工程制圖(換面法)

1、第四章第四章 換面法換面法第一節(jié)第一節(jié) 概述概述 第二節(jié)第二節(jié) 投影變換投影變換第一節(jié)第一節(jié) 概述概述XOabba實(shí)長特殊位置的直線：特殊位置的直線：可直接反映實(shí)長、傾角問題可直接反映實(shí)長、傾角問題XOa(b)ab實(shí)長XObaac實(shí)形bcXObaac類似形bc特殊位置的平面：特殊位置的平面：可直接反映實(shí)形、傾角問題可直接反映實(shí)形、傾角問題正平面正平面正垂面正垂面特殊位置的幾何元素：特殊位置的幾何元素：可直接反映度量、定位問題可直接反映度量、定位問題e e f f e ef fa(b)a(b)b b a a d d c(d)c(d)c c 距離距離m m c c a a b b a ab bc

2、cm mz zz z點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離一、基本概念一、基本概念 改變空間幾何元素與投影面的相對(duì)改變空間幾何元素與投影面的相對(duì)位置，使它們相互之間處于某一特殊位置位置，使它們相互之間處于某一特殊位置的情況，從而使問題簡(jiǎn)化、得到解決的情況，從而使問題簡(jiǎn)化、得到解決投影變換。投影變換。二、投影變換的方法二、投影變換的方法1.1. 輔助投影面法（換面法）輔助投影面法（換面法）2. 2. 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法第二節(jié)第二節(jié) 變換投影面變換投影面XVHA AB BbabC Cac一、一、 概念：概念：換面法：換面法：空間幾何元素不動(dòng)，改空間幾何元素不動(dòng)，改變投影面的位置使其有利于解題。變投影面的位置使其有

3、利于解題。實(shí)形Vc1b1a1VHXOabcba(c)bcaV1O1X1XVHA AB BbabC Cac實(shí)形Vc1b1a1建立新投影面的條件：建立新投影面的條件：（1 1）新投影面要）新投影面要原原來一個(gè)投影面。來一個(gè)投影面。（2 2）新投影面要處于）新投影面要處于最有利解題位置。最有利解題位置。二、基本條件二、基本條件講解：講解：點(diǎn)點(diǎn) 線線 面面 a1HV1X1O1ax1V V1 1三、基本原理三、基本原理1. 1. 點(diǎn)的點(diǎn)的一次變換一次變換： 變換規(guī)律：變換規(guī)律： 1). 1). 點(diǎn)的新投影到新軸之距點(diǎn)的新投影到新軸之距= =舊投影到原軸之距；舊投影到原軸之距； 2). 2). 點(diǎn)的新投影

4、與被保留投影的連線點(diǎn)的新投影與被保留投影的連線新軸新軸O O1 1X X1 1。aaAaxax1O1X1VOXHaXOVHaaxa1V VH HH HV V1 1VHXH1X1點(diǎn)在點(diǎn)在V V/ /H1H1體系中的投影體系中的投影 X1H1Va1XVHaaa1aAa X XV VH Ha aa a a ax x更換更換H H面面 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法 V VH HX XP P1 1H HX X1 1 由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線垂線，并在垂，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。影

5、到原投影軸的距離。a aa a X X1 1P P1 1H H a a1 1a ax xa ax1x1a ax1x1更換更換V V面面aa1 1作圖規(guī)律：作圖規(guī)律：. . .點(diǎn)的兩次變換點(diǎn)的兩次變換 先把先把V V面換成平面面換成平面V V1 1， V V1 1 H H，得到中間新投影體系，得到中間新投影體系: :V V1 1H HX X1 1 再把再把H H面換成平面面換成平面H H2 2， H H2 2 V V1 1，得到新投影體系，得到新投影體系: : X X2 2 V V1 1 H H2 2 新投影體系的建立新投影體系的建立按次序更換按次序更換A Aa aV VH H a a a ax

6、 xX XX X1 1V V1 1a a1 1a ax1x1H H2 2X X2 2a ax2x2a a2 2 VXHa2aaa1XVHX1HV1 點(diǎn)的兩次變換點(diǎn)的兩次變換V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa1 1、把一般位置直線變換成投影面的平行線、把一般位置直線變換成投影面的平行線XVHOV V1 1X1 1O1a1 1b1 1abbaA AB BX XO OV VH HX X1 1H HV V1 1O O1 1a ab bb b a a b b1 1 a a1 1 實(shí)長實(shí)長四、基本作圖四、基本作圖2 2. .把投影面的平行線變換成投影面的垂直線把投影面的平行線變換成投影面的垂直線X

