的面積 ,則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)使使使使連續(xù)連續(xù),因而因而xyoD8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為D1 , ),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),( Dyxf0d),( Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí)有奇偶性時(shí), 仍仍1D在在 D 上上 d),(21 Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù)在閉區(qū)域

10、上連續(xù), 域域D 關(guān)于關(guān)于x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱,那么那么那么那么有類似結(jié)果有類似結(jié)果.在第一象限部分在第一象限部分, 則有則有1:,221 yxDD 為為圓圓域域如如 Dyxyxdd)(22 Dyxyxdd)( 1dd)(422Dyxyx0 例例1. 比較下列積分的大小比較下列積分的大小: d)(,d)(32 DDyxyx其中其中2)1()2(:22 yxD解解: 積分域積分域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx 2)1()2(22 yx它與它與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切相切與直線與直線 yx而域而域 D 位位, 1 yx從而從而 d)(d)(32 DD

11、yxyx于直線的上方于直線的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2. 判斷積分判斷積分yxyxyxdd1432222 的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào).解解: 分積分域?yàn)榉址e分域?yàn)?321DDD那那么么原式原式 =yxyxDdd11322 yxyxDdd12322 yxyxDdd13223 1ddDyxyxDdd1333 )34(23 23D32D11Dyxo0)21(3 猜想結(jié)果為負(fù)猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì)但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)舍去此項(xiàng)例例3. 估計(jì)下列積分之值估計(jì)下列積分之值10:coscos100ddI22 yxDyxyxD解解: D 的面積為的面積為200)210(2 由于由于 yx22co

12、scos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)5100200I102200 即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo例例 4 4 不不作作計(jì)計(jì)算算，估估計(jì)計(jì) deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)域區(qū)域 D的面積的面積 , ab例例 5 5 估估計(jì)計(jì) DxyyxdI16222 的的值值， 其其中中 D： 20, 10 yx. 區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2

13、 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41時(shí)時(shí) yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1(時(shí)時(shí) yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 6 6 判判斷斷 122)ln(yxrdxdyyx的的符符號(hào)號(hào). , 1)(0222 yxyx由于由于故故 0)ln(22 yx;于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例 7 7 比較積分比較積分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln( 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, 三頂點(diǎn)各為三頂點(diǎn)各為(1,0), (1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜邊

14、邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D1)ln(0 yx故故,)ln()ln(2yxyx 于于是是xbad 設(shè)曲頂柱的底為設(shè)曲頂柱的底為 bxaxyxyxD)()(),(21 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為 DyxfV d),(yyxfxAxxd),()()()(000201 截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21 baxxAd)(截柱體的截柱體的)(2xy )(1xy zxyoab0 xD四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算ydcxo)(2yx )(1

15、yx yydcd dycyxyyxD ),()(),(21 同樣同樣, 曲頂柱的底為曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算則其體積可按如下兩次積分計(jì)算 DyxfV d),(xyxfyyd),()()(21 xyxfyyd),()()(21 dcydxyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx

16、 222Rzx D例例1. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積的直交圓柱面所圍的體積.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義二重積分的定義 Dyxf d),(iiinif ),(lim10 )dd(dyx 2. 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法二次積分法被積函數(shù)相同被積函數(shù)相同, 且非負(fù)且非負(fù), 思考與練習(xí)思考與練習(xí)yxyxIyxdd1122 yxyxIyxdd12 yxyxIdd11113 解解: 321,III由它們的積分域范圍可知由它們的積分域范圍可知312III 11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系比較下列積分值的大小關(guān)系:,d31 DxyI ,d322 DxyI DxyI d321