點的合成運動Cyj解析

1、Mechanics of Theory 理論力學(xué)理論力學(xué)第八章點的合成運動第八章第八章 點的合成運動點的合成運動8- -1 相對運動相對運動 牽連運動牽連運動 絕對運動絕對運動8- -2 點的速度合成定理點的速度合成定理8- -3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理8- -4 牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理8-1 相對運動 牽連運動 絕對運動一、動點 動點：作為研究對象的運動著的點。 二、兩個坐標(biāo)系 靜坐標(biāo)系：習(xí)慣上把固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系 稱為靜坐標(biāo)系。 動坐標(biāo)系：把固結(jié)于相對地面有運動的物體 上的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系。 點

2、的合成運動研究動點相對兩個不同參考系的運動關(guān)系。三、三種運動三、三種運動 絕對運動：動點相對于定系的運動 相對運動：動點相對于動系的運動 牽連運動：動系相對于定系的運動 絕對運動和相對運動都是點的運動 牽連運動是剛體的運動 四、三種速度3. 牽連速度 在某一瞬時，動坐標(biāo)系中與動點M 相重 合的點相對于靜坐標(biāo)系的速度稱為牽連 速度 。ev1. 絕對速度 絕對運動中動點相對于靜系的速度稱為 絕對速度 。av2. 相對速度 相對運動中動點相對于動系的速度稱為 相對速度 。rv動點: 物塊A，動系: 固連小車，靜系: 固連地面。絕對運動：動點A靜系絕對軌跡：絕對軌跡：未知曲線未知曲線相對運動:動點動點

3、A動系（動系（小車）小車）牽連運動:動系（小車）靜系相對軌跡：鉛垂直線牽連軌跡：直線平動動點動點: M點，點，動系動系: 固連飛機(jī)，固連飛機(jī)，靜系靜系: 固連地面。固連地面。 絕對運動：動點動點M靜系絕對軌跡： 未知曲線 相對運動:動點M動系(飛機(jī)） 牽連運動:動系（飛機(jī)）靜系相對軌跡：定軸轉(zhuǎn)動（圓周）牽連軌跡：直線平動五點的合成運動動點 M 因動系的牽連運動而有的運動動點 M 相對動系 的相對運動合 成分 解動點 M 的絕對運動六動點與動系的選取原則 動點與動系不能選在同一物體上，否則無相對運動。 動點相對于動系的相對運動軌跡要一目了然，即是 一條簡單、明了的已知軌跡曲線 -圓弧或直線。8-

4、2 點的速度合成定理 點的速度合成定理建立了動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。CC點一定理的導(dǎo)出1CCC也可以看成CCCC 曲線絕對軌跡矢量絕對位移11CCCC 曲線牽連軌跡矢量牽連位移11C CC C曲線相對軌跡矢量相對位移, tttCBC B 當(dāng)曲線11CCCCC C 11000limlimlimtttCCC CCCttt 時的極限，得：后，取將上式的兩邊同除以0tt由矢量合成關(guān)系，得：由矢量合成關(guān)系，得：reavvv+=即：點的相對速度動的速度）是動系上一點（牽連點點的牽連速度動點的絕對速度動 reavvv二點的速度合成定理 定理 討論 是是矢量式，符合矢量合成法則；矢量式，

5、符合矢量合成法則；reavvv+= 是瞬時關(guān)系式，兩邊可以求導(dǎo)是瞬時關(guān)系式，兩邊可以求導(dǎo)；reavvv+= 共包括大小共包括大小方向六個要素，方向六個要素， 已知任意四個要素，能求出另外兩個要素已知任意四個要素，能求出另外兩個要素。reavvv+=reavvv+= 動點的絕對速度等于它的牽連速度與相對速度的矢量和。這就是點的速度合成定理。 1在搖桿O1B的槽中滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動。曲 柄長OA=r，兩軸間的距離OO1=l。求曲柄在水平位置的瞬時，搖桿O1B的角速度 及滑塊A對于搖桿O1B的相對速度。 例8-3 刨床急回機(jī)構(gòu)如圖 (a)所示。曲柄OA的一端與滑塊A用鉸鏈連接。當(dāng)

6、曲柄OA以勻角速度 繞定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊解: 1動點：滑塊A動系：搖桿2運動分析 絕對運動:繞O點的圓周運動相對運動:沿O1B的直線運動牽連運動:繞O1軸定軸轉(zhuǎn)動avr 三種速度分析:reavvv+=畫出速度矢量三角形。 easinvv22sinrlravr2e22rvlr另一方面e11 vO A221 O Alr2122rlr由速度合成定理：racosvv22cosllrr22rlvlr 例8-4 如圖所示，在偏心距為e的圓盤凸輪機(jī)構(gòu)中，圓盤的半徑為r，繞O軸做定軸轉(zhuǎn)動，角速度為，輪推動頂桿AB沿鉛直滑道運動，O點和AB桿在一條直線上。求當(dāng)OC垂直O(jiān)A時，頂桿AB的速度。解:1動點：AB桿上