7、VHOV1X1O1a1 (b1)aabbbXOVHababX1HV1O1a1 (b1)3. 3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線把一般位置直線變換成投影面垂直線XHaAa b bBVV1X1H1a2 b2 a1 b1aa1 1bb1 1V VH H a a a aX XB B b b b bA A3. 3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：空間分析：a a b b a ab bX XV VH HX X1 1H H1 1V V1 1V V1 1H H2 2X X2 2作圖：作圖：X X1 1V V1 1aa1 1bb1 1X X2 2H H2 2二次換

8、面把投影面平行線變成投影面垂直線二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X X2 2軸的位置？軸的位置？a a2 2 b b2 2a ax2x2a a2 2 b b2 2 . .與與aa1 1bb1 1垂直垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一次換面把直線變成投影面平行線；把一般位置直線把一般位置直線變?yōu)樽優(yōu)橥队懊娲怪本€投影面垂直線XH1V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 一般位置直線一般位置直線變換成投影面垂直線，變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？需經(jīng)幾次變換？ a a b b c c a ab bc cd dV VH HA AB BC CD DX X d d 如果把平面內(nèi)的

9、一條直線變換成新投影面如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 V V1 1X X1 1cc1 1bb1 1 a a1 1 dd1 1空間分析：空間分析： 在平面內(nèi)在平面內(nèi)取取一條投影面平行線一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，新投影面的垂直線，則該平面變成新投影則該平面變成新投影面的垂直面。面的垂直面。作圖方法：作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？能否只進(jìn)行一次變換？思考：思考：若變換若變換H H面，需在面內(nèi)面，需在面內(nèi)取什么

10、位置直線？取什么位置直線？正平線！正平線！4.4.把一般位置平面變換成投影面的垂直面把一般位置平面變換成投影面的垂直面把一般位置平面變換成投影面的垂直面把一般位置平面變換成投影面的垂直面XHVOaabccbXVHV1X1Oacbaa1ddd1(c1)bb1cBCDA水平線dda1b1d1(c1)X1V1HO1a cXVHbb ac把一般位置平面變換成投影面的垂直面把一般位置平面變換成投影面的垂直面 VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1XVHABbabCac實(shí)形Vc1b1a15.5.把投影面的垂直面變換成投影面的平行面把投影面的垂直

11、面變換成投影面的平行面VHXOabcba(c)bcaV1O1X1把投影面的垂直面變換成投影面的平行面把投影面的垂直面變換成投影面的平行面aacbcbXOVHa1b1實(shí)形X1HV1O1c1XVHABbabCacVc1b1a16.6.把一般位置平面變換成投影面的平行面把一般位置平面變換成投影面的平行面X2O2V1H2a2b2c2實(shí)形XHVOaabccbdda1b1d1(c1)X1HO1XOVHk1b1a1aabbkkO1V1HX1X2H2V1O2k2a2(b2)(t2)t1tt距離H2a2(b2)k2KBAT(t2)距離求求K K點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線ABAB之之距及兩面投影。距及兩面投影。例題例題1

12、1： H H2 2D DB BA AC Cd d2 2a a2 2c c2 2( (b b2 2) ) 求求具有公共邊具有公共邊BCBC的的ABCABC 和和BCDBCD的夾角的夾角 。 a a d d c c b b X XV VH HO Oc cd db ba aO O1 1O O2 2X X1 1V V1 1H HV V1 1H H2 2X X2 2a a2 2d d2 2c c2 2(b(b2 2) )a a2 2 d d2 2 c c2 2 b b2 2 例題例題2 2：CDSTBb2t2a2C2(s2)(d2)H2VHXObdaccdabV1X1HO1b1a1c1d1k1g1kgO

13、2X2H2V1a2b2gkc2(k2)(d2)g2距離例例3 3： 求交叉兩直線求交叉兩直線ABAB和和CDCD間的距離。間的距離。X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222例題例題4 4： 求兩直線求兩直線ABAB與與CDCD的公垂線的公垂線 。 H2aaXbb cdcd題題5 5： 如何求兩直線如何求兩直線ABAB與與CDCD間的距離？間的距離？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示b b a a a ab bc cd dc c 例例6 6：已知兩交叉直線已知兩交叉直線ABAB和和CDCD的公垂線的長度的公垂線的長

