教案09-21離散型隨機(jī)變量及其分布續(xù)

1、教學(xué)對(duì)象管理系505-13、14、15；經(jīng)濟(jì)系205-1、2計(jì)劃學(xué)時(shí)2授課時(shí)間2006年3月3日；星期五；12節(jié)教學(xué)內(nèi)容第二章 一維隨機(jī)變量及其概率分布第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律（續(xù)）三、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布1、二點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布2、泊松分布教學(xué)目的通過教學(xué)，使學(xué)生能夠：1、掌握兩點(diǎn)分布2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布3、掌握泊松分布知 識(shí)：1、兩點(diǎn)分布2、貝努利概型和二項(xiàng)分布3、泊松分布技能與態(tài)度1、將生活中的隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)變量的分布相聯(lián)系2、會(huì)分析計(jì)算生產(chǎn)實(shí)際中的概率問題教學(xué)重點(diǎn)常見的分布教學(xué)難點(diǎn)貝努利概型教學(xué)資源自編軟件（演示貝努利概型）教學(xué)后記培養(yǎng)方案或教學(xué)大綱修改意見對(duì)授課

2、進(jìn)度計(jì)劃修改意見對(duì)本教案的修改意見教學(xué)資源及學(xué)時(shí)調(diào)整意見其他教研室主任：系部主任：教學(xué)活動(dòng)流程教學(xué)步驟、教學(xué)內(nèi)容、時(shí)間分配教學(xué)目標(biāo)教學(xué)方法一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)內(nèi)容：（5分鐘）1、隨機(jī)變量的概念2、分布律的概念導(dǎo)入新課：（2分鐘）上一次我們引入了隨機(jī)變量的概念，已經(jīng)學(xué)會(huì)了用含有隨機(jī)變量的等式或不等式來表示不同的隨機(jī)事件。在實(shí)際問題中，不同的離散型隨機(jī)變量擁有各自不同的分布律。但生產(chǎn)管理和實(shí)際生活中，有很多隨機(jī)變量的分布規(guī)律是類似的，常見的分布有三類：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布鞏固所學(xué)知識(shí)，與技能引出本節(jié)要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提問講解二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握兩點(diǎn)分布2、掌握貝努利概型和二項(xiàng)分布3、掌握

3、泊松分布三、知識(shí)學(xué)習(xí)（50分鐘）三、常見的離散型隨機(jī)變量的分布(一)兩點(diǎn)分布（01分布）若隨機(jī)變量X的分布律為，則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1）分布。若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面，射擊是否中靶，新生兒的性別，等等，它們都可以用（0-1）分布來描述，只不過對(duì)不同的問題參數(shù)p的值不同而已?？梢姡?-1）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。例1、從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，以X表示取出球的顏色情況，即X=，求X的分布律。解：PX=1=0.6，PX=0=0.4則X的分布律為(二)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是實(shí)際中很常見的一種分布，為了對(duì)它進(jìn)行研究，需要先介

4、紹一種非常重要的概率模型貝努利概型我們?cè)趯?shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況:所考慮的試驗(yàn)是由一系列的子試驗(yàn)組成的，而這些子試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響的，即子試驗(yàn)之間是互相獨(dú)立的。例如，將一枚硬幣連續(xù)拋n次，我們可以將每拋一次看成一個(gè)子試驗(yàn)，而每次拋硬幣出現(xiàn)正面與反面的結(jié)果是互不影響的。而且隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是在大量的重復(fù)試驗(yàn)的條件下才呈現(xiàn)出來的，因此對(duì)某個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。我們只討論每次只有兩個(gè)結(jié)果的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。1、貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果：A或，在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果是互不影響，則稱這n重

5、獨(dú)立試驗(yàn)。它是數(shù)學(xué)家貝努利首先研究的，因此也叫n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)，這時(shí)討論的問題叫貝努利概型說明：貝努利試驗(yàn)應(yīng)同時(shí)滿足以下條件：(1)在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；(2)每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：A發(fā)生或A不發(fā)生；(3)在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的對(duì)于貝努利概型，我們主要研究在n次貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率。定理：在貝努利概型中，設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則在n次貝努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次的概率為，（k=0,1,2,n）例2：將一枚均勻的硬幣拋擲3次（與3枚硬幣擲一次相當(dāng)），求正面出現(xiàn)1次的概率解：n=3，k=1，p

