福建省普通高中畢業(yè)班2019屆高三4月質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)文試題

1、幵始4.向圓內(nèi)隨機(jī)投擲一點，此點落在該圓的內(nèi)接正確的是N邊形內(nèi)的概率為Pn,下列論斷正A.隨著n的增大，Pn增大B.隨著n的增大,Pn減小C.隨著n的增大，Pn先增大后減小D.隨著n的增大,Pn先減小后增大x2+y2蘭1,xy乞1,y芒0,則z=X-y的取值范圍是1,1】二運(yùn)莎A.-B.C.-D.6.如圖，AB是OO的直徑，VA垂直O(jiān)O所在的平面，點C是圓周上不同于B的任意一點，M,N分別為VA,VC的中點，則下列結(jié)論正確的是A.MN/ABB.MN與BC所成的角為45°C.OC丄平面VACD.平面VAC丄平面VBC5.已知X,y滿足|-1八2A,B7.若直線axby-1=0(a0,b

2、0)過曲線yFsi°<x212的對稱中心，則ab的最小值為A.2+1Z.XB.42C.3+2-2D.62019年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列函數(shù)中，值域為（0，的函數(shù)是A.f(x)=2xB.f(x)fjxC.f(x)=lgxD.f(x)=x22.執(zhí)行右圖所示的程序框圖.若輸入的n的值為3,則輸出的k的值為23.“a=1”是“關(guān)于x的方程x_2xa=0有實數(shù)根”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C18已知雙曲線22xy22

3、-11a0,b0ab的離心率為2，一條漸近線為1，拋物線C2:/=4X的焦點為F，點P為直線1與拋物線C2異于原點的交點，則A.2z.XB.3C.4D.5exm,y二二i,X19若曲線J-x與直線yPF二kx-1有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是A.(3-2.2,32.2)B.(0,3-2、2)C.(-：,0)一(0,3-2.2)D.(-：,3-2、2)10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，門是一個平面點集，如果存在非零平面向量a，對于任意P11,均有Q'1，使得°Q=°P，a，則稱a為平面點集|的一個向量周期.現(xiàn)有以下四個命題：若平面點集門存在向量周期a，則kaZ,

4、k=0也是門的向量周期;若平面點集11形成的平面圖形的面積是一個非零常數(shù)，則11不存在向量周期;若平面點集",y|x0,yC，則b=“,2為門的一個向量周期;若平面點集%、(x,y)|y=sinxic=1_,0COSx，則、2丿為0的一個向量周期其中正確的命題個數(shù)是A.1B.2C.3D.4第n卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置.2i11.復(fù)數(shù)1i等于12.6X的展開式中的常數(shù)項等于13.已知ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.cosAnB二-3和各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列a=14.對于數(shù)列S",如果存在

5、各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列使得Cn二anbn，則稱數(shù)列G，為“DQ數(shù)列”.已知數(shù)列耳是“DQ數(shù)列”，其前5項分別是:3,6,11,20,37,貝U°=.15設(shè)g（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f（x）=g（x）.現(xiàn)給出以下四個命題：若f（x）是奇函數(shù)，則g（x）必是偶函數(shù)；x若f（x）是偶函數(shù)，則g（x）必是奇函數(shù)；若f（x）是周期函數(shù)，貝yg（x）必是周期函數(shù)；若f（x）是單調(diào)函數(shù)，則g（x）必是單調(diào)函數(shù).其中正確的命題是.（寫出所有正確命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.（本小題滿分13分）f(xinxcos二+cos2二+

6、m已知函數(shù)2（I）求實數(shù)m的值以及函數(shù)(II)設(shè)x2x22的圖象過點fx的單調(diào)遞增區(qū)間;0<x軸、y軸及直線x二t（k5兀(6,0)./2兀/0店X6<3)所圍成的曲邊四邊形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)St的解析式.17.（本小題滿分13分）某地區(qū)共有100萬人，現(xiàn)從中隨機(jī)抽查800人，發(fā)現(xiàn)有700人不吸煙，100人吸煙.這100位吸煙者年均煙草消費支出情況的頻率分布直方圖如圖.將頻率視為概率，回答下列問題：（I）在該地區(qū)隨機(jī)抽取3個人，求其中至少1人吸煙的概率；（n）據(jù)統(tǒng)計，煙草消費稅大約為煙草消費支出的40%，該地區(qū)為居民支付因吸煙導(dǎo)致的疾病治療等各種費用年均約為18800萬元.

