分塊矩陣的應(yīng)用論文

1、分塊矩陣的應(yīng)用引言矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有其重要的實(shí)用價(jià)值，它常見(jiàn)于很多學(xué)科中，如：線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等，在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題都可以借用矩陣抽象出來(lái)進(jìn)行表述并進(jìn)行運(yùn)算，如在各循環(huán)賽中常用的賽格表格等，矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)矩陣的運(yùn)算較容易理解和掌握，對(duì)于矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用，則有很多的問(wèn)題值得我們?nèi)パ芯?，其中?dāng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相當(dāng)大時(shí)，矩陣的計(jì)算和證明中會(huì)是很煩瑣的過(guò)程，因此這時(shí)我們得有一個(gè)新的矩陣處理工具，來(lái)使這些問(wèn)題得到更好的解釋，矩陣分塊的思想由此產(chǎn)生矩陣分塊，就是把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的.就如矩陣的元素（數(shù)）一樣,特別是在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來(lái)

2、處理.把矩陣分塊運(yùn)算有許多方便之處因?yàn)樵诜謮K之后，矩陣間的相互關(guān)系可以看得更清楚，在實(shí)際操作中與其他方法相比，一般來(lái)說(shuō)，不僅非常簡(jiǎn)潔，而且方法也很統(tǒng)一，具有較大的優(yōu)越性，是在處理級(jí)數(shù)較高的矩陣時(shí)常用的方法.比如，從行列式的性質(zhì)出發(fā)，可以推導(dǎo)出分塊矩陣的若干性質(zhì)，并可以利用這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用分塊矩陣；也可以借助分塊矩陣的初等變換求逆矩陣及矩陣的秩等；再如利用分塊矩陣求高階行列式，如設(shè)A、C都是n階矩陣,.、一一一AB其中A0,并且ACCA,則可求得ADBC;分塊矩陣也可以在求解線性CD方程組應(yīng)用.本文將通過(guò)對(duì)分塊矩陣性質(zhì)的研究，比較系統(tǒng)的總結(jié)討論分塊矩陣在計(jì)算和證明方面的應(yīng)用，從

3、而確認(rèn)分塊矩陣為處理很多代數(shù)問(wèn)題帶來(lái)很大的便利1分塊矩陣的定義及相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)1.1 分塊矩陣的定義矩陣分塊，就是把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的.就如矩陣的元素（數(shù)）-樣，特別是在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來(lái)處理.定義1設(shè)A是一個(gè)mn矩陣，若用若干橫線條將它分成r塊，再用若干縱線條將它分成s塊，于是有rs塊的分塊矩陣，即AA11.As,其中Aj表示的是一個(gè)矩陣1.2 分塊矩陣的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)1.2.1 加法設(shè)Aa。Bbj,用同樣的方法對(duì)A,B進(jìn)行分塊jmnjmnAAj,BBij,jrsjrs其中Aj,Bij的級(jí)數(shù)相同，則ABAiBjjjrs1.2.2 數(shù)乘設(shè)是任AajAj,k為任意數(shù)，定

4、義分塊矩陣AAj與k的數(shù)乘為jmnjrsjrskAkAijjrs1.2.3 乘法設(shè)Aaj,Bbj分塊為AAj,BBj,，其中Aj是s'矩陣，Bj是JsnJnmJrlJlrnimj矩陣，定義分塊矩陣AAj一和3Bj1r的乘積為CijA1B1jA2B2.AB|j,i1,2.t;j1,2.3,.l.1.2.4 轉(zhuǎn)置設(shè)Aa分塊為aAj，定義分塊矩陣AAj的轉(zhuǎn)置為snrsrsAjisr1.2.5 分塊矩陣的初等變換分塊矩陣A的下列三種變換稱為初等行變換:(1)對(duì)調(diào)A的兩行(用n口表示對(duì)調(diào)i、j兩行)；(2)用一個(gè)可逆陣K左乘A的某一行的所有子矩陣(用Kn表示用K左乘第i行)；(3)將A的某一行的