6、=0.5，1-p=0.5，則=0.375用古典概率解釋: =正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反說明:簡(jiǎn)單問題用古典概型解決還可以,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)太多時(shí),樣本點(diǎn)有2n個(gè)，只能用公式求解軟件演示：例3：從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有兩次取得次品的概率解：將每一次抽取當(dāng)做一次試驗(yàn)，設(shè)A=取到次品，有放回地抽取5次，看成是一個(gè)5重貝努利試驗(yàn)，n=5，兩次取得次品，則有k=2，每次試驗(yàn)中p = P(A)=，則1-p=，因此=2、二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,n，且PX=k=，k =0,1,2,n其中0<p <

7、1，則稱X服從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)分布或貝努利分布，記為XB(n，p)特例：當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即為兩點(diǎn)分布例4(P 21)說明：二項(xiàng)分布的應(yīng)用非常廣泛，但是當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，計(jì)算量又很大，平時(shí)解題可以不用計(jì)算，當(dāng)n>5時(shí)用式子表示即可。為便于應(yīng)用，可直接查閱二項(xiàng)分布表(P157附表6），查表結(jié)果是X取值從0到x的累計(jì)概率。即PXx。若計(jì)算X=m的概率，可用PX=m=PXmPXm1例如：PX=5=PX5PX4例5(P22)、工廠生產(chǎn)的螺絲次品率為0.05，每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的，產(chǎn)品出售時(shí)10個(gè)螺絲打成一包，并承諾若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨。用X表示一包內(nèi)次品的個(gè)數(shù)。

8、求（1）X的分布律；（2）工廠的退貨率解：對(duì)一包內(nèi)的10個(gè)螺絲逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，相當(dāng)于進(jìn)行10重貝努利試驗(yàn)，因此XB(10,0.05)（1）X的分布律：PX=k=，（k =0,1,2,10）（2）當(dāng)X>1時(shí)退貨，退貨率為：PX>1= 1PX1=1泊松定理（Poisson）:設(shè)>0是一常數(shù)，n是正整數(shù)。若npn=，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有。（證：P23注釋）定理的條件npn=，意味著n很大時(shí)pn必定很小，由定理知，當(dāng)XB(n, p)，且n很大而p很小時(shí)，有PX=k=，=np在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n20且p0.05時(shí)，用計(jì)算的近似值效果頗佳；當(dāng)n100且np10時(shí)，效果更好。的值有表可

9、查（見書后附表P139）例6、某車間有同類型的設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一名工人維修，問至少需配備多少名維修工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？解 設(shè)需配備N名工人，X為同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則XB(300,0.01)。所需解決的問題是確定N的最小值，使P(XN ) 0.99因=np =3，由泊松定理P(XN ) 故問題轉(zhuǎn)化為求N的最小值，使0.99即查書后附表2（P140）可知，當(dāng)N+19即時(shí)N 8時(shí)，上式成立。因此，為達(dá)到上述要求，至少需配備8名維修工人。類似的問題在其他領(lǐng)域也會(huì)遇到，如電話交換臺(tái)

10、接線員的配備，機(jī)場(chǎng)供飛機(jī)起降的跑道數(shù)的確定等.(三)泊松分布定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,而PX=k=，其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為XP()具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的。例如，在每個(gè)時(shí)段內(nèi)電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)、某商店在一天內(nèi)來到的顧客人數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)的某放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)、在某時(shí)段內(nèi)在車站候車的人數(shù)、單位面積上布匹的疵點(diǎn)數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)商店銷售非緊俏商品的件數(shù)、等等，只要試驗(yàn)的結(jié)果為兩個(gè)，且由很多因素共同作用來決定的隨機(jī)變量，都可認(rèn)為是服從泊松分布。泊松分布也是一種常見的重要分布。它是二項(xiàng)分布的極限分布，因此可用泊

