材料力學(xué)C(II)下冊第三章

1、第三章第三章 能量法能量法-1 概述概述-2 -2 應(yīng)變能應(yīng)變能余能余能-3 -3 卡氏定理卡氏定理-4 -4 用能量法解超靜定用能量法解超靜定問題的提出問題的提出FABC3045Fl/2ACBl/2法一：利用幾何、物理、靜力學(xué)三方條件求解法一：利用幾何、物理、靜力學(xué)三方條件求解法二：利用外力功與應(yīng)變能相等求解法二：利用外力功與應(yīng)變能相等求解3-1 概概 述述 能量的觀點討論問題，是各門學(xué)科的一個共性的內(nèi)容，能量的觀點討論問題，是各門學(xué)科的一個共性的內(nèi)容，能量無處不在；在力學(xué)分析中，能量的概念將能量無處不在；在力學(xué)分析中，能量的概念將力和變形力和變形（位移）（位移）作為一體討論作為一體討論第三

2、章第三章 能量法能量法 圖中圖中AC和和AB桿的直徑分別是桿的直徑分別是d1=12 mm,d2=15 mm，彈性，彈性模量均為模量均為E = 210 GPa。試求。試求A點點在鉛垂方向的位移。在鉛垂方向的位移。x45o30oyA( b )F1NF2NF1A45o30o2Dl1ADl2 DAy( c )優(yōu)點：優(yōu)點：不管不管中間過程中間過程，只算最終狀態(tài)只算最終狀態(tài) 利用利用功和能功和能的概念求解變形固體的位移、變形的概念求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法統(tǒng)稱為和內(nèi)力的方法統(tǒng)稱為能量法能量法。 能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學(xué)問題的重能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學(xué)問題的重要

3、基礎(chǔ)。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應(yīng)用。要基礎(chǔ)。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應(yīng)用。上例若利用上例若利用外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，即即222N112N222121EAlFEAlFFAy第三章第三章 能量法能量法 對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的位移計算，采用從對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的位移計算，采用從幾何幾何、物理關(guān)系和靜力物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系學(xué)關(guān)系三個方面入手的思想，或者從幾何協(xié)調(diào)關(guān)系出發(fā)，顯得三個方面入手的思想，或者從幾何協(xié)調(diào)關(guān)系出發(fā)，顯得非常麻煩非常麻煩. .小前提：小前提： 緩慢加載緩慢加載; ; 外力做功，功只轉(zhuǎn)成應(yīng)變能（不轉(zhuǎn)成動能、熱能外力做功，功只轉(zhuǎn)成應(yīng)變能（不轉(zhuǎn)成動能、熱能

4、) )3 32 2 應(yīng)變能和余能應(yīng)變能和余能 大前提：大前提： 1 1、小變形；、小變形； 2 2、服從、服從鄭玄鄭玄胡克胡克定律定律 線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外載的線性函數(shù)載的線性函數(shù). .第三章第三章 能量法能量法恒力功恒力功: : 力作用于物體，力在其作用方向上發(fā)生位移，則該力對力作用于物體，力在其作用方向上發(fā)生位移，則該力對物體做了功物體做了功11WFD變力功變力功: : FDW I. 功和應(yīng)變能功和應(yīng)變能1D D1F曲線與曲線與橫軸橫軸圍成的圍成的面積面積第三章第三章 能量法能量法F1D D1 1FD DoD D1 1F1FFdD10

5、DdD D12WFDD式中式中F F廣義力廣義力( (力或力偶力或力偶) )； D D廣義位移廣義位移( (線位移或角位線位移或角位移移),),在在所有力共同作用所有力共同作用下與廣義力下與廣義力F F相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。FD在線彈性范圍內(nèi)在線彈性范圍內(nèi)第三章第三章 能量法能量法FMelFD D 21W軸向拉壓軸向拉壓扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)W eM21彎彎 曲曲W eM21FMelFD D 21EIlM22 pGIlT22 WV N2NFF lEA llEA22D D 軸向拉壓軸向拉壓扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)WV eM21lGIp22 彎彎 曲曲WV eM21 22lwEI 應(yīng)

6、變能應(yīng)變能: : 外力做功系統(tǒng)儲存的能量，外力做功系統(tǒng)儲存的能量，W=V第三章第三章 能量法能量法22NFlEA 組合變形組合變形222200( )2222llyNzllpzyM dxF dxM dxT xdxVEAGIEIEI1.1.以上計算公式僅適用于以上計算公式僅適用于線彈性線彈性材料在材料在小變形小變形下的應(yīng)變能下的應(yīng)變能的計算。的計算。2.2.應(yīng)變能可以通過應(yīng)變能可以通過外力功外力功計算，也可以通過桿件微段上計算，也可以通過桿件微段上的的內(nèi)力功內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的應(yīng)變能。的應(yīng)變能。應(yīng)變能的大小與加載順序無關(guān)應(yīng)變能的大

7、小與加載順序無關(guān).（能量守恒）（能量守恒）3 3. .應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計算中不能使用。在應(yīng)變能計算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用。4.4.應(yīng)變能是應(yīng)變能是恒為正恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，在桿的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標(biāo)系。系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標(biāo)系。第三章第三章 能量法能量法 21v單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 1 2 3t

8、 t E22 22 Ett 21vG22t t 22 G332211212121 v 133221232221221 Ev各式僅適用于各式僅適用于線彈性范圍線彈性范圍 VdVvV應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度: : 單位體積內(nèi)儲存的能量，用單位體積內(nèi)儲存的能量，用v表示表示非線彈性材料非線彈性材料d o 1 1 1 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 10dv應(yīng)變能計算應(yīng)變能計算VVv dVVWFdDDD10FcdFW余功與外力功余功與外力功 之和之和等于矩形面積等于矩形面積11DFDD10FdW與與余功余功相應(yīng)的能稱為相應(yīng)的能稱為余能余能,用用Vc表示表示D10FccdFWVVccdVvV10dvcoFD1F1DF

