高考專題復(fù)習(xí)第二節(jié)　圓的方程

1、第二節(jié)圓的方程學(xué)習(xí)要求-公眾號：新課標(biāo)試卷:掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.1.圓的定義在平面內(nèi)與 定點 的距離等于 定長 的點的 集合 叫做圓. 2.確定一個圓最基本的要素是 圓心 和半徑. 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 (a,b) 為圓心, r 為圓的半徑. 4.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是 D2+E2-4F>0 ,其中圓心為 -D2,-E2 ,半徑r= D2+E2-4F2 . 提醒(1)若沒有給出r>0,則圓的半徑為|r|.(

2、2)在圓的一般方程中:當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個點-D2,-E2;當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有意義,不表示任何圖形.5.點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系有三種(已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,點的坐標(biāo)為(x0,y0):(1)點在圓上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)點在圓外: (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ; (3)點在圓內(nèi): (x0-a)2+(y0-b)2<r2 . 知識拓展1.幾種特殊位置的圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程

3、的設(shè)法圓心在原點x2+y2=r2x2+y2-r2=0過原點(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+14D2=0與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+14E2=02.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+

4、Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C0,B=0,D2+E2-4AF>0.()(2)方程x2+2ax+y2=0一定表示圓.()(3)(x-2)2+(y+1)2=a2(a0)表示以(2,1)為圓心,a為半徑的圓.()(4)圓x2+2x+y2+y=0的圓心是1,12.()(5)若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0+Ey0+F<0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.過點A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1

5、)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4答案C3.(新教材人教A版選擇性必修第一冊P88復(fù)習(xí)鞏固T3改編)已知圓C的半徑為1,圓心在第一象限,若圓C與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案A4.若點(2a,a-1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,則a的取值范圍是. 答案-15,15.已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是,半徑是. 答案(-2,-4);5求圓的方程典例1(1)

6、圓E經(jīng)過A(0,1),B(2,0),C(0,-1)三點,且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為() A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254(2)圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的方程為. (3)已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切,且圓心在直線y=-x上,則圓C的方程為. 答案(1)C(2)(x+1)2+(y+2)2=10(3)(x-1)2+(y+1)2=2解析(1)根據(jù)題意,設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),半徑為r,則圓E:(x-a

7、)2+y2=r2,則有(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2,解得a=34,r2=2516,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-342+y2=2516.故選C.(2)設(shè)C為圓心,因為點C在直線x-2y-3=0上,所以點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過A,B兩點,所以|CA|=|CB|,即(2a+3-2)2+(a+3)2=(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,所以圓心C的坐標(biāo)為(-1,-2),半徑r=10,故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(3)易知直線x-y=0和直線x-y-4=0之間的距離為|-4|2=22,所以圓的半徑為2.易知直線y=-x

8、與直線x-y=0,x-y-4=0均垂直,由y=-x和x-y=0聯(lián)立得交點坐標(biāo)為(0,0),由y=-x和x-y-4=0聯(lián)立得交點坐標(biāo)為(2,-2),所以圓心坐標(biāo)為(1,-1),故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.名師點評1.求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出圓的方程.(2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.2.確

9、定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上;(3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線.提醒解答圓的有關(guān)問題時,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運用圓的幾何性質(zhì).1.(2020河北邢臺高三二模)圓心在直線3x-y=0上,與x軸相切且被直線x-y=0截得的弦長為27的圓的方程為. 答案(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9解析設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,可得圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0),由圓心在直線3x-y=0上,可得3a-b=0,即b=3a,又由圓與x軸相切,可得r=|b|=|3a|,所以

10、圓的方程為(x-a)2+(y-3a)2=9a2,則圓心到直線x-y=0的距離d=|a-3a|2=|2a|2,所以|2a|22+2722=9a2,化簡得a2=1,解得a=±1,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.2.(2020湖北隨州一中高三期中)過三點A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2)的圓的方程為. 答案x2+y2-4x-2y-20=0解析點A(-1,5)、B(5,5)的中點為(2,5),kAB=0,所以線段AB的中垂線為直線x=2.點B(5,5)、C(6,-2)的中點為112,32,kBC=-7,所以線段BC的中垂線