5、所有子矩陣左乘一個(gè)矩陣K再加到另一行的對(duì)應(yīng)子矩陣上去(nKrj表示將第j行左乘K再加到第i行).將上述定義中的“行”換成“列”，“左乘”換成“右乘”，即得分塊矩陣的初等列變換的定義，分塊矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.2分塊矩陣的應(yīng)用2.1用分塊矩陣解決行列式的問(wèn)題利用矩陣分塊的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的高等代數(shù)教材中對(duì)能夠用矩陣分塊法求值的行列式要求較為嚴(yán)格，多數(shù)為形式較特殊的行列式.下面給出了一個(gè)應(yīng)用圍較為廣泛的行列式的分塊矩陣求值方法.引理2.1(3)若A為k階方陣，B為r階方陣，C為rk矩陣，則有在上述引理中，要求子塊當(dāng)中有一個(gè)為零矩陣更一般的

6、有如下的結(jié)論AB定理2.2(3)若n階萬(wàn)陣P可分為Pc口其中A為r階萬(wàn)陣，B為rnr矩陣，C為nrr矩陣，D為nr階方陣，則有(1)當(dāng)A為可逆矩時(shí)舊|a|dCA1B;(2)當(dāng)D為可逆矩陣時(shí)|P|d|ABD1C.在進(jìn)行行列式的求值運(yùn)算時(shí)，若能找到符合本定理?xiàng)l件要求的矩陣分塊方法，就可應(yīng)用定理的結(jié)論進(jìn)行行列式的計(jì)算現(xiàn)舉例說(shuō)明如下:例2.3計(jì)算行列式Cobac1Pa0b.b0.0C3.0其中c10,i123.n.A(co),Bbb.b,Caac10.00c0D,G0,i1,2,n.00.Cn則D為可逆矩陣，由定理1的結(jié)論(2)知BD1c將及A,B,C,D代入得0iC2P(aab(c11iC2Cn1)

7、.例2.4矩陣Paja當(dāng)|時(shí)，求行列式P的值.ijb當(dāng)ij時(shí)解：行列式|P|的主對(duì)角線元素為a,其余元素為b,因止匕:(1)當(dāng)ab時(shí)，由行列式的性質(zhì)知P=0;(2)當(dāng)ab時(shí)，從第一行開(kāi)始，將行列式的前行減去后行得abba00abba.000bbb0000.abbaba由定理2.2可知abba00abba.000000000000B.,.abbao0abbaCbbb.b,Da,PADCA1B,1,ij,i>j計(jì)算結(jié)果得n1a+n1b.若定理中的矩陣A和D均為可逆矩陣時(shí)，定理的兩個(gè)結(jié)論均成立，可以利用公式d|aBD1C1ADCA1B進(jìn)行轉(zhuǎn)換求行列式的值，舉例說(shuō)明如下.推論2.5若A,B,C,

8、D均為n階方陣,且A可逆,ACCA,ADCB.例2.6計(jì)算行列式1110120112221351A解對(duì)T進(jìn)行分塊TC其中,B,C0251，D21顯然A可逆，且ACCA,所以ADAD所以,3541010.定理2.7若A,B均為n階方陣，則例2.8計(jì)算行列式1234234134124123其中所以解對(duì)矩陣T進(jìn)行分塊T2.2分塊矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用1223,BBAB例2.9設(shè)n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組為a21X1a2X2.anXna22X2.a2nXn(20)bb28)160.(DamiXiam2X2.amnxnbm記Aaijmn,X=xl,X2,.,XnT（其中T表示矩陣的轉(zhuǎn)置）Bbi,

9、b2,.bm則方程（1）的矩陣形式為AXB.把方程（1）的矩陣形式改寫(xiě)成如下分塊矩陣的形式AiA21A2A22AB2其中方程組a11a1ra1r1a1nA11.ar1ar11am1XiA12A11arrarnar1ramrX2A22Xrmaar1r1amr1，B2ar1namn(1)有解時(shí),我們解方程組從而求出其解.定理2.10.設(shè)方程組（1）有解且r與AXB同解.XrXr22.bm1）時(shí)總是把（1）Arn,rA11，AA21A22TXn，化成簡(jiǎn)單的同解方程組,r,則方程組A1A2XB例2.11.已知方程組Xii2x12X13X22X23X24X31X322x33X342X413X423x43