9、DDFdF曲線與曲線與縱縱軸軸圍成的圍成的面積面積第三章第三章 能量法能量法線彈性線彈性材料材料應(yīng)變應(yīng)變能等于余能等于余應(yīng)變能。應(yīng)變能。例題例題 圖示等截面懸臂梁，圖示等截面懸臂梁，E, I, A已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和集中力偶和集中力偶M作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能。作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能?？紤]考慮兩種不同兩種不同的加載次序，略去剪力的影響的加載次序，略去剪力的影響. .利用應(yīng)變能密度利用應(yīng)變能密度三種方法三種方法利用外力功利用外力功利用內(nèi)力功利用內(nèi)力功F Ml第三章第三章 能量法能量法( )M xMFx 2( )2lMx dxVEI2

10、0()2lMFxdxEI 2 3221()23F lM lFMlEI彎矩彎矩: :第三章第三章 能量法能量法解解: :方法一方法一222 3226M lFMlF lEIEIEIF MlxF F先加載先加載M M再加載再加載33FlwEI 2 31126F lVFwEI MlEI 212VM 222MlwEI 12VVV 2 322622F lFMlM lEIEIEI 2222M lFMlEIEI 方法二方法二2Fw F Mlx第三章第三章 能量法能量法M先加載先加載F再加載再加載33FlwEI 222FlEI 21122M lVMEI MlEI 212VFw 12VVV 2 3262F lMF

11、lEIEI 2()M 2 322622F lFMlM lEIEIEI 第三章第三章 能量法能量法F MlxF MlxF lx Mlx212VM 112VFw 12VVV 3123FlFEI 2 36F lEI 12MlMEI 22M lEI 第三章第三章 能量法能量法FMlxFlxMlx112VFw 212VM 12VVV 思考思考: :第三章第三章 能量法能量法 例例題題 原為水平位置的桿系如圖所示，試計算在荷載原為水平位置的桿系如圖所示，試計算在荷載F作用作用下的應(yīng)變能。兩桿的彈性模量均為下的應(yīng)變能。兩桿的彈性模量均為E E, ,橫截面面積均為橫截面面積均為A 。 解：解：首先分析力首先分

12、析力F 和位移和位移D之間的關(guān)系，求出之間的關(guān)系，求出F = f (D)的的表達(dá)式。設(shè)兩桿的軸力均為表達(dá)式。設(shè)兩桿的軸力均為FN ，兩桿的伸長量和兩桿的伸長量和A A點的位移點的位移分別為分別為AElFlND第三章第三章 能量法能量法22()lll D D)(2ll2222 ()() lllll D D D D N2FlEA 由結(jié)點由結(jié)點A A的平衡方程的平衡方程sin2NFF 為為小角度小角度，lD tansin第三章第三章 能量法能量法由于由于所以所以3()FEAl FlF2N3FlEA N2FlEA 22FllEA 或或AFNFNo1 1 11nnK例題例題 試計算圖示結(jié)構(gòu)在荷載試計算圖

13、示結(jié)構(gòu)在荷載F F1 1作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩桿作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為的長度均為l ，橫截面面積均為，橫截面面積均為A,A,材料在單軸拉伸時的應(yīng)材料在單軸拉伸時的應(yīng)力力應(yīng)變曲線如圖所示。應(yīng)變曲線如圖所示。B1FDC 解：解：由結(jié)點由結(jié)點C C的平衡方程，得桿的軸力的平衡方程，得桿的軸力cos21FFN112cosNFFAA 橫截面上的應(yīng)力為橫截面上的應(yīng)力為第三章第三章 能量法能量法10cvd 由于軸向拉伸桿內(nèi)由于軸向拉伸桿內(nèi)各點應(yīng)變狀態(tài)均相同各點應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的荷載作用下的余能余能為為 2cvAl 余能密度余能密度為為10ndK 11cos21n

14、nnFlAKn 第三章第三章 能量法能量法 11112cosnnFKnA 1111nnKn ccVVv dV 第三章第三章 能量法能量法3()FEAl 3FlEA （1）由于力由于力F F 引起的變形引起的變形D Dl ，對，對FN產(chǎn)生影響，形成產(chǎn)生影響，形成F F和和D D的非線性關(guān)系，而的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系仍為線性關(guān)系幾何非幾何非線性線性。當(dāng)材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性。當(dāng)材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時時 物理非線性物理非線性。 （2 2）幾何非線性時，不能用）幾何非線性時，不能用 求應(yīng)變能，而求應(yīng)變能，而只能用只能用 求應(yīng)變能。求應(yīng)

15、變能。VFVdVVvVd桿的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為130dEAl 注意注意:10dVWF 411131144EAF l FD3()FEAl 第三章第三章 能量法能量法一、功和應(yīng)變能、余能一、功和應(yīng)變能、余能利用應(yīng)變能密度利用應(yīng)變能密度三種方法三種方法利用外力功利用外力功利用內(nèi)力功利用內(nèi)力功10dVWF FDdDFD22NF lVWEA22pT lVWGI2( )2lMx dxVWEI2()2EAllD 余能余能1c0dFcVW F 線彈性線彈性cVV iiVFD二、卡氏第一定理二、卡氏第一定理 彈性桿件的彈性桿件的應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移位移之變化率之變化率，就等于與該位移相

16、應(yīng)的荷載。，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。第三章第三章 能量法能量法組合變形時的應(yīng)變能組合變形時的應(yīng)變能222200( )2222llyNzllpzyM dxF dxM dxT xdxVEAGIEIEI解：法一解：法一EIFlwC483 BCMFwV 2121EIlF9632 例題：例題：簡支梁受力如圖所示，已知梁的剛度為簡支梁受力如圖所示，已知梁的剛度為EI，求梁的應(yīng)變能。求梁的應(yīng)變能。AFl/2BCl/2MEIMl162 EIMlB3 EIFl162 EIMlEIFlF16482123 EIFlEIMlM163212EIFMl162 EIlM62 法二法二AFl/2BCl/2MlMFFA 2