11、的斜率為17,方程為x-7y+5=0.將x=2與x-2y+5=0聯(lián)立,解得x=2,y=1,所以圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑r=5.所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.與圓有關(guān)的軌跡問題典例2已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程.解析(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)M(x,y),因為點M為線段AB的中點,所以C1MAB,所以kC1M·kAB=-1,所以當(dāng)x3時,可得yx

12、-3·yx=-1,整理得x-322+y2=94,當(dāng)直線l與x軸重合時,M點的坐標(biāo)為(3,0),滿足上式.設(shè)直線l的方程為y=kx,將y=kx與x2+y2-6x+5=0聯(lián)立,消去y得(1+k2)x2-6x+5=0.令=(-6)2-4(1+k2)×5=0,得k2=45,代入得95x2-6x+5=0,解得x=53,因此53<x3.所以線段AB的中點M的軌跡方程為x-322+y2=9453<x3.名師點評求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法已知定點M(-3,4),點N在圓x2+y2=4上運動,以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡.解析如圖所示,設(shè)P(x,y),N(

13、x0,y0),則線段OP的中點坐標(biāo)為x2,y2,又M(-3,4),所以線段MN的中點坐標(biāo)為x0-32,y0+42.由于平行四邊形的對角線互相平分,故x2=x0-32,y2=y0+42.從而x0=x+3,y0=y-4.又N(x+3,y-4)在圓上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求軌跡為圓,且方程為(x+3)2+(y-4)2=4,當(dāng)O,M,N三點共線時,N65,-85或N-65,85,所以x-95且x215,故除去點-95,125和點-215,285.與圓有關(guān)的最值問題角度一利用幾何意義求最值典例3已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求:(1)y-x的最大值和最小值;(2)

14、yx的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.解析原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓.(1)y-x可看作直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時|2-0+|2=3,解得b=-2±6.所以y-x的最大值為-2+6,最小值為-2-6.(2)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,設(shè)yx=k,即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時,斜率k取得最大值或最小值,此時|2k-0|k2+1=3,解得k=±3.所以yx的最大值為3,最小值為-3.(3)x2+y2表示圓上一點與原點距離的平方,由

15、平面幾何知識知,其在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處分別取得最大值和最小值.易得圓心到原點的距離為2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.角度二利用函數(shù)關(guān)系求最值典例4若點P為圓x2+y2=1上的一個動點,A(-1,0),B(1,0)為兩個定點,則|PA|+|PB|的最大值為() A.2B.22C.42D.4答案B由已知得線段AB為圓的直徑.所以|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得|PA|+|PB|22|PA|2+|PB|22=2,所以|PA|+|PB|22,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=2時,等號成立.名師點評與圓有關(guān)的最值問題的四

16、種常見轉(zhuǎn)化法(1)形如=y-bx-a的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.(2)形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.(4)形如|PA|+|PQ|的與圓有關(guān)的折線段問題(其中P,Q均為動點),要立足兩點:減少動點的個數(shù);“曲化直”,即折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.1.設(shè)P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36答案D(x-5)2+(y+4)2表示點P(x,y)到(5,-4

17、)的距離的平方,P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,(x-5)2+(y+4)2的最大值為圓心(2,0)到(5,-4)的距離與半徑1之和的平方,即(x-5)2+(y+4)2max=(2-5)2+(0+4)2+12=36.2.已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為()A.524B.17-1C.6-22D.17答案A因為P是x軸上的動點,所以|PM|的最小值為|PC1|-1,同理,|PN|的最小值為|PC2|-3,則|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|

18、PC2|-4.作點C1關(guān)于x軸的對稱點C1,則C1(2,-3).所以|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PC2|C1C2|=52,則|PC1|+|PC2|-452-4,所以|PM|+|PN|的最小值為52-4.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(2020遼寧沈陽高三期末)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y+1=0的距離為1,則a=()A.-53B.125C.5D.3答案B2.圓(x-3)2+(y-1)2=5關(guān)于直線y=-x對稱的圓的方程為()A.(x+3)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y-3)2=5C.(x+1)2+(y+3)2=5D.(x-1)2+(y+3)2=5答案C3.已知

