《基本不等式的證明及應(yīng)用》優(yōu)質(zhì)課比賽教案

1、第5頁共5頁基本不等式的證明及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)ab知識(shí)目標(biāo)：探索并了解基本不等式vab丁色加0）的證明過程，體會(huì)證明不等式的基本方法，能應(yīng)用基本不等式解決一些簡單問題，滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)化歸等數(shù)學(xué)思想.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納、判斷、猜想等思維能力.情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)基本不等式J益圣（a,b0）及其證明.2教學(xué)過程一、問題情境1 .有一架天平兩臂之長略有差異，其他均精確，小王要用它來稱一物體的重量，將此物體放在左右兩個(gè)托盤各稱一次，再將稱的的數(shù)據(jù)相加后，除以2所得的結(jié)果就認(rèn)為是物體的真實(shí)重量，

2、你認(rèn)為小王所測(cè)量結(jié)果是否準(zhǔn)確？如果不準(zhǔn)確，比真實(shí)重量是重還是輕？你能給小王提供一種用這架天平稱量此物體真實(shí)重量的方法嗎？2 .引入課題設(shè)第一次稱量時(shí)，放物體一邊的臂長為li,另一邊的臂長為J稱得物體的重量為a,第二次稱得物體的重量為b,用小王的方法所得的結(jié)果為A圣,這2樣合理嗎？事實(shí)上，設(shè)物體的實(shí)際質(zhì)量為M,根據(jù)力學(xué)原理有11MLa,12M11a,相乘再除以1i12,可以得到Mab.ab問題：a土上與MJab是否相等？若不相等，大小關(guān)系又怎樣？2二、學(xué)生活動(dòng)1 .對(duì)于非負(fù)數(shù)a,b,稱ab為a、b的算術(shù)平均數(shù)，JOb為a、b的幾何2平均數(shù).2 .學(xué)生分組討論.3.學(xué)生通過取一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行探究a

3、30599270251120b3999239954100207ab34.2176.434683.2536.7433.1720ab234.57957.584.539.555.5204.猜想：若a0,b0,當(dāng)ab時(shí)，倔里上；當(dāng)ab時(shí)，候22當(dāng)a0,b0時(shí)，很明顯jabab;當(dāng)ab0時(shí)，Tab無意義.25.初步結(jié)論：如果a0,b0,那么Tab_a_b成立.2點(diǎn)評(píng)：誘發(fā)學(xué)生深入思考問題，教會(huì)學(xué)習(xí)、研究的方法一一從特殊到一般是科學(xué)探求未知的有效手段、建構(gòu)數(shù)學(xué)1 .呈現(xiàn)課題：基本不等式的證明引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，給出基本不等式的證明，點(diǎn)評(píng)有關(guān)問題2 .基本不等式的證明:證法1:（比較法）=1(.a)2(.b

4、)22.a,b2=(a、b)20.2證法2:（分析法）要證2vab a b,只要證只要證a2、.：abb0,只要證（Va鬧20,只要證最后一個(gè)不等式成立，所以疝U成立，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取“二”.證法3：（綜合法）對(duì)于正數(shù)a、b有.b)2 02 . ab 02 abab（、aababab2點(diǎn)評(píng)：（）由證明過程可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，兩個(gè)均值相等，并解釋“當(dāng)且僅當(dāng)”兩方面的含義.（）強(qiáng)調(diào)結(jié)論成立的條件：a,b都是非負(fù)數(shù)，并舉反例加以說明.（）比較法、分析法、綜合法都是證明不等式的基本方法.3 .通過嚴(yán)格的證明，得到下列結(jié)論：定理：如果a、b是正數(shù)，那么Tabb（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）.2讓學(xué)生

5、根據(jù)右圖，嘗試給出上述基本不等式的幾何解釋，并思考這個(gè)基本不等式的其他證明方法.4 .對(duì)TOba-b的幾何解釋：2如圖，在圓O中：AB為圓的直徑，弦DD'AB垂足為C,ACa,BCb,由射影定理：CD2ACCB,cdJaccb而,貝u弦dd'2-Jab；而直徑ab弦dd'.所以ab2>/ab,變形得：daba一b,當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí)，即ab時(shí)取等2號(hào).點(diǎn)評(píng)：抓住時(shí)機(jī)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生善于捕捉的暗示信息，從多方位、多角度去理解并掌握所學(xué)知識(shí)，提升思維的靈活性.5 .教師點(diǎn)評(píng)：(1)這個(gè)基本不等式的幾何解釋，即“半弦半徑”.(2)這個(gè)基本不等式可否推廣到“

6、n個(gè)(n1,nN)非負(fù)數(shù)”的情形，有興趣的同學(xué)可以課后查閱有關(guān)資料.四、數(shù)學(xué)運(yùn)用(一)例題例1.已知a、b為正數(shù)，試證明下列不等式：ba1(1) ba2；(2)a2.aba分析：可直接應(yīng)用基本不等式進(jìn)行證明，并注意基本不等式的應(yīng)用條件.證明：(略)例2.已知函數(shù)yx16-,x(2,),求此函數(shù)的最小值.x2分析：不能直接使用基本不等式，應(yīng)將其變形為(x2)6-2,并對(duì)前x2兩項(xiàng)使用基本不等式.解：(略)點(diǎn)評(píng)：(1)在使用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，常需要將函數(shù)形式進(jìn)行變形，以創(chuàng)造條件使用基本不等式.(2)在利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即必須兩個(gè)量都是正數(shù)(也可是非負(fù)數(shù)

7、)，才能直接使用基本不等式；要把函數(shù)式放縮到常數(shù)；等號(hào)才能取到.(二)練習(xí)31 .若x0,則f(x)xq有/為，此時(shí)x；x2 .若x0,則f(x)x旦有值為，此時(shí)x;x3 .已知x0,y0,且xy2,求xy的最大值；4 .已知x0,y0,且xy1,求xy的最小值；5 .已知0x2,求函數(shù)yx(x2)的最大值；一，26 .已知0x,求函數(shù)yx(23x)的最大值.讓學(xué)生板演，教師評(píng)析.做到師生互動(dòng)；講練結(jié)合.五、回顧小結(jié)讓學(xué)生回顧小結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容及主要收獲，教師總結(jié).1 .基本不等式j(luò)abb(a,b0)及其證明.22 .基本不等式的簡單應(yīng)用(證明不等式，求函數(shù)最值).六、教學(xué)反思1 .在建立新知

8、的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).每個(gè)問題在設(shè)計(jì)時(shí)，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答.使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價(jià)值，對(duì)知識(shí)的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深，但實(shí)施落實(shí)的可能還不到位，有待改進(jìn).2 .本節(jié)的教學(xué)中要求學(xué)生對(duì)基本不等式在數(shù)與形兩個(gè)方面都有比較充分的認(rèn)識(shí)，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的統(tǒng)一，意圖使學(xué)生在比較中對(duì)基本不等式得以深刻理解.“數(shù)形結(jié)合”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，不是教師提一提學(xué)生就能夠掌握并且會(huì)用的，只有學(xué)生通過實(shí)踐，意識(shí)到它的好處之后，學(xué)生才會(huì)在解決問題時(shí)去嘗試使用，只有通過不斷的使用才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種思想方法的再理解，從而達(dá)到掌握它的目的.3 .本課的設(shè)計(jì)是想通過師生課上的探索、互動(dòng)學(xué)習(xí)，達(dá)到理解掌握知識(shí)的目的.在教師的引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生自己尋找、探求解決問題的途