17、FA FBlMFFB 2x1x2 211xlMF)x(M AC段段 222MxlMF)x(M CB段段AFl/2BCl/2M FA FBx1x2 211xlMF)x(M 222MxlMF)x(M ldxEI)x(MV22EIlF9632 EIFMl162 EIlM62 dx xlMFEIl12201221 dxM xlMFEIl22202221 dx xlMFMxMxlMxFEIl2202222222222222221 qAB 例題例題 彎曲剛度為彎曲剛度為EI的簡支梁受均布載荷的簡支梁受均布載荷q作用作用,如圖所示如圖所示,試求梁內(nèi)的應(yīng)變能試求梁內(nèi)的應(yīng)變能. 解解:方法一方法一:外力功外力功

18、梁的撓曲線方程為梁的撓曲線方程為43434(2)24qlxxxwEIlll1()2qdx w0l2 434340(2)2 24lq lxxxdxEIlll52240q lEI方法二方法二:應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度方法三方法三:內(nèi)力功內(nèi)力功第三章第三章 能量法能量法12lVWFdFwD 12qwdx0l虛功原理虛功原理對于對于剛體：剛體： 平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所作的虛功之和為零虛功之和為零. . 對于對于變形體：變形體： 平衡的條件是所有平衡的條件是所有外力外力在任意虛位移上所作的在任意虛位移上所作的虛功虛功恒恒等于內(nèi)力等于內(nèi)力在虛位移上的在虛位

19、移上的虛功虛功（虛應(yīng)變能）（虛應(yīng)變能）. .第三章第三章 能量法能量法I.卡氏第一定理卡氏第一定理（卡斯蒂利亞諾）卡斯蒂利亞諾）DniiiidfWV10V 為最終位移為最終位移D Di 的函數(shù)的函數(shù)fi為瞬時載荷，為瞬時載荷，i為瞬時位移為瞬時位移iidFdWD由于由于 改變了改變了 ，外力功相應(yīng)改變量外力功相應(yīng)改變量iDidD33 33 卡卡 氏氏 定定 理理第三章第三章 能量法能量法ABF1F2FiFn12ind diWF dD D D D inV (,.,.,) D D D DD DD D12Fii ifD Diid iidVdVDDdWdV iiVF DD第三章第三章 能量法能量法應(yīng)變

20、能的相應(yīng)改變量應(yīng)變能的相應(yīng)改變量為為由于由于iidFdWD外力功相應(yīng)改變量外力功相應(yīng)改變量為為所以所以卡氏第一定理卡氏第一定理 11ininVVVdVd.d.d D D D D D D D D D D D DinVV (,.,.,) D DD DD DD D12彈性體的彈性體的應(yīng)變能對桿件某一位移的偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)變能對桿件某一位移的偏導(dǎo)數(shù)，就等就等于與該于與該位移相應(yīng)的載荷。位移相應(yīng)的載荷。解：解：例例題：題：圖示三角架受鉛垂載荷圖示三角架受鉛垂載荷F F作用作用，已知各桿的剛，已知各桿的剛度為度為EA，試用卡氏第一定理求，試用卡氏第一定理求B節(jié)點的鉛垂位移。節(jié)點的鉛垂位移。Bl3030AFCB1

21、、確定位移與變形的關(guān)系、確定位移與變形的關(guān)系iiVFD D D Dl1D Dl2 D D D D301sinlBV2lBHD D D D D D 302ctgl2132llD D D D Bl3030AFCB2、應(yīng)變能表達(dá)式、應(yīng)變能表達(dá)式D Dl1D Dl22lBHD D D D 22212122llEAllEAVD D D D 2132llBVD D D D D D即即BHlD D D D2231BHBVlD D D D D D lEAlEABHBHBV3223422D D D D D D Bl3030AFC3、鉛垂位移、鉛垂位移 lEAlEAVBHBHBV3223422D D D D D

22、D FVBV D D FlEABHBV D D D D340 D D BHV 03343 D D D D D D BHBHBVlEAlEA解得解得EAFlEAFlBV334 D DniFiiiccdfWV10iicdFdWDiiccdFFVdV由于由于 改變了改變了 ，外力余功相應(yīng)改變量外力余功相應(yīng)改變量iFidFccdWdV 第三章第三章 能量法能量法ABF1F2FiFn12inD10FcdFWdFi余能的相應(yīng)改變量余能的相應(yīng)改變量為為由于由于所以所以ciiVF D D cinV (F ,F ,.F ,.,F ) 12在在線彈性線彈性范圍內(nèi)范圍內(nèi)VVciiFVD卡氏第二定理卡氏第二定理線彈性

23、線彈性iciFVD余能定理余能定理 桿件的桿件的余能余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。與該荷載相應(yīng)的位移。第三章第三章 能量法能量法余能定理余能定理卡氏第二定理卡氏第二定理III. 卡氏第一定理和余能定理的比較卡氏第一定理和余能定理的比較 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理c12inVf (F ,F ,.,F ,.,F ) 12inVf ( , ,., ,., ) DiDi+dDi，其它位移均不變，所其它位移均不變，所有的有的力均不變力均不變。FiFi+dFi，其它力均不變，所其它力均不變，所有的有的位移均不變位移均不變。iiFWd

