數(shù)論專題典型結(jié)論匯總

1、數(shù)論專題典型結(jié)論匯總整除一、常見數(shù)字的整除判定方法1 .一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2 .一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3 .如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4 .如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.5 .如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截

2、所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)?！緜渥ⅰ浚ㄒ陨弦?guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除.即如果cIa,cIb,那么cI（a±b）.性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果bIa,cIb,那么cIa.用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果bcIa,那么bIa,cIa.性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和

3、數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除.即如果bIa,cla,且（b,c）=1,那么bcIa.例如：如果3I12,4I12,且（3,4）=1,那么（3X4）I12.性質(zhì)5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除.如果b|a,且dIc,那么bdIac;質(zhì)數(shù)合數(shù)一、判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除p,那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p,我們可以先找一個大

4、于且接近p的平方數(shù)K2,再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p,如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近1441212,根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).二、唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：np1a1p；2p3,3p；k其中為質(zhì)數(shù)，aia2MMak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).分析：210=2X3X5X7,可知這三個數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解111337;100171113;1111141271;1000173137;19953

5、5719;1998233337;200733223;2008222251;10101371337.約數(shù)倍數(shù)一、求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.例如：2313711,25222327,所以(231,252)3721;21812短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3|96，所以(12,18)236;32輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；

6、這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的).例如，求600和1515的最大公約數(shù)：15156002|315;6003151“|285;3152851|30;285309口|15;301521|。；所以1515和600的最大公約數(shù)是15.二、最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以n.三、求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出

7、各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；b即為所求.a四、約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系(1)約數(shù)是對一個數(shù)說的；(2)公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)五、求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：2313711,25222327,所以231,25222327112772；短除法求最小公倍數(shù)；233236；21812例如：3|96,所以18,1232a,bab(a,b)六、最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).七、求

8、一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)a;求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)b;b即為所求.例如：393”a412(4,12)4注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：141,44232,3八、倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系(1)倍數(shù)是對一個數(shù)說的；(2)最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)九、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 .兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果m為A、B的最大公約數(shù)，且Ama,Bmb,那么ab互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系

9、：M|ABabABmambmmab,即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是A、B、AB、AB及最小公倍數(shù)的約數(shù).2 .兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即(a,b)a,bab,此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3 .對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：567210,210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：678336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為3362168性質(zhì)(3)不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字

10、乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。十、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1,求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)(次數(shù))加1一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為23527,所以它的約數(shù)有(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公

11、式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2,求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次哥求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：21000233537,所以21000所有約數(shù)的和為2323(1222)(13)(1555)(17)74880此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。十一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1 .主要性質(zhì)1 .完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9

12、。不可能是2,3,7,8。2 .在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3 .完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4 .若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a2,則p能被a整除。2 .性質(zhì)性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0,1,4,5,6,9.性質(zhì)2:完全平方數(shù)被3,4,5,8,16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù).性質(zhì)3:自然數(shù)防完全平方數(shù)自然數(shù)N勺數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且p2n1|N,則p2n|N.性質(zhì)4:完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù).性質(zhì)5:如果一個完全平方數(shù)的個

13、位是0,則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù).如果一個完全平方數(shù)的個位是5,則其十位-一定是2,且其百位-一定是0,2,6中的一個.性質(zhì)6:如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù).3 .一些重要的推論1 .任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2 .一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3 .自然數(shù)的平方末兩位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。4 .完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)

14、(1,5,9)時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5 .完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)(0,4)時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6 .完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7 .凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1,4,9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點公式回顧：平方差公式：a2b2(ab)(ab)余數(shù)一、三大余數(shù)定理：1 .余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個余數(shù)的

15、和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22 .余數(shù)的減法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以2316=7除以5的余數(shù)等于2,兩個余數(shù)差3-1=2.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時時，補(bǔ)上除數(shù)再減。例如：23,14除以5的余數(shù)分別是3和4,2314=9除以5的余數(shù)等于4,兩個余數(shù)差為3+5-4=43 .余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：2

16、3,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于3X1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X19除以5的余數(shù)等于3X4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么an與bn除以m的余數(shù)也相同.二、同余定理1、定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a三b(modm,左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b,模m2、重要性質(zhì)及推論：(1)若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被m整除例如：17與11除以3的余數(shù)都

17、是2,所以(1711)能被3整除.(2)用式子表示為：如果有a=b(modn),那么一定有ab=mkk是整數(shù)，即m|(a-b)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的.建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R使彳導(dǎo):N與R對于除數(shù)m同余.由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù).整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)；整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)

18、；(4)整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；(不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減)；(6)整數(shù)N被7,11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7,11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7,11或13除的余數(shù).奇偶一、奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1:偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì)2:偶數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3:偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質(zhì)4:奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)二、兩個實用的推論推論1:在加減

19、法中偶數(shù)不改變運算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運算結(jié)果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)a,b,有a+b與a-b同奇或同偶位值原理一、位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”，寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。二、位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：abcdefax100000+bx10000+cx1000+dx100+ex10+f。三、解位值一共有三大法寶：(1)最簡單的應(yīng)用解數(shù)字謎的方法列豎式(2)利用十進(jìn)制的展開形式，列等式解答(3)把整個數(shù)字整體的考慮設(shè)為x,列方程解答進(jìn)制1,十進(jìn)制：我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點是“逢十進(jìn)一”。在實際生活中，除了十進(jìn)制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。2,二進(jìn)制：在計算機(jī)中，所采用的計數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計數(shù)