19、一圓的圓心為點(2,-3),一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案A4.(2020湖北孝感高三月考)圓心在直線2x-y=3上,且與兩條坐標(biāo)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-3)2+(y-3)2=9B.(x-1)2+(y+1)2=1C.(x-3)2+(y-3)2=16或(x-1)2+(y+1)2=4D.(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1答案D5.(2020河南濮陽高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C

20、與圓O:x2+y2=1外切,且與直線x-2y+5=0相切,則圓C的面積的最小值為()A.45B.35C.3-52D.(6-25)答案C6.已知定點A(2,0),B(-2,0),且P(x,y)是圓x2+(y-3)2=a2(a>0)上的動點,PAB的面積的最大值為8,則a的值為()A.1B.2C.3D.4答案A7.自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌跡方程為()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案D由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半

21、徑r=2,如圖.由題意可知|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D.8.已知A(2,0)為圓x2+y2=4上一定點,B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點的軌跡方程;(2)若PBQ=90°,求線段PQ的中點的軌跡方程.解析(1)設(shè)AP的中點為M(x,y),由中點坐標(biāo)公式可知點P的坐標(biāo)為(2x-2,2y).因為點P在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1,故線段AP的中點的

22、軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設(shè)PQ的中點為N(m,n).在RtPBQ中,有|PN|=|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點,連接ON,OP,則ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以m2+n2+(m-1)2+(n-1)2=4,即m2+n2-m-n-1=0,故線段PQ的中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.9.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解析(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0),設(shè)

23、A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方

24、程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.B組能力拔高10.(多選題)已知圓M與直線x+y+2=0相切于點A(0,-2),圓M被x軸所截得的弦長為2,則下列結(jié)論正確的是()A.圓M的圓心在定直線x-y-2=0上B.圓M的面積的最大值為50C.圓M的半徑的最小值為1D.滿足上述三個條件的圓M的半徑之積為10答案ABD圓M與直線x+y+2=0相切于A(0,-2),直線AM與直線x+y+2=0垂直,直線AM的斜率為1,則點M在直線y=x-2,即x-y-2=0上,故A正確;設(shè)M(a,a-2),圓M的半徑r=|AM|=a2+(a-2+2)2=2|a|,圓M被x軸截得的弦

25、長為2,2r2-(a-2)2=2a2+4a-4=2,解得a=-5或a=1.當(dāng)a=-5時,圓M的面積最大,為r2=50,故B正確;當(dāng)a=1時,圓M的半徑最小,為2,故C錯誤;滿足上述三個條件的圓M的半徑之積為52×2=10,故D正確.11.已知橢圓C:x26+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,如圖,AB是過F1且垂直于長軸的弦,則ABF2的內(nèi)切圓方程是. 答案x+432+y2=49解析易知A-2,63,B-2,-63,F2(2,0),設(shè)內(nèi)切圓的圓心為(t,0)(t>-2),半徑為r,則SABF2=12×AB×F1F2=12×(AB+A

26、F2+BF2)×r=12×4a×r,故有263×4=46r,解得r=23,由|t-(-2)|=23得t=43或t=83(舍去),所以ABF2的內(nèi)切圓方程為x+432+y2=49.12.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-6x+8y-11=0,則x2+y2的最大值為,|3x+4y-28|的最小值為. 答案11;5解析x2+y2-6x+8y-11=0可化為(x-3)2+(y+4)2=36,其表示的是圓心為(3,-4),半徑為6的圓,而x2+y2表示圓上的點到坐標(biāo)原點的距離,(x2+y2)max=32+(-4)2+6=11.由(x-3)2+(y+4)2=36可設(shè)圓上的點的坐標(biāo)為(6cos +3,6sin -4)(為參數(shù)),|3x+4y-28|=|18cos +24sin -35|=|30sin(+)-35|其中tan =34,當(dāng)sin(+)=1時,|3x+4y-28|min=5.13.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圓,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0交于M,N兩點,且OMON(O為坐標(biāo)原點),求m的值;(3)在(2)的條件下,求以MN