24、dciiFFVVddcciiFWddiiVVddiiVF(平衡方程平衡方程)iiFVc（變形的幾何關(guān)系變形的幾何關(guān)系）非線性和線性彈性體非線性和線性彈性體非線性和線性彈性體非線性和線性彈性體第三章第三章 能量法能量法 Fi廣義力廣義力( (力、力偶、一對力或一對力偶等力、力偶、一對力或一對力偶等) )； D Di廣義位移廣義位移( (線位移、角位移、相對線位移或相線位移、角位移、相對線位移或相對角位移對角位移),),在在所有力共同作用所有力共同作用下與廣義力下與廣義力F F相對應(yīng)的沿著力相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。的方向的廣義位移。F FF FABMBMB第三章第三章 能量法能量法xEIM

25、Vld222 36F lEI AVwF 例題例題 1.1.加力點加力點A A處的撓度處的撓度220d2lFxxEI 3( )3AFlwEIxF ABCl/2l/2解：解：彎矩：彎矩：MFx 第三章第三章 能量法能量法()()22BllMFxFxxl 2222222021d(2)() d222lllBBFlxxF xFF xxlFxxEIEI3548BFlwEI 2.2.梁中點梁中點( (非加力點非加力點)B處處的撓度的撓度在在B處施加與所求撓度方向處施加與所求撓度方向相同的相同的假設(shè)力假設(shè)力FB（附加力法附加力法）xEIMVld2232 32 3564848BBFF lF lF lEIEIEI

26、(0)2lMFxx 0BBBFVwF F ABCl/2l/2B第三章第三章 能量法能量法所要求的位移不限于加力點沿加力方向的位所要求的位移不限于加力點沿加力方向的位移，可以是移，可以是任意點、任意方向的位移。任意點、任意方向的位移。虛載荷虛載荷必須加在所要求位移的那一點、必須加在所要求位移的那一點、并且沿著所要求位移的方向。并且沿著所要求位移的方向。第三章第三章 能量法能量法2( ) d2lM xVxEI iiVF D D 卡氏第二定理的變形形式：卡氏第二定理的變形形式：( )diM xxF ( )M xEI l 對于變形構(gòu)件對于變形構(gòu)件 D D llzzyylplNiiiEIdxMEIdxM

27、GIdxTEAdxFFFV22222222dxFMEIMdxFMEIMdxFTGITdxFFEAFizlzziylyylipliNN llzzyylplNEIdxMEIdxMGIdxTEAdxFV22222222對桁架只有軸力產(chǎn)生的應(yīng)變能對桁架只有軸力產(chǎn)生的應(yīng)變能;對梁只考慮彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能對梁只考慮彎矩產(chǎn)生的應(yīng)變能;對剛架和曲桿只考慮彎矩和扭矩的應(yīng)變能。對剛架和曲桿只考慮彎矩和扭矩的應(yīng)變能。卡氏第二定理卡氏第二定理iiFVD1nN jN jijjiiFFVlFEAF D D ( )( ) diliMsMssEIF D D 桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)彎曲直桿彎曲直桿(剛架剛架)彎曲曲桿彎曲曲桿1 dni

28、ijilijjVMMxFEIF D D ( )( ) diliPiVT xT xxFGIF D D 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)( )( ) liMMEIFRd 第三章第三章 能量法能量法例例題題 圖示桁架結(jié)構(gòu)，桿的拉壓剛度均為圖示桁架結(jié)構(gòu)，桿的拉壓剛度均為EA，F(xiàn)已知已知,長度長度分別為分別為a和和 已知。求已知。求A A點的水平位移點的水平位移HAF FAF FF FF F2a第三章第三章 能量法能量法解：解：1nHN iN iAiiiVFFlFEAF D D 求支反力求支反力FNiliNiFF 00-F-F02F-1-102aaaa2a2 22()FaEA FABM例題例題圖示半圓形曲桿，試計圖示半圓形曲桿

29、，試計算算B B截面的水平位移和轉(zhuǎn)角。截面的水平位移和轉(zhuǎn)角。已知其抗彎剛度為已知其抗彎剛度為EIEI，只考，只考慮彎曲變形的影響。慮彎曲變形的影響。解：解：在在B B截面截面虛加虛加一一集中集中力偶力偶M. .( )sin ;MRFB B截面的水平位移為截面的水平位移為 HBSMMdsEIFDR彎矩方程為彎矩方程為( )sinMFRM；( )1MM 320sinFRdEI 220sinFRRdEI3()2FREI第三章第三章 能量法能量法0M B B截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為20sinFRdEI B B截面轉(zhuǎn)角的為截面轉(zhuǎn)角的為負(fù)值負(fù)值，說明實際轉(zhuǎn)角的方向同，說明實際轉(zhuǎn)角的方向同虛加力偶的方向虛加

30、力偶的方向相反相反。 BMMdsEIM0M 22FREI第三章第三章 能量法能量法解：解：1、求約束反力、求約束反力例例題：題：簡支梁受力及幾何尺寸如圖所示，試用卡氏簡支梁受力及幾何尺寸如圖所示，試用卡氏第二定理求梁第二定理求梁C點的撓度點的撓度wc。 FACaaaaBDEEIEI2EI2FFFBA 2xF)x(M 2、列彎矩方程并求其偏導(dǎo)數(shù)、列彎矩方程并求其偏導(dǎo)數(shù) 2xF)x(M x3、求、求C點撓度點撓度FACaaaaBDEEIEI2EI 2xF)x(M 2xF)x(M dxFMEIMwilC aaadxxFEIdxxFEI220242242EIFa433 第三章第三章 能量法能量法 例例

31、 題題 圖圖a a所示結(jié)構(gòu)中，所示結(jié)構(gòu)中，AB,BCAB,BC 桿中的橫截面面積均為桿中的橫截面面積均為A A，彈性模量均為彈性模量均為E E。兩桿處于線彈性范圍內(nèi)。試用。兩桿處于線彈性范圍內(nèi)。試用卡氏第二定卡氏第二定理理，求，求 B B點的水平位移點的水平位移D D1 1和鉛垂位移和鉛垂位移D D2 2 。 解：解： 卡式第二定理卡式第二定理iiVF D D 1nN jN jjjiFFlEAF 先先虛加虛加一水平一水平 方向的集中力方向的集中力FH. 利用節(jié)點法，考慮利用節(jié)點法，考慮A節(jié)點的平衡，可節(jié)點的平衡，可得各桿的內(nèi)力和對外載荷的導(dǎo)數(shù)得各桿的內(nèi)力和對外載荷的導(dǎo)數(shù):FHFHFFABFBC