7、問：當(dāng)?shù)責(zé)煵菹M稅是否足以支付當(dāng)?shù)鼐用褚蛭鼰煂?dǎo)致的疾病治療等各種費用？說明理由.18.（本小題滿分13分）如圖，三棱柱ABC-ABQ的底面是邊長為4正三角形，AA1丄平面ABC,AA仁2運(yùn),M為AB1的中點.（I）求證：MC丄AB；（II）在棱CC1上是否存在點P，使得MC平面ABP?若存在,確定點P的位置；若不存在，說明理由.A(川)若點P為CC1的中點，求二面角B-AP-C的余弦值.19.(本小題滿分13分)如圖，設(shè)P是圓°：Xy=2上的點，過P作直線1垂直x軸于點Q,M為1上一點，且PQ=、2MQ，當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，記點M的軌跡為曲線丨.(I)求曲線-的方程；(n)某同學(xué)研究

8、發(fā)現(xiàn)：若把三角板的直角頂點放置在圓°的圓周上，使其一條直角邊過點F1,0，則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線:有且只有一個公共點.你認(rèn)為該同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請證明;若不正確，說明理由.(川)設(shè)直線m是圓°所在平面內(nèi)的一條直線，過點F1,0作直線m的垂線，垂足為T,連接°T,請根據(jù)“線段°T的長度”討論“直線m與曲線丨的公共點個數(shù)”.(直接寫出結(jié)論，不必證明)20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=lnx_a(1_丄)x(I)求fx的單調(diào)區(qū)間;(n)若f(x)的最小值為0,回答下列問題：(i)求實數(shù)a的值；(ii)已知數(shù)列a'滿足a

9、1=1,an廠f(an)2，記x表示不大于x的最大整數(shù)，求Sn=a1*a2*+an，求S21.本題有(1)、(2)、(3)三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題記分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中.(1)(本小題滿分7分)選修42:矩陣與變換卜1a、_M=已知a,bR,若矩陣lb3所對應(yīng)的變換把直線Lx+yh1變換為自身.(I)求實數(shù)a,b；(n)若向量5'r1丿，試判斷和是否為m的特征向量，并證明之(2) (本小題滿分7分)選修44:極坐標(biāo)與參數(shù)方程取相同的長度單位，且以原點°為極點，

10、以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為-仃前八1已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線丨經(jīng)過點P0,1，傾斜角為6；在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系x°y(I)寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)直線1與圓C相交于A，B兩點，求弦AB的長.(3) (本小題滿分7分)選修45:不等式選講若a，b,cER+,且滿足a+b+c=2.(I) 求abc的最大值；1_9(n)證明:2019年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算每小題5分，滿分50分.1.A;2B;3.A;4.A;5A;6.D;7.C;8.D;9.C;10.A二、填空題：本

11、大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分20分.n11.1+丨;12.20;13.8;14.n2；15.三、解答題：本大題共6小題，共80分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.本小題主要考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及定積分等_32基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.滿分13分.«.xx2x解法一：（I）fx='、3sincoscosmsin丨x+mI6丿2因為fx的圖象過點,0），所以I兀fx二sinx所以6，由sinTt2k二_x26i5兀JI1一+m=0166丿2，解得JI2兀，得

12、2k二21m=一22k-：_x2k二3,"Z72二2k二，2k二故fx的單調(diào)遞增區(qū)間是133"Z?731f(x)=sinx+cosx()由(I)得，22S。2所以t3.1sinxcosx22osxIsinx22晅cost+1sint2丿逼cos0+丄sin。22丿12分13分St二sint-所以解法二:.10分(I)因為函數(shù)fX的圖象過點5 二6 ,0)，所以=09/sln"cos5m26262zf5)討.5525f一兀l=x/3sinucosn+cos兀+m(6丿121212邑乜mm44221m=0所以2，解得m3分5分以下同解法x=sinx(II)由(I)得S

13、=所以t0sindx一cosx+7I6丿't06212分二32_S(t)=cost+0ct<J所以.62(3).13分17本題主要考查頻率分布直方圖、樣本平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識，考查必然與或然思想等滿分13分.2分1解：(I)依題意可知，該地區(qū)吸煙者人數(shù)占總?cè)藬?shù)的8所以抽取的3個人中至少1人吸煙的概率為0/10/73pyg).5分169512.6分(n)由頻率分布直方圖可知，吸煙者煙草消費支出的平均數(shù)為0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1.8分=0.36(萬元).Joo又該地區(qū)吸煙者人數(shù)為8萬

14、,所以該地區(qū)年均煙草消費稅為12分11001040.40.36=180008(萬元)又由于該地區(qū)因吸煙導(dǎo)致的疾病治療等各種費用約為18800萬元，它超過了當(dāng)?shù)責(zé)煵菹M稅，所以當(dāng)?shù)氐臒煵菹M稅不足以支付當(dāng)?shù)鼐用褚蛭鼰煂?dǎo)致的疾病治療等各種費用.13分18本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、簡單幾何體的體積、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想滿分13分.解：（I）取AB中點O,連接OM,OC./M為A1B1中點，MO/A1A，又A1A丄平面ABC,/MO丄平面ABC,/MO丄AB.2分/ABC為正三角形，A