7、的A點動系：固結(jié)在圓盤上 2運動分析 絕對運動:點A沿鉛垂方向的直線運動 相對運動:點A沿圓盤邊緣的圓周運動 牽連運動:圓盤凸輪繞O點的定軸轉(zhuǎn)動 三種速度分析:avevrvOA 垂直于OA，指向與 同速度大小未知未知方向沿AB 垂直于CA (半徑)4. 求解aetanOCv =v=OA=eOAer cosvOA v =r= rOA8-3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理 在上一節(jié)中研究了點的速度合成定理，它對于任何形式的牽連運動都是適用的。但是，加速度合成的問題則比較復(fù)雜，對于不同形式的牽連運動會得到不同的結(jié)論。本節(jié)研究當(dāng)牽連運動為平動時絕對加速度、牽連加速度和相對加速度的關(guān)系。對于牽連運動

8、為定軸轉(zhuǎn)動時的情況，下節(jié)再討論。 由于牽連運動為平動，故 設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系Oxyz 的曲線AB運動， 而曲線AB同時又隨同動系Oxyz 相對靜系Oxyz平動。一定理的導(dǎo)出ve =vOae =aOva =ve +vrvr=vrxi +vry j + vrx k 而，由速度合成定理dtdzdtdydtdx vavOijkdt2dt2dt2d2zd2yd2xaaaOijkaa =ae +ar (*)上式求導(dǎo)，因此，說明說明:(1) (*)式是矢量式，矢量式，符合矢量合成法則；(2) 對于復(fù)雜問題，建議采用復(fù)雜問題，建議采用矢量投影定理矢量投影定理求解。求解。 例8-5 如圖所示，

9、曲柄OA長0.4 m，以等角速度=0.5 rad/s繞O軸逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。由于曲柄的A端推動水平板B，而使滑桿C沿鉛直方向上升。求當(dāng)曲柄與水平線間的夾角 時，滑桿C的速度和加速度 。030解：(1)動點：桿OA上點A ； 動系：滑桿； 絕對運動：A點繞O點的圓周運動； 相對運動：點A相對于滑桿的直線運動； 牽連運動：滑桿的平行移動。(2) 速度分析:reavvv+=由速度合成定理：a0.2 m/svOAea3cos300.2=0.173 m/s2vv(3) 加速度分析:aeraaan22aa0.1 m/saaOA2easin300.05 m/saa 例8-6 如圖所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中, 曲柄O

10、A=10 cm，繞O軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)時 ，其角速度 ，角加速度 。求導(dǎo)桿BC的加速度和滑塊A在滑道中的相對加速度。301 rad/s21 rad/s解 (1) 取滑塊A為動點，動參考系固連于導(dǎo)桿上。 (2) 動點A的絕對運動是圓周運動， 絕對加速度分為切向加速度和法向加速度。 2a10 cm/saOAn22a10 cm/saOA相對加速度的方向為水平，大小待求；牽連運動為導(dǎo)桿的直線平動，速度為鉛垂方向，大小待求。 (3) 牽連運動為平動的加速度合成定理為naaaeraaaaa利用解析法，即假設(shè) 與 的指向如圖所示，選投影軸 ，將上式各矢量分別投影在 軸和 軸上，得earaAnaarcos30sin3

11、0aaanaaesin30cos30aaa2r3.66 cm/sa 2e13.66 cm/sa 解得： 例8-7 半徑為R的半圓形凸輪，當(dāng)OA與鉛垂線成 角時，凸輪以速度v0、加速度a0向右運動，并推動從動桿AB沿鉛垂方向上升，求此瞬時AB桿的速度和加速度。解：（1）取桿的端點A為動點，動參考系固連于凸輪上。 （2）分析三種運動絕對運動： A點沿AB鉛垂直線；相對運動： A點沿凸輪表面的圓弧；牽連運動： 凸輪的平動。（3）速度分析及計算aerv = vve0rcoscosvvvae0tantanAvvvv（4）加速度分析及計算： 根據(jù)牽連運動為平移的加速度合成定理有 aeraaa根據(jù)矢量投影定

12、理，取OA為投影軸，將上式向OA軸上投影，得：na0rcossinaaa20n220r0a003sincostantancoscoscosvaavRaaaR2003(tan )cosvaR 負(fù)號表示指向與假設(shè)相反，應(yīng)指向下。 8-4 牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理 一、定理的導(dǎo)出 為了便于推導(dǎo)，先分析動參考系為定軸轉(zhuǎn)動時，其單位矢量 對時間的導(dǎo)數(shù)。 i j kddAAAtrvr AOrrkddddOOttrkrk ddOOOtrvr ddtkk 同理有ddtii ddtjj 上面三個式子是在動系作定軸轉(zhuǎn)動的情況下證明的。當(dāng)動系作任意運動時，可以證明仍然是正確的，這時為動系在該瞬時的角速度矢