32、B0sin45BCFF0,BCHFF2BCFF 2 ,Fcos,ABHBCHFFFFF1ABFF 022HFBCBCABABFFFFllEAFEAF D D FHFFABFBCB2 ,BCFF0,BCHFF2BCFF 1,ABHFF 卡式第二定理卡式第二定理012HBCBCHFABABHFFFFllEAFEAF D D 2()(1)02FFllEAEA ()FlEA2122FFllEAEA (12 2)( )FlEA第三章第三章 能量法能量法第三章第三章 能量法能量法 例例 題題 圖所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為圖所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材，材料為線彈性。用料為線彈性。用卡

33、氏第二定理卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量求圓環(huán)開口處的張開量D D。不計。不計剪力和軸力的影響。剪力和軸力的影響。圓環(huán)開口處的張開量就是和圓環(huán)開口處的張開量就是和兩個兩個F F力相對應(yīng)的相對線位移，力相對應(yīng)的相對線位移，即即FV（）解：解：彎矩方程彎矩方程)cos1 ()( FRM，)cos1 ()(RFMd)cos1 (2023EIFR結(jié)果為結(jié)果為正正，表示廣義位移方向和廣義力的指向，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致一致。第三章第三章 能量法能量法EIFR33（ ）RREIRF 02(1cos ) (1c s )do 利用對稱性，由利用對稱性，由卡氏第二定理，卡氏第二定理，得得)cos1

34、 ()( FRM，)cos1 ()(RFM2( )( )SMMdSEIF 思考思考: : 若計算若計算圓環(huán)開口處的相對圓環(huán)開口處的相對轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角, ,或或AB的相對位移的相對位移, ,該如何加載該如何加載? ?AB加什么力？加什么力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？要不要分段？怎樣分段？要不要分段？怎樣分段？建立坐標(biāo)系？建立坐標(biāo)系？充分利用對稱性？充分利用對稱性？第三章第三章 能量法能量法例題例題 圖示結(jié)構(gòu)中，桿的彎曲剛度均為圖示結(jié)構(gòu)中，桿的彎曲剛度均為EI，F(xiàn)已知。已知。第三章第三章 能量法能量法F FF FABDCRRR加什么力？加什么力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加

35、在什么方向？要不要分段？怎樣分段？要不要分段？怎樣分段？建立坐標(biāo)系？建立坐標(biāo)系？充分利用對稱性？充分利用對稱性？E EG G虛加虛加載荷載荷FAB;建立各段內(nèi)力表達(dá)式并偏導(dǎo)：建立各段內(nèi)力表達(dá)式并偏導(dǎo)：)2()(2RxRxFRxFMAB)0(1RxxFMAB)sin2()sin1 (3RFFRMABxFMAB1解：解：F FF FABDCRRR FABFABxEG(0)2 xFMAB2)sin2(3RFMAB312diiiABiABlMMxEIF 3235()32FREI 0ABF 第三章第三章 能量法能量法例題例題 試求剛架試求剛架ABC在均布荷載在均布荷載 q 的作用下的作用下A點的垂直位移

36、和點的垂直位移和C點的轉(zhuǎn)角。尺寸點的轉(zhuǎn)角。尺寸l和和EI已知。剛架剪力和軸力忽略不計。已知。剛架剪力和軸力忽略不計。cyFqlF 解：解：列出各段的彎矩及偏導(dǎo)方程：列出各段的彎矩及偏導(dǎo)方程：AB段段：2111;2qMxFx BC段段2222qMlxFx AFcxFcyF1x2xBllqAC第三章第三章 能量法能量法求剛架的支座反力：求剛架的支座反力： 1.計算計算A點的垂直位移，應(yīng)在點的垂直位移，應(yīng)在A點上點上虛加力虛加力F ;F/2cxFFql/2AFFql 111(0)MxFxl 122(0)MxxlF 根據(jù)卡氏定理：根據(jù)卡氏定理：AlMMdxEIF DD 第三章第三章 能量法能量法列出各

37、段的彎矩及偏導(dǎo)方程：列出各段的彎矩及偏導(dǎo)方程：AB段段：2111;2qMxFx BC段段2222qMlxFx 111(0)MxxlF 122(0)MxxlF 47( )24qlEI 0F 321122001()()22llqqlxdxxdxEI 2.2.計算計算C截面轉(zhuǎn)角，應(yīng)在截面轉(zhuǎn)角，應(yīng)在C截面上截面上虛加虛加一個力偶一個力偶M ,2cxqlMFl2112qxM 2222MxqlMMxl根據(jù)卡式定理：根據(jù)卡式定理：iicilMMdxEIM M各段的彎矩及各段的彎矩及偏導(dǎo)偏導(dǎo)方程為：方程為：ABAB段：段：BCBC段：段：第三章第三章 能量法能量法AFcxFcyF1x2xBllqAC求剛架的支

38、座反力：求剛架的支座反力： ,cyFql 2AqlMFl 110(0)MxlM 2221(0)MxxlMl 312qlEI 0M ?VF ?VF ?VF w11FF2w21FF212F2思考思考:第三章第三章 能量法能量法例例題：題：圖示平面剛架，抗彎剛度為圖示平面剛架，抗彎剛度為EIEI，求，求D D點的豎直點的豎直位移和位移和C C截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。 Fx)x(M 解：解：1、求、求D點的豎直位移點的豎直位移 xF)x(M xFAClBDllFCD段段 1Fl)y(M 1lF)y(M BC段段y1 區(qū)分區(qū)分B B、D D兩點的外力，兩點的外力，將將B B點力表示為點力表示為FF第三章