14、度 為為MNMN， 且且ABAB為水平線，求為水平線，求CDCD及及MNMN的投影。的投影。M MN Nm m d d aa1 1bb1 1mm1 1nn1 1cc1 1dd1 1n n空間及投影分析：空間及投影分析：V VH HX XH HV V1 1X X1 1圓半徑圓半徑=MN=MNn n m m 當(dāng)直線當(dāng)直線ABAB垂直于垂直于投影面時(shí)，投影面時(shí)，MNMN平行于投影平行于投影面，這時(shí)它的投影面，這時(shí)它的投影mm1 1nn1 1=MN,=MN,且且mm1 1nn1 1cc1 1dd1 1。P P1 1A AC CD DN NM Mc c1 1d d1 1a a1 1m m1 1b b1

15、1n n1 1B B作圖：作圖：請(qǐng)注意各點(diǎn)的投請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？影如何返回？求求m m點(diǎn)是難點(diǎn)。點(diǎn)是難點(diǎn)。. . .例例7 7：已知直線已知直線ABAB與與 CDECDE平面平行，且相距平面平行，且相距20mm20mm，求直，求直線線ABAB的水平投影。的水平投影。X XV VH He ed dc cddeeccaabba a1 1b b1 1X X1 1V VH H1 1c c1 1e e1 1 d d1 1b ba a20mm20mm空間及投影分析空間及投影分析：ABAB與與CDCD都平行于投影面時(shí)，其投影的都平行于投影面時(shí)，其投影的夾角才反映實(shí)角（夾角才反映實(shí)角（6060），因此

16、需將），因此需將ABAB與與C C點(diǎn)所確定的平面點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。變換成投影面平行面。例例8 8: : 過過C C點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線CDCD與與ABAB相交成相交成6060角。角。 d d X X1 1H HV V1 1X X1 1V V1 1H H2 2a ab b a a c c b b X XV VH Hc c作圖：作圖：c c2 2c c1 1aa1 1 bb1 1a a2 2d d2 2d db b2 2 幾個(gè)解？幾個(gè)解？兩個(gè)解！兩個(gè)解！ 已知點(diǎn)已知點(diǎn)C C是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線ABAB上，上，求等邊三角形的投影。求等邊

17、三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！6060D D點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影如何返回？如何返回？. . .例題例題9 9： 已知等腰已知等腰 三角形三角形ABCABC的的底邊為底邊為ABAB，試，試用換面法求出用換面法求出等腰三角形等腰三角形ABCABC的正面投的正面投影。影。aabbX XV VH Hc ca ab bX X1 1H HV V1 1b b1 1 c c1 1 a a1 1 cce ee e1 1 例例1010：已知已知點(diǎn)點(diǎn)E E在平面在平面ABCABC上，距離上，距離A A、B B為為1515，求，求E E點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影。a cXVHbbac d db1 a

18、1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2aaXbb cdcd 題題1010： 已知兩直線已知兩直線ABAB/CDCD且相間且相間距離為距離為10 10 XH2V1aaXVHbba2 (b2)XHV1a1b1c1d1cc2(d2)R=10k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss例題例題1111： 求點(diǎn)求點(diǎn)S S到平面到平面ABCABC的距離的距離a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例例1212：已知已知E E到平面到平面ABCABC的距離為的距離為N N，求，求E E點(diǎn)的正面投影點(diǎn)的正面投影e e 。例例131

19、3： 求點(diǎn)到平面求點(diǎn)到平面ABCABC的距離的距離 XOaa c b d bdcX1b 1 d 1 c 1 a 1 k 1 kk 小小 結(jié)結(jié) 本章主要介紹了投影變換的一種常用方法本章主要介紹了投影變換的一種常用方法換面法換面法。一、一、 換面法就是換面法就是改變投影面的位置改變投影面的位置，使它與所給物，使它與所給物 體或其幾何元素處于體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置解題所需的特殊位置。二、二、 換面法的關(guān)鍵是要注意換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件新投影面的選擇條件， 即必須使即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系， 同時(shí)又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī)同時(shí)又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。律繼續(xù)有效。三、三、點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)，六個(gè)基本，六個(gè)基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。問題是解題的基本作圖方法，必需熟練