將軍飲馬問題--利用軸對稱求最短距離

1、課題將軍飲馬-應(yīng)用軸對稱變換求線段和最短課型復(fù)習(xí)課時間2017.3.31授課教師裴巖教學(xué)目標(biāo)1 .掌握簡單的軸對稱圖形的性質(zhì)并能應(yīng)用解決實際問題。2 .在豐富的現(xiàn)實情境中，經(jīng)歷歸納、觀察、分析、交流等數(shù)學(xué)活動過程，進一步發(fā)展空間觀念，豐富學(xué)生對軸對稱的直觀體驗和理解，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和語言表達能力3 .數(shù)學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達能力，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.教學(xué)重點理解軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì)，并體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用教學(xué)難點軸對稱的有關(guān)性質(zhì)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.教學(xué)準備多媒體課件教學(xué)過程活動環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一.激疑引趣，提出問題相傳

2、，古希臘亞歷山大里亞城里h位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：聆聽、了解激從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到疑河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？引趣，精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”從數(shù)學(xué)史上久負盛名的“將軍提你知道海倫是如何幫助將軍解決問題的嗎？飲馬問題”引出問題入，增加學(xué)生們的數(shù)學(xué)底蘊，提圖具人文思想.探索新知解決問題、探索新知，解決問題活動一：任務(wù)驅(qū)動啟迪智慧-利用軸對稱的性質(zhì)嘗試解決問題1、梳理所學(xué)，完成任務(wù)清單。問題一：在直線上找一點C,使

3、AC最短？將軍騎馬從城堡A出發(fā)，到一條筆直的小河邊飲馬。問：在河邊的什么位置飲馬，將軍所走的路徑最短？外一點與斷線上.所有點的連線中，垂線段最短獨立思考、畫圖分析，并展示交流討論，回答并相互補充，最后達成共識引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫出圖形.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題更有利于分析問題、解決問題.問題二：在直線上找一點C,使CA+CB最??？將軍騎馬從城堡A出發(fā)，到軍營B去，途中經(jīng)過一條筆直的小河。將軍問：在小河的什么地方飲馬可使他所走的路程最短？兩點之間線段最短問題三分析:轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當(dāng)點C在直線l的什么位置時，AGCB的和最小?如果學(xué)生有困難，教師作如下提示：(1)如圖，如果軍營B地在河對岸，點C在

4、的什么位置時,AdCB的和最??？由此受到什么啟發(fā)呢？問題三：聯(lián)想如果點A、B在直線l的異側(cè)時問題三：對比分析思考:能把A、B兩點從直線l的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)嗎?問題三：作法及思路分析1.作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接CB。2.由上步可知AC+CB=ACCB,思考：當(dāng)C在直線l的什么位置時AC+CB最短?問題三：證明最短路徑是AC+CB=AC+(B=AB在直線l上取一個與先通過學(xué)生對本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯，提高認識與辯證思想老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，完成作圖.分組討論，教師引導(dǎo)點撥，結(jié)合多媒體的演示，師生共同完成證明過程.利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過移動點C'的位置，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時

5、，AC+BCAC'+CB,當(dāng)C'與C重合時,AC+BC=AC+C'B.讓學(xué)生很容易知道AC+BC最短，消除了學(xué)生的疑慮，發(fā)揮C點不重合的點C新路徑=AC'+CB=AC'+CB'了多媒體的作用，讓學(xué)生進試比較新路徑與AB的大?。▋牲c之間線段最短或三角形中兩邊步體會作法的之和大于第三邊）結(jié)論：AGCB這條路徑最短.正確性，提高了邏輯思維能力.問題三：歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知提示：本題也可作A點關(guān)于直線l的對稱點2、通過以上學(xué)習(xí)和討論，你知道海倫是怎樣幫助將軍解決問題的了嗎？小試牛刀,例題講解線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到

6、線段兩個端點距離相等。關(guān)鍵：弄清動點在哪條直線上運動，這條直線就是對稱軸。技巧工三、小試牛刀，例題講解例1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A(12,0),動直線OB與AB相交于點老師首先解釋行走一定的路程的含義，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再提出如下問題：(1)要使所走的路線全程最短，實際上是使幾條線段之和最短？通過老師的引導(dǎo)啟發(fā)明白解決這個問題應(yīng)該運用軸對稱的性質(zhì)，將兩點在直線同側(cè)的問題，轉(zhuǎn)化為兩點在直線異測的問題，提高學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力，讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中，提高甄別是非的能力，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.再攀高峰,遷移應(yīng)用四、再攀高峰-遷移應(yīng)用(2)怎樣將問題轉(zhuǎn)化為“兩點

7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B坐標(biāo)為A(1,3),B(-4,2)設(shè)M,N分別為x軸，y軸上一動點，問是否存在這樣的點M(m,之間，線段最0),并求出短”的問題.N(0,n)快四匕ABMNH山司不短？小m,n四1且；四邊形ABMN的周長2、分組討論，V.J/卜師生共同分析.4A(L3)33、完成作圖，體會作圖的步BI12)z驟與分析問題的思路的聯(lián)系1-與區(qū)別.ii1、分組討論，-4-3-2-1012X教師點撥，點學(xué)-1生上臺操作演不，回出最矩路五、課堂小結(jié)徑.師生一一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1、本節(jié)課研究問題的過程是什么？2、解決上述問題運用了什么知識？3、在解決問題的過程運用了什么方法？4、運用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？六、布置作業(yè)詳見學(xué)案對前面所學(xué)的解題方法與思路得以鞏固，讓學(xué)生形成技能，進一步體會感悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)