39、第三章 能量法能量法xFAClBDllFAB段段 22yFFl)y(M 2lF)y(M y1y2 Fx)x(M xF)x(M 1Fl)y(M 1lF)y(M 102 D DlDVdxFxEI 1012 ldyFlEI 1022 lldyFyFlEI 33EIFl 3EIFl 3EIFl 23EIFl 6173EIFl 令令F=F Fx)x(M 2、求求C C截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角00 M)x(MxFAClBDllFCD段段 01MFl)y(M 101 M)y(MBC段段y1在在C截面施加外力偶截面施加外力偶M0M0AB段段 202FyMFl)y(M 102 M)y(My2 101 lCFldyE

40、I 1022 ldyFyFlEI 2EIFl 252EIFl 令令M0=0 2EIFl 22EIFl 注意：注意：卡二定理卡二定理中與所求位移對應(yīng)的中與所求位移對應(yīng)的載荷載荷必須必須是獨立載荷；是獨立載荷；無無對應(yīng)載荷時，可對應(yīng)載荷時，可虛加載荷，虛加載荷，求偏導(dǎo)數(shù)后求偏導(dǎo)數(shù)后令其為零。令其為零。彎矩方程彎矩方程若與所求位移對應(yīng)的載荷無關(guān)，該段彎矩方若與所求位移對應(yīng)的載荷無關(guān)，該段彎矩方程程可不列?？刹涣?。ACDllBF2F例例題：題：圖示平面桁架，各桿拉壓剛度均為圖示平面桁架，各桿拉壓剛度均為EA，求，求C點的水平位移和點的水平位移和BD間的相對位移。間的相對位移。 FFAx 解：解：1、求

41、、求D DCH求求約束反力約束反力 FAy FB FAx 2FFFAy FFB 區(qū)分區(qū)分C、D兩點的外力，兩點的外力，將將C點力表示為點力表示為FACDllBF2F FAy FB FAx桿號桿號NiFil00lF 1l00FFNi lF2 0lF 22 l2 EAFlCH221 D DCFFN2FN3FN5 D DiNiNilFFEAFF令令F=FFFAx 2FFFAy FFB 各桿的內(nèi)力及偏導(dǎo)數(shù)各桿的內(nèi)力及偏導(dǎo)數(shù)ACDllBF2F FAy FB FAx2、求、求D DBDF1F1BD間虛加一對外力間虛加一對外力F1FFAx 3FFAy FFB 可用疊加法求軸力可用疊加法求軸力桿號桿號NiFi

42、l0F0F2 F2 1FFNi 桿號桿號NiFil0F01FFNi F2 F2 lllll2ACDllBF1F1221F 221F 221F 221F 1F 22 22 22 22 1EAFlBD D D222令令F1=0先虛加（或區(qū)分）載荷，后求約束反力。先虛加（或區(qū)分）載荷，后求約束反力。例例題：題：圖示小曲率平面曲桿，圖示小曲率平面曲桿，A端固定，端固定，B端自由，端自由，其軸線為水平面內(nèi)的四分之一圓弧。若桿在自由其軸線為水平面內(nèi)的四分之一圓弧。若桿在自由端受鉛垂外力端受鉛垂外力F，求，求B端的鉛垂位移和端的鉛垂位移和B截面的扭截面的扭轉(zhuǎn)角。（不計剪力的影響）轉(zhuǎn)角。（不計剪力的影響） 解

43、：解：1、求、求B截面的鉛垂位移截面的鉛垂位移FR FABBATM F 1 cosFRTTM F R sinFRM 1 cosRFT sinRFM d112023 D DcosFRGIpBV d12023 sinFREI d212023 coscosGIFRp d2023 sinEIFR 2433pGIFR 43EIFR 2、求、求B截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角R FAB在在B截面虛加外力偶截面虛加外力偶M0M0 cos10 McosFRT 0sinMsinFRM TM F M0 0 cosMT 0 sinMM令令M0=0 1 cosFRTTM F R sinFRM 0 cosMT 0 sinMM

44、 d11202 coscosFRGIpB d12022 sinFREI 412pGIFR 42EIFR iiVFD一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理 桿件的桿件的應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移之變化率，就應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移之變化率，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。等于與該位移相應(yīng)的荷載。第三章第三章 能量法能量法iiFVD三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理iciFVD 桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。與該荷載相應(yīng)的位移。二、余能定理二、余能定理 線彈性線彈性卡式定理應(yīng)用卡式定理應(yīng)用1nN jN jijjiiFFVlFEAF D D

45、( )( ) diliM sM ssEIF D D 桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)彎曲直桿彎曲直桿(剛架剛架)彎曲曲桿彎曲曲桿1 dniijilijjVMMxFEIF D D diliPiVTTxFGIF D D 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)( )( ) liMMEIFRd 注意：注意：卡二定理卡二定理中與所求位移對應(yīng)的中與所求位移對應(yīng)的載荷載荷必須必須是獨立是獨立載荷；載荷；無無對應(yīng)載荷時，可對應(yīng)載荷時，可虛加載荷，虛加載荷，求偏導(dǎo)數(shù)后求偏導(dǎo)數(shù)后令其令其為零。為零。RACB解：解：)cos1 (2)(FRM)cos1 (2)(RFMRdFMEIMVCD)()(22/0dEIFR2/023)cos1 (2dEIFR2/03)2