11、松分布的計(jì)算公式計(jì)算二項(xiàng)分布。例15：每分鐘經(jīng)過收費(fèi)站的汽車流量服從泊松分布：X P(5)，求每分鐘經(jīng)過該收費(fèi)站的汽車不足9輛的概率。解：PX<9=1PX9=1-0.0681=0.9319掌握兩點(diǎn)分布的概念理解貝努利概型掌握計(jì)算公式掌握二項(xiàng)分布的計(jì)算理解定理內(nèi)容理解泊松分布的定義講授法講授法講授法板書軟件演示講授法板書四、技能學(xué)習(xí)（20分鐘）例1 某人獨(dú)立地射擊目標(biāo)，每次射擊的命中率為，射擊200次，求目標(biāo)被擊中的概率。解：把每次射擊看成一次試驗(yàn)，這是200重貝努利試驗(yàn)。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則XB(200,0.02)X的分布律為：PX=k=，（k =0,1,2,200）所求概率：PX1=1

12、PX=0=10.98200=0.9824說明：雖然每次的命中率很小，但當(dāng)射擊次數(shù)足夠大時(shí)，擊中目標(biāo)的概率很大。這個(gè)事實(shí)告訴我們，一個(gè)事件盡管在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件的發(fā)生幾乎是必然的。也就是說，小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)室驗(yàn)中是不可忽視的。當(dāng)問題的規(guī)模很大時(shí)，一般n很大且p很小，無法查表。而直接計(jì)算又很麻煩，下面給出一個(gè)當(dāng)n很大而p很小時(shí)的近似計(jì)算公式.例2、車間現(xiàn)有90臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，每臺(tái)發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障只能由一個(gè)人修理。配備維修工人的方法有兩種，一種是由三人分開維護(hù)，每人負(fù)責(zé)30臺(tái)；另一種是由3人共

13、同維護(hù)90臺(tái)。分別求在兩種情況下車間的設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率。解：設(shè)X為出現(xiàn)故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)（1）每人負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)，可認(rèn)為是30重貝努利試驗(yàn)，因此XB(30,0.01)，當(dāng)X>1時(shí)等待修理。=np =0.3，PX>1= PX20.0369Ai=“第個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而無人修理”?？芍狿(Ai)=0.0369，而90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障無人修理的事件為A1A2A3，故采用第一種方法，所求概率為P(A1A2A3)= 1- P(123)=1-(1-0.0369)3=0.1067（2）三人共同維護(hù)90臺(tái)，認(rèn)為是90重貝努利試驗(yàn)，因此XB(90,0.01)，當(dāng)X>3時(shí)等待修理

14、。而所求概率為PX>3= PX40.0135因?yàn)?.0135<0.0369，顯然共同負(fù)責(zé)比分塊負(fù)責(zé)的維修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知識(shí)可以解決運(yùn)籌學(xué)所要解決的有效運(yùn)用人力、物力資源的某些問題。掌握分布律的性質(zhì)教師提問引導(dǎo)學(xué)生寫出答案五、態(tài)度養(yǎng)成做事認(rèn)真的態(tài)度六、技能訓(xùn)練（16分鐘）練習(xí)：一大樓有五個(gè)同類型的獨(dú)立供水設(shè)備，在任意時(shí)刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻(1)恰好有兩個(gè)設(shè)備被使用的概率P1是多少?(2)至少有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P2是多少?(3)至多有三個(gè)設(shè)備被使用的概率P3是多少?(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率P4是多少?解：在同一時(shí)刻觀察五個(gè)設(shè)備,它們工作與否是相互獨(dú)立的,故可視為5重貝努里試驗(yàn)，n=5，p=0.1，于是可得：(1)P1P5(2) C(0.1)2(0.9)530.0729(2)P2P5(3)+ P5(4)+ P5(5)0.00856(3)P3P5(0)+ P5(1)+ P5(2) + P5(3)0.99954(4)P41P5(0)10.950.40951X=0=沒有取到次品，PX=0=X=1=取到一件次品，PX=1=X=2=取到兩件次品，PX=2=X的分布律為：通過實(shí)際訓(xùn)練，使學(xué)生理解樣本的