10、X44(2)求此方程組的解并證明此方程組和方程組X11X222X12X23X13X24(3)解：令A(yù)1012211311230111(A1A2)其中A11A121210B110122113112301111210100021111111122210002100110001001200所以此方程組的齊次線性方程組的解為C13110C221013又2是方程組的一個(gè)特解,00所以此方程組的解為3231c2121200010C1由上可知r(A)2并且r(Ai)2,所以由定理3可證方程組(2)和(3)同解.2.3分塊矩陣在相似問(wèn)題中的應(yīng)用定理2.12.如果方陣AB,方陣CD,則B00D所以證明因?yàn)榉疥嘇

11、B,方陣CD,E0X10A0X0E00Y10E0C0E0YX10A0X00Y10C0YX1AX00Y1CYB00D11E0X10E00Y10E0Y1X10X0E00E0E0Y所以A0B00C0D2.4 用分塊矩陣證明矩陣秩的問(wèn)題A0TE理2.13.設(shè)Mcb，A為mn矩陣，B為kl矩陣,A0則有rMrArB,且C0時(shí)，rMrrArBCB證明設(shè)A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為Er0AD1,rrA,100又設(shè)B在初等變換下白標(biāo)準(zhǔn)形為D2Es0,srB,00那么，對(duì)M前m行前n列作初等變換，對(duì)它的后k行后l列也作初等變換可把M化為M1D1C10D2現(xiàn)在利用D1左上角的1經(jīng)列初等變換消去g位置中的非零元；再用D

12、2左上角的1經(jīng)行初等變換消去它上面g處的非零元素，于是把M1再化作Er000m2000C200Es00000則有rMrM1rM2srC2rrAr利用這個(gè)定理及初等變換可證明一些秩的不等式例2.14.設(shè)A為mn矩陣,l矩陣，若AB0,rAn.證明因?yàn)樗詒ArBrAEn0EnABB0En0En00n例2.15.B都是n階矩陣,求證:證明：因?yàn)锳BABrBn.r(ABAABB)r(A)r(B).(1)(BE)(2)所以又"E都可逆,所以AB0，BABABAB所以r(ABrAB)r(A)r(B).2.5 用分塊矩陣求逆矩陣的問(wèn)題分塊矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要的工具，在求解高階矩陣問(wèn)題中的應(yīng)

13、用尤為廣泛求矩陣的逆矩陣可以用伴隨矩陣或初等變換的方法來(lái)解決，而此類方法對(duì)于級(jí)數(shù)較高的矩陣運(yùn)算量較大，對(duì)某些矩陣可以適當(dāng)分塊后再進(jìn)行運(yùn)算，可起到事半功倍的作用定理2.16.對(duì)于n階矩陣A,如果存在n階矩陣B,使得ABBAI那么矩陣稱為可逆矩陣，而B(niǎo)稱為A的逆矩陣.若A,B都可逆，則A10A10A1CBB1A10B1CA1B1Ek0A1BEnk0D11EkCA10Enk其中D1DCA1B.以下舉些例子具體說(shuō)明分塊矩陣在矩陣求逆中的具體應(yīng)用1一一，一，2例2.17.已知矩陣A002100001200±1，求人1.25解：可以將矩陣A分成四塊A1001,其中AA22據(jù)分塊矩陣的性質(zhì)，A1A

14、100A21A,A?為二級(jí)矩陣，其逆矩陣易求出，分別所以A115252515，A1A11525002.6分塊矩陣在矩陣的特征值問(wèn)題中的應(yīng)用在高等代數(shù)中，矩陣的特征值問(wèn)題是一項(xiàng)非常重要的容,特征值對(duì)于線性變換的研究具有基本的重要性.而我們?cè)谇笠恍╇A數(shù)較高和較復(fù)雜的矩陣特征值時(shí)，經(jīng)常會(huì)用矩陣的分塊去解決，這樣可以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)明.定理2.18.設(shè)A為n階矩陣，是一個(gè)數(shù)，如方程AXX,存在非零解向量，則稱為A的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量X稱為與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.定理2.19.設(shè)A為n階矩陣，含有未知量的矩陣IA稱為A的特征矩陣，其行列式|IA為的n次多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式|IA0稱為A的