46、2cos1cos21 (233(2)( )24FREI F/2F/2求支反力求支反力內(nèi)力方程并偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)力方程并偏導(dǎo)數(shù)卡式第二定理及對稱性卡式第二定理及對稱性第三章第三章 能量法能量法 例題例題 半圓環(huán)的彎曲剛度為半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移，不計剪力和軸力對位移的影響，用的影響，用卡氏第二定理卡氏第二定理求求C點的鉛垂位移點的鉛垂位移F 未知力個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目未知力個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目, ,則僅由平衡則僅由平衡方程即可解出全部未知力方程即可解出全部未知力, ,這類問題稱為這類問題稱為靜定問題靜定問題 相相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu). . 未知力個數(shù)

47、多于獨立的平衡方程數(shù)目未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目, ,則僅由平衡方則僅由平衡方程無法確定全部未知力程無法確定全部未知力, ,這類問題稱為這類問題稱為超靜定問題或靜超靜定問題或靜不定問題不定問題, ,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu). .34 34 用能量法解超靜定系統(tǒng)用能量法解超靜定系統(tǒng)I. .基本概念：基本概念：超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)= =未知力的數(shù)目未知力的數(shù)目- -獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù)第三章第三章 能量法能量法 所有超靜定結(jié)構(gòu)所有超靜定結(jié)構(gòu), ,都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個或幾個都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個或幾個約束約束, ,這些約束對于特定的

48、工程要求是必要的這些約束對于特定的工程要求是必要的, ,但對于但對于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的, ,故稱為故稱為多余約束多余約束. . 求解超靜定問題求解超靜定問題, ,需要綜合考察結(jié)構(gòu)的需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡平衡, ,變形協(xié)調(diào)變形協(xié)調(diào)和物理和物理三個方面三個方面. .II.求解超靜定問題的解法1 1、確定靜不定次數(shù)。、確定靜不定次數(shù)。2 2、選擇基本靜定基。、選擇基本靜定基。3 3、列出變形協(xié)調(diào)條件。、列出變形協(xié)調(diào)條件。 4 4、用、用能量法能量法或疊加法計算幾何條件或疊加法計算幾何條件. .第三章第三章 能量法能量法RBqlAB1.1.建立靜定基建立靜定基 等等價價xql

49、AByEI2. 2. 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BBBqBRwww 3.3.梁的彎矩方程及偏導(dǎo)數(shù)梁的彎矩方程及偏導(dǎo)數(shù)2,2BqxMR x BMxR 4.4.卡式第二定理卡式第二定理0lBBMMwdxEIR qlRB83第三章第三章 能量法能量法0 20/2lBR xqxxdxEI 僅有僅有q作用，作用，B點撓點撓度為：度為：48BqqlwEI 僅有僅有 作用，作用，B B點撓度為：點撓度為：BR33BBBRR lwEI 因此因此BBBqBRwww48qlEI 33BR lEI 0疊加法疊加法第三章第三章 能量法能量法qlABRBqlRB83 例例題題 各桿的彈性模量均為各桿的彈性模量均為E E

50、，橫截面面積均為，橫截面面積均為A A。試用。試用卡卡氏第一定理氏第一定理求各桿的軸力。求各桿的軸力。第三章第三章 能量法能量法 解：解：設(shè)設(shè)1, 2, 3 1, 2, 3 桿的軸力分別為桿的軸力分別為F FN1 FN2 , , FN3 （圖（圖b b），相應(yīng)的位移為），相應(yīng)的位移為D D1 1, , D D2和和D D3 3由對稱性可知，由對稱性可知，F(xiàn) FN1F FN2, , D D1D D2。cos31 幾何關(guān)系幾何關(guān)系23212)cos/(22lEAlEAV) 1cos2(2323lEA第三章第三章 能量法能量法結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為以以D D3 3為基本未知量為基本未知量，該題

51、為一次超靜定。，該題為一次超靜定。) 1cos2(cos31EAFl) 1cos2(33EAFl33(2cos1)EAl 由卡式第一定理由卡式第一定理3VFcos31 23cos2cos1F 由胡克定律得由胡克定律得第三章第三章 能量法能量法1cos233N3FlEAF 以以位移作為基本未知量位移作為基本未知量求解超靜定問題的方法，求解超靜定問題的方法，稱為稱為位移法位移法. 該方法仍然是綜合考慮了該方法仍然是綜合考慮了平衡方程平衡方程, ,幾何關(guān)幾何關(guān)系和物理方程系和物理方程來求解超靜定問題的。來求解超靜定問題的。12NN1/cosEAFFl 例例題題三桿的材料相同三桿的材料相同, ,各桿的

52、彈性模量均為各桿的彈性模量均為E E，橫截面面橫截面面積均為積均為A，3桿長度為桿長度為 l。用。用余能定理余能定理求各桿的軸力。求各桿的軸力。第三章第三章 能量法能量法 解：解：以鉸鏈以鉸鏈 D 的支反力的支反力X 為多為多余未知力，基本靜定系如圖余未知力，基本靜定系如圖b 所示，所示，F(xiàn), X 看作基本靜定系上獨立的外力，看作基本靜定系上獨立的外力，Vc= Vc (F,X )因為鉸鏈因為鉸鏈D D 處沿處沿鉛垂方向的位移為零，鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有應(yīng)有c0VDVX DD 由該式求出由該式求出X 后，再利用后，再利用平衡方程平衡方程求各桿的軸力。求各桿的軸力。cos22N1NXFFFXF3

53、N(1)第三章第三章 能量法能量法由平衡方程得各桿的軸力分別為由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為各桿的應(yīng)力分別為AXAXF321 cos2(2)121c1c20d2vvE 三桿的余能密度分別為三桿的余能密度分別為222()8cosFXEA 3c30dvE 222XEA第三章第三章 能量法能量法結(jié)構(gòu)的余能為結(jié)構(gòu)的余能為cc11c33c1c322/cosVv Vv Vv Alv Al N3312cosFXF N1N2FF由余能定理得由余能定理得將將X X 值代入（值代入（1 1），得），得 以以力為基本未知量力為基本未知量解超靜定問題的方法，稱為解超靜定問題的方法，稱為力法力法。223(