15、B丄CO又MOnCO=O,AB丄平面OMC又MC平面OMCAB丄MC5分（II）以O(shè)為原點，以O(shè)B,OC,OM的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖.依題意0(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2血0),M(0,0,276)設(shè)P(0,2.3,t)(0乞仁2.6).8分.7分則MC二(0,23,-26),AB二(4,0,0),OP二(0,2.3,t)MCQP=0,要使直線MC平面ABP，只要MC4B=0.即(2J3)?=0，解得t=76.P的坐標(biāo)為（0'2巧八6）當(dāng)P為線段CC1的中點時，MC平面ABP.10分（川）取線段AC的中點D，則

16、D（7一3,0），易知DB平面AACG,故DB=（3,-'、3,0）為平面PAC的一個法向量.11分.12分又由（II）知MC=（0,2、3,_2、6）為平面PAB的一個法向量.設(shè)二面角B-AP-C的平面角為-，則MCB3漢0J3漢2(50漢2丁6MC審DB2后66-13.13分二面角B_AP-C的余弦值為619本小題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等.滿分13分.解：（I）設(shè)M（x,y）,P（xp，yp）,因為PQ垂直x軸于點Q,M為直線l上一點，且PQ=

17、-2MQ,所以xp=x,yp2y,.2分2222r因為點P在圓°：xy=2上，所以xPyp=22x2即x2C，2y)2=2,2x2.y1故曲線-的方程為2.4分（n）設(shè)三角板的直角頂點放置在圓。的圓周上的點N（a,b）處,a2b2=2,又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為（i）當(dāng)a=1時，直線NFx軸,顯然1與曲線-有且只有一個公共點.（ii）當(dāng)a時，則x二2，顯然1與曲線有且只有一個公共點;若b時，則直線1k=口的斜率b,丨：yb所以b“1-a2-aX"，即rxh,X22d!1y:1-a2ayx由.bb_1+ax2.21-a2-a.bb2一2即占2lx2+4(1_a)(2_

18、a)x+2(2_a$一b2I2小2又b=2-3,*22*“2所以方程(*)可化為_2x4a2蟲4a=0,所以也=屮1aI2a16(a-2)(a-1)=0所以直線丨與曲線-有且只有一個公共點.綜上述，該同學(xué)的結(jié)論正確?！?，10分（川）當(dāng)°T時，直線m與橢圓沒有公共點；當(dāng)°T=運(yùn)時，直線m與橢圓有且只有一個公共點；當(dāng)°T運(yùn)時，直線m與橢圓有兩個公共點.13分1420.本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等滿分分.解:（I）函數(shù)fX的定義域為（

19、76;,V），且xx2x2.,1分當(dāng)a空0時，f/（x）0，所以fx在區(qū)間（°,：）內(nèi)單調(diào)遞增；，,，2分當(dāng)a0時，由f（x）0，解得xa；由f（x）:：0，解得0xa.所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,'J，單調(diào)遞減區(qū)間為（°,a）.,3分綜上述：a'°時，fx的單調(diào)遞增區(qū)間是（°,'J；a0時，fX的單調(diào)遞減區(qū)間是（°,a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a,7）.,(n)(i)由(i)知，當(dāng)a豈0時，fx無最小值，不合題意；，當(dāng)a0時,f(x)min=f(a)=1-a+lna=0.令g(x)=1x+lnx(x0)，則x由g(x)0，

20、解得0x<1；由g/(x)：0，解得x1.所以gX的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1J：)故g(X)max=g(1)=0，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，gx=0.因此，a=1(ii)因為f(x)=lnx-11x，所以1an1=f(an)2=1Inanan由a1二1,得a2二2,as=3ln22In2:1.因為2，所以2035<2猜想當(dāng)n-3,nN時,an10分F面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.a3=3+ln2當(dāng)n=3時，2，故2：035<_2成立.，,11分假設(shè)當(dāng)n=k(k3，kN)時,2vakv£不等式2成立.1ak4t=1+lnak則當(dāng)n=k+1時，0kh(x)=f(

21、x)+2=1十丄+lnx由(i)知函數(shù)x在區(qū)間h,5j2單調(diào)遞增,5所以h(2)：h(ak)：h(2),又因為丄1丄h(2)=1ln222h(5)=i2in5:：v2d：:52525252成立，即當(dāng)n=k+1時，不等式成立.-152<an<_根據(jù)可知，當(dāng)n-3,n，N時，不等式2成立13分因此，Sn羽a2an2（n）=2n-1.,14分21.（1）（本小題滿分7分）選修4-2:矩陣與變換本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分7分.（I）解法一：解：在直線1：xy"上任取兩點（1,0）和（0,1）,.2分<-1aY1_匸1fja¥0_“由33丿I。2和33丿Ji3知點（一1）和點（a,3）均在直線x上,-1b=1,所以a3=1,解得a=-2,b=2.所以矩陣(1-2、M=<23丿-1-2rr豐九1、*-1-2、*1、<231<5><