13、。 下面推導(dǎo)點的加速度合成定理。xyz rijkrddddddddxyzttttrvijk222rr222ddddddddxyzttttvaijkevr ee arvaerddddddxyztttvvvr +ijk 222aa222dddddddddddddddddd ddddddxyzttttttxyzttttttvrar +ijkijk aerrerrrerrdddddd 2xyzttt arvvaijkrvvava +av r2Cav 令 稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。 aerCaa +aa 這就是牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成公式: 牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于牽連加速

14、度，相對加速度與科氏加速度的矢量和。 aerCaa +aa 雖然該定理是在牽連運動為轉(zhuǎn)動時推導(dǎo)出來的，但并不失一般性，當(dāng)牽連運動為其他復(fù)雜運動時，上式同樣適用。 例8-9 如圖所示，直角彎桿OBC以勻角速度=0.5rad/s 繞O軸轉(zhuǎn)動，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動；OB=0.1m，OB垂直BC。試求當(dāng) 時小環(huán)M點的速度和加速度。60解：(1) 運動分析動點：小環(huán)M ；動系：固連于OBC；絕對運動：小環(huán)M沿OA桿的直線運動；相對運動：小環(huán)M沿BC桿的直線運動；牽連運動：彎桿OBC繞O點的定軸轉(zhuǎn)動。(2) 速度分析利用點的速度合成定理得aerv = vve0.2 0.50.1 m/svO

15、Mae30.173 m/svvre20.2 m/svv(3) 加速度分析 加速度絕對加速度 牽連加速度 相對加速度 科氏加速度 大小未知未知方向沿OA指向O點沿BC垂直BC20.2r2 vaaraneaCaaerCaa +aanaecoscosCaaa2a0.35 m/sMaa解得應(yīng)用投影方法，將上式加速度合成定理的矢量方程向 軸投影 例8-10 求例8-3中搖桿O1B在下圖所示位置時的角加速度。 解：運動分析和速度分析同前面例8-3，下面直接進(jìn)行加速度分析。 根據(jù)加速度合成定理的矢量方程： e1aO A加速度大小未知未知方向沿OA，指向O垂直于 O1A沿O1A，指向O1沿O1A垂直于 O1A

16、naeerCaa + a + aanaaeanearaCa2r211O A01 r2sin90v將式(a)向 軸投影，得1O x（a） aecosCaaa 222e3/222rl lralraecosCaaa 222e2221rl lraO Alr搖桿O1B的角加速度角加速度的方向為逆時針轉(zhuǎn)向，如圖所示。 220lr為正值。正號表示真實方向與圖中假設(shè)的指向相同。 ea因為，所以本 章 小 結(jié)1用點的合成運動理論研究點的運動時，必須正確選擇一個動點，兩個坐標(biāo)系；分析三種運動，三種速度及三種加速度。點的絕對運動為點的牽連運動和相對運動的合成結(jié)果。絕對運動：動點相對于定參考系的運動；相對運動：動點相

17、對于動參考系的運動；牽連運動：動參考系相對于定參考系的運動。2點的速度合成定理：動點的絕對速度等于它的牽連速度與相對速度的矢量和。aervvv絕對速度：動點相對于定參考系的運動速度；相對速度：動點相對于動參考系的運動速度；牽連速度：動坐標(biāo)系中與動點重合的那一點(即牽連點)對定參考系的速度。 3點的加速度合成定理：aerCaa +aa絕對加速度：動點相對于定參考系的加速度；相對加速度：動點相對于動參考系的加速度；牽連加速度：動坐標(biāo)系中與動點重合的那一點(即牽連點)對定參考系的加速度。科氏加速度：牽連運動為轉(zhuǎn)動時, 牽連運動和相對運動相互影響而出現(xiàn)的一項附加的加速度。 8-1 相對運動 牽連運動

18、絕對運動三、三種運動三、三種運動 絕對運動：動點相對于定系的運動 相對運動：動點相對于動系的運動 牽連運動：動系相對于定系的運動 絕對運動和相對運動都是點的運動 牽連運動是剛體的運動 動點: 物塊A，動系: 固連小車，靜系: 固連地面。絕對運動：動點A靜系絕對軌跡：絕對軌跡：未知曲線未知曲線相對運動:動點動點A動系（動系（小車）小車）牽連運動:動系（小車）靜系相對軌跡：鉛垂直線牽連軌跡：直線平動五點的合成運動動點 M 因動系的牽連運動而有的運動動點 M 相對動系 的相對運動合 成分 解動點 M 的絕對運動六動點與動系的選取原則 動點與動系不能選在同一物體上，否則無相對運動。 動點相對于動系的相對運動軌跡要一目