張量和應(yīng)力張量

1、附錄 張量和應(yīng)力張量 1 張量的基本概念 2 應(yīng)力張量 由于彈性力學(xué)研究對(duì)象的普遍性，導(dǎo)致方程也較繁雜，推導(dǎo)也同樣復(fù)雜，為了使得公式表示簡(jiǎn)捷，近幾十年彈性力學(xué)的論述及方程列式采用指標(biāo)符號(hào)表示。為了這一原因，這里也簡(jiǎn)單介紹一些基本概念。這些符號(hào)或公式都是在笛卡爾坐標(biāo)系中采用。1 張量的基本概念 1.1 角標(biāo)符號(hào) 1.2 求和約定 1.3 張量的基本概念 1.4 張量的某些基本性質(zhì)1.1 角標(biāo)符號(hào) 帶有下角標(biāo)的符號(hào)稱(chēng)為角標(biāo)符號(hào)，可用來(lái)表示成組的符號(hào)或數(shù)組。 例： 直角坐標(biāo)系的三根軸 x、y、zx1、x2、x3 xi(i=1，2，3)； 空間直線的方向余弦 l、m、n lx、ly、lz li(i=x

2、，y，z)； 表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量 xx、xy ij(i，j=x，y，z)； 等等。 如果一個(gè)角標(biāo)符號(hào)帶有個(gè)m角標(biāo)，每個(gè)角標(biāo)取n個(gè)值，則該角標(biāo)符號(hào)代表nm個(gè)元素。 例 ij(i，j=x，y，z)有32=9個(gè)元素(即九個(gè)應(yīng)力分量)。1.2 求和約定 求和約定：如果在算式的某一項(xiàng)中有某個(gè)角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對(duì)該角標(biāo)自1n的所有元素求和。 例 空間中的平面方程為： 采用角標(biāo)符號(hào) A、B、Ca1、a2、a3 ai(i=1，2，3) x，y，z xi(i=1，2，3) 上式可寫(xiě)成： 采用求和約定則可簡(jiǎn)記為：AxByCzp31 122331iiia xa xa xa xp1,2,3iia xp

3、i 求和約定-合并例 例1 例2 重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱(chēng)為啞標(biāo)，不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱(chēng)為自由標(biāo)。 自由標(biāo)不包含求和的意思，但它可表示該表達(dá)式的個(gè)數(shù)。2222xyzxyyzzxlmnlmmnnl, ,ij i jlli jx y zxxyxzxyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn, ,jij iTli jx y z 求和約定-展開(kāi)例 例1 例2 例31,2,3iiupix312123uuupxxx,1,2,3ijijya xi j11 11121213 13212122222323313132323333ya xa xa xa xa xa xa xa xa x,1,2,3ijijya xi j

4、11 112123 1321212223233131232333ya xa xa xya xa xa xya xa xa x 例4 例50,1,2,3ijii jx311121123321222123132333123000 xxxxxxxxx, ,1,2,3ijikkjya xi j k1111 11122113311211 12122213321311 13122313332121 11222123312221 12222223322321 13222323333131 11322133313231 12322233323331ya xa xa xya xa xa xya xa xa xy

5、a xa xa xya xa xa xya xa xa xya xa xa xya xa xa xya x1332233333a xa x 例6, , ,1,2,3ijikljklya b xi j k l1111 11 1112 112113 113111 21 1212212213 213211 31 1312 312313 31331211 121112 122113 123111 221212222213 223211 321312 322313 32331333ya b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xya b xa b xa b x

6、a b xa b xa b xa b xa b xa b xyy1.3 張量的基本概念 只需一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)簡(jiǎn)單的物理量稱(chēng)為標(biāo)量。例如距離、時(shí)間、溫度等。 需用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)分量來(lái)表示的物理量稱(chēng)為矢量。 例如位移、速度、力等。 對(duì)于復(fù)雜的物理量，例如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量(也即九個(gè)分量)才能完整地表示出來(lái)，這就是張量。 張量是矢量的推廣，與矢量相類(lèi)似，可以定義為：由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿(mǎn)足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合稱(chēng)為張量。 物理量P 在空間坐標(biāo)系xi (i=1，2，3)中存在九個(gè)分量Pij (i，j=1，2，3)； 在新空間坐標(biāo)系 xk(k=1，2，3)

7、中存在九個(gè)新分量Pkr(k，r=1，2，3)。 坐標(biāo)系間關(guān)系 九個(gè)方向余弦可記為lki或lrj(i，j=1，2，3；k，r=1，2，3)。 由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik， lrj=ljr。l33l32l31x3l23l22l21x2l13l12l11x1x3x2x1 張量概念及其判別式 若物理量P在坐標(biāo)系xi中的九個(gè)分量Pij與在坐標(biāo)系xk中的九個(gè)分量Pkr之間存在下列線性變換關(guān)系： 則這個(gè)物理量則為張量。 用矩陣表示： 張量所帶的下角標(biāo)的數(shù)目稱(chēng)為張量的階數(shù)。 Pij是二階張量，矢量是一階張量，而標(biāo)量則是零階張量。,1,2,3,1,2,3krij ki r

8、jPPl li jk r111213212223313233ijPPPPPPPPPP 二階張量的判別式的矩陣形式111213212223313233112131111213111213122232212223212223132333313233313233krPPPPPPPPPPlllPPPllllllPPPllllllPPPlll,1,2,3,1,2,3krij ki rjPPl li jk r1.4 張量的某些基本性質(zhì) 存在張量不變量 張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f=f(Pij)，其值與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)，即不隨坐標(biāo)而變，這樣的函數(shù)就叫做張量的不變量。 對(duì)于二階張量，存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。

9、 張量可以疊加和分解 幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)分量之和或差定義為另一同階張量。 兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。 張量可分對(duì)稱(chēng)張量、非對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量 若Pij=Pji，則為對(duì)稱(chēng)張量； 若PijPji，則為非對(duì)稱(chēng)張量； 若Pij=-Pji，則為反對(duì)稱(chēng)張量。 二階對(duì)稱(chēng)張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值 如取主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量都將為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，稱(chēng)為主值。1.5 應(yīng)力張量 外力確定后，受力物體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即已確定。但表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的各個(gè)分量在不同坐標(biāo)系中將有不同的數(shù)值，因此在不同坐標(biāo)系中該點(diǎn)的應(yīng)力分量之間應(yīng)該存在一定的關(guān)系。 設(shè)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為： 在xi(i=x，y，z)坐標(biāo)系中為ij(i，j=x，y，z)； 在xk (k=x，y，z)坐標(biāo)系中為kr(k，r=x，y，z)； ij與kr之間的關(guān)系符合數(shù)學(xué)上張量的定義，即存在線性變換關(guān)系：, , krij ki rjl li jx y zk rx y z 因此，表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成