54、)4cos2FXlXlEAEA c0VDVX DD 23cos12cosF 一、能量法求解靜定和超靜定系統(tǒng)一、能量法求解靜定和超靜定系統(tǒng)iiFVD求解超靜定問題的解法求解超靜定問題的解法1 1、確定靜不定次數(shù)。、確定靜不定次數(shù)。2 2、選擇基本靜定基。、選擇基本靜定基。3 3、列出變形協(xié)調(diào)條件。、列出變形協(xié)調(diào)條件。 4 4、用、用能量法能量法計算幾何條件計算幾何條件. .第三章第三章 能量法能量法MBMBF FA 用用卡氏第二定理卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載本未知量，以荷載 及選定的多余未知力及選定的多余未知力 作為基本靜定系

55、上獨立的外力，作為基本靜定系上獨立的外力，應(yīng)變能應(yīng)變能 只能為荷載及選定的只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即多余未知力的函數(shù)，即12,nF ,F .,F12nX ,X ,.XVnnVV(F ,F ,.,F ;X ,X ,.X ) 1212變形幾何關(guān)系為變形幾何關(guān)系為 ，D Di 為和為和 的相應(yīng)位移，它是和約的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的束情況有關(guān)的已知量。已知量。iiXViX第三章第三章 能量法能量法例例題：題：圖示平面剛架，各段抗彎剛度均為圖示平面剛架，各段抗彎剛度均為EIEI，求約，求約束反力。束反力。解：解：1、確定靜定基，求約束反力、確定靜定基，求約束反力 X FAx 2Xql

56、FAy X2 qlFCAqBCllqlABClX FC FAy FAx2、列彎矩方程，并求其偏導(dǎo)數(shù)、列彎矩方程，并求其偏導(dǎo)數(shù)xy Xy yM xqlxM X2 qlABClX FC FAy FAx xXxM y XyM 3、根據(jù)已知位移條件建立補充方程、根據(jù)已知位移條件建立補充方程0 XV lxdxqxxqlEI0221 X21 0102 l dyXyEI221qx lxdxqxxqlEI0221 X21 0102 l dyXyEI64ql 33Xl 84ql 33Xl 0 16qlX 4、由平衡方程確定所有約束力、由平衡方程確定所有約束力 X FAx 2XqlFAy X2 qlFC16ql

57、169ql 167ql 列內(nèi)力方程時，約束力應(yīng)表示為外力和多余未知列內(nèi)力方程時，約束力應(yīng)表示為外力和多余未知力的函數(shù)。力的函數(shù)。對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)幾何形狀、尺寸、材料、約束等幾何形狀、尺寸、材料、約束等 對稱于某一對稱軸。對稱于某一對稱軸。III.對稱性的應(yīng)用對稱性的應(yīng)用R第三章第三章 能量法能量法問題特點：問題特點：結(jié)構(gòu)對稱，外力對稱。結(jié)構(gòu)對稱，外力對稱。問題簡化：問題簡化：軸力和彎矩對稱，剪力反對稱軸力和彎矩對稱，剪力反對稱=0。FRACBFABFHFHF/2F/2解：解：先求支反力先求支反力對稱結(jié)構(gòu)，為一次超靜定對稱結(jié)構(gòu)，為一次超靜定)(,FFVVH 例題例題 半圓環(huán)的彎曲剛度為半圓環(huán)的彎

58、曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位，不計剪力和軸力對位移的影響，用移的影響，用卡氏第二定理卡氏第二定理求求C點的鉛垂位移點的鉛垂位移sin)cos1 (2)(RFFRMH內(nèi)力方程及偏導(dǎo)內(nèi)力方程及偏導(dǎo)第三章第三章 能量法能量法sin)cos1 (2)(RFFRMH( )sin ,HMRF )cos1 (2)(RFM/20( )( )2ABHMMRdEIF D D )44(23FFEIRHRdFMEIMVCD)()(22/00, FFH再求位移，再求位移，卡式定理卡式定理EIFREIFR330189. 0)21183(內(nèi)力方程及偏導(dǎo)內(nèi)力方程及偏導(dǎo)卡式第二定理卡式第二定理第三章第三章 能量法能量法 例

59、題例題 半圓環(huán)的彎曲剛度為半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移，不計剪力和軸力對位移的影響，用的影響，用卡氏第二定理卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力。求對稱截面上的內(nèi)力。第三章第三章 能量法能量法FRACB 解：解：沿半圓環(huán)的對稱截面處沿半圓環(huán)的對稱截面處截開，取兩個截開，取兩個1/4圓環(huán)為基本靜定系，圓環(huán)為基本靜定系，多余未知力為軸力多余未知力為軸力X1, 彎矩彎矩X2, 剪力剪力X3。該題為該題為三三次超靜定。次超靜定。 由對稱性，由對稱性，反對稱的反對稱的內(nèi)力內(nèi)力X30，問題簡化為，問題簡化為二二次超靜次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為F，X1，X2的函數(shù)，即的

60、函數(shù)，即),(21XXFVV CF/2RAX1X1X2X2BF/2與與X1，X2 相應(yīng)的相應(yīng)的位移條件位移條件分別分別為兩截面的為兩截面的相對線位移相對線位移和和相對角相對角位移為零位移為零，即，即0,021XVXV彎矩方程及其對彎矩方程及其對X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為第三章第三章 能量法能量法2FM() )cos1 ()(1RXM1)(2XM21R(cos)X 1X Rsin CBF/2F/2RAX1X1X2X2基本靜定系為兩個基本靜定系為兩個1/41/4圓環(huán)，應(yīng)用圓環(huán)，應(yīng)用卡式定理卡式定理得得/20112( )( )dVMMRXEIX 第三章第三章 能量法能量法 / 20222