15、特征方程，是矩陣A的一個(gè)特征值，則一定是|IA0的根，因此又稱為特征根.若是IA0的q重根，則稱為A的n重特征值.引理2.20.設(shè)A為n階矩陣，則A為幕等矩陣的充要條件rAErAn,這里E為n階單位矩陣，rA表示A的秩.弓I理2.21.幕等矩陣A1A2*8與匕0或00相似其中rA.000Er例2.22.設(shè)A,A,&均為n階方陣，且AAA2,rAr,rAni1,2,求證：若A2A,rr1匕，則A,A,Az的特征值為1或0,且1的個(gè)數(shù)和它們的秩相等.證明：(1)當(dāng)A可逆時(shí)，即rAn,因?yàn)锳2A,所以AE,由已知得rArA2n,由引理2.20得到A2A.同理A2A2,所以A,A2是幕等矩陣，

16、由引理2.21得Er0A0A，A?八000A,A,4和E,Er000有相同的特征根,0Er所以A,A,A2的特征值為1或0,且特征值1的個(gè)數(shù)和它們的秩相等.(2)當(dāng)rA0時(shí)，即A0結(jié)論顯然成立這里所以從而(3)設(shè)0rn,即A為非零由布可逆矩陣，又因?yàn)锳2A,故存在可逆矩陣P使P1APP1APr=rA1r=rA1P1APP1A2P,Er0AjB11B11A1A21A2A22B11B21B12B221A2PA11BijErA1B11,rBnrB11B1又因?yàn)閺亩@樣ErA11B11rA11B111QAnQ=rArA10,rA2B11rA1rA11，rA2B11,由定理2.18的證明可知,0,存在可

17、逆矩陣Q,使Err101QB11Q二0，EEr0Q100En-rP%P0En-r0En-rP1A2PQ00En-r0En-r“1QA11A12A21A22Q1A2Q100En-rA21QA22Q1BnQB21QQ101B120En-rB11B21B12B22Q100En-r設(shè)又因?yàn)閞設(shè)同上可得從而A22故有TQ41QQA21QA221A12Er0G110G12C11C21，A22Er0G11Z110,1ATG12C11C21A22r1，所以G2101Q1B11QB21Q0,0,W10，故C11Q"1Q同理Err10Q1B12B220,Gn1A12A21QA221B11QB21QqaB

18、22W；10,W210Er20Err20,T1ATErr100EqM乙2B220,乙2Er1000A220En0Err20綜上所述，結(jié)論成立.小結(jié)本文通過(guò)例題對(duì)分塊矩陣在證明和計(jì)算中兩方面的應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)分析，在證明方面涉及了矩陣秩的相關(guān)問(wèn)題和矩陣列行向量線性相關(guān)性問(wèn)題，在證明線性相關(guān)問(wèn)題上，利用分塊矩陣的解可以很清晰動(dòng)的描述線性方程組的解和相關(guān)容，對(duì)一些具體的解與矩陣行列相關(guān)性之間的關(guān)系做出了總結(jié)；在分塊矩陣計(jì)算方面我們主要解決了求逆矩陣與高級(jí)行列式的問(wèn)題.通過(guò)本文的敘述充分體現(xiàn)了分塊矩陣在代數(shù)計(jì)算和證明方面的優(yōu)越，也給出了分塊矩陣在線性代數(shù)中所具有的重要地位，當(dāng)然在分塊矩陣的應(yīng)用的敘述中，本文并不是對(duì)所有的證明和計(jì)算都進(jìn)行討論，所以在應(yīng)用的完整性上有待改進(jìn)，并可以繼續(xù)進(jìn)行探討和研究.參考文獻(xiàn)1藍(lán)以中.高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程M.:大學(xué)，2007:141-149.2杜之，麗，吳曦.線性