第一章微分方程基礎(chǔ)

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 第一章第一章 微分方程微分方程1.1 微分方程的概念微分方程的概念1.2 一階線性微分方程一階線性微分方程1.3 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程1.4 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程1.5 微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用舉例微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用舉例本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 1,M x yx例 、求過（2，1）點(diǎn)，且在曲線上任一點(diǎn) （）處的切線斜率等于2 的曲線方程.解( ).yf x設(shè)所求曲線的方程為 2 ,dyxdx其中曲線過（2,1）點(diǎn)積分積分3,C 求得2 3.yx所求曲線方程為2y xC1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解,( )tsss

2、t設(shè)制動(dòng)后秒鐘行駛米4.022 dtsd0,2000ttsdtds代入條件后知代入條件后知1220,0CC20.220 .stt 10 .4d svtCd t 故故2120.2stC tC 0.420,dsvtdt 定義、把含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫定義、把含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程做微分方程例如例如 25430,50,3,3105sin .yxydyxdxx yxyxyyy xyyxx定義定義微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階的階數(shù)叫做微分方程的階. .( )( ,)0,nF x y yy(1),nx y

3、yy 一般地，一般地，n n階微分方程的形式是階微分方程的形式是其中其中中的某些變量可以不出現(xiàn)中的某些變量可以不出現(xiàn).(4)50ey定義定義如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程中，使方程成為如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程中，使方程成為恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)是該微分方程的解恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)是該微分方程的解. .2yxC23yx2d yxd x例如例如2120.2stC tC 20.220 ,stt 220.4d sdt 定義定義如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的解叫做微分方程

4、的通解解叫做微分方程的通解. . 2dyyxC Cxdx函數(shù)為任意常數(shù) 是=2 的通解.例如例如22121220.2C ,C0.4d sstC tCdt 函數(shù)(為任意常數(shù))是的通解.定義、如果微分方程的一個(gè)解不含任意常數(shù)，則稱這個(gè)解定義、如果微分方程的一個(gè)解不含任意常數(shù)，則稱這個(gè)解是微分方程的某一個(gè)特定條件下的解，簡(jiǎn)稱為特解是微分方程的某一個(gè)特定條件下的解，簡(jiǎn)稱為特解. .例如例如2220.2200.4d ssttdt 函數(shù)是的特解.2dyyxxdx函數(shù)-3是=2 的特解.用來確定任意常數(shù)的條件叫做初始條件用來確定任意常數(shù)的條件叫做初始條件. .,12,120,0,20,xydstsvdt例如

5、 例 中的時(shí)和例 中的時(shí)都是初始條件.求微分方程的解的過程叫做解微分方程求微分方程的解的過程叫做解微分方程. .注意注意如果不特別聲明，也沒有給出初始條件，解微如果不特別聲明，也沒有給出初始條件，解微分方程就是求微分方程的通解分方程就是求微分方程的通解.解解sincos,dykktkktdt 求導(dǎo)，得 2222cossin,d ykktkktdt 2223cossin0yktktdykykdt例、 驗(yàn) 證是 微 分 方 程的 解 （為 常 數(shù) ） 。22(cossin)(cossin)0.kktktkktkt22,d yxdt將和 的表達(dá)式代入所給微分方程中 得cossin.yktkt故是所給

6、微分方程的解23sin5.yxx例4、解微 分方程2(3sin5),y dxxxdx解、對(duì)兩端積 分，得 31 cos5.yxxxC即 31(cos5)y dxxxxC dx對(duì)上式再積分，得，421215sin.42yxxxC xC即 20sin),|3.xdyxxdx y例5、解微分方程方 程（32(3sin),dyxxdx解:對(duì)兩端積 分，得 313cos.3yxxC 0|36.xyC將初始條件代入上述通解中，得313cos6.3yxx所以，滿足初始條件的特解為 內(nèi)容小結(jié)(1)微分方程的定義(2)微分方程的求解22.yxy例1、解微分方程 很明顯，直接積分法是行不通的很明顯，直接積分法是行

7、不通的. .將方程寫成形式將方程寫成形式22,dyxydx20dxyyxy上式兩端同乘以 ，并同除以，把變量 和“分離”，212.dyxdxy得 212.dyxdxy兩端求積分，得21-,xCCy即其中 是任意常數(shù).22y dxxy dx22.yxy dx1.2 一階線性微分方程的微分方程一階線性微分方程的微分方程( ) ( )dyf x g ydx求解可分離變量的微分方程的步驟如下：1( )( )0 .( )dyf x dx g yg y第一步 分離變量 ，1( ).( )dyf x dxg y第二步 兩邊積分 ( )( ),G yF xC第三步 求出積分 1( )( )( )( )G yF

8、 xf xCg y其中，分別是，的原函數(shù)， 為任意常數(shù).可可分離變量的微分方程x2y2 y.解微分方程 例 2.dyxydx 原方程可改為 解 20 .dyxdx yy分離變量，得12,dyxdxy兩邊積分，得 2211 xCCxyee e即，2211().CCxxye eCeCe所求微分方程的通解為 想一想、函數(shù)想一想、函數(shù)y=0=0是本題中微分方程是本題中微分方程的解嗎？如果是，的解嗎？如果是，它是否包含在上述它是否包含在上述通解中？通解中？03)|1.xxyyeyx求微分方程（1+e滿足初始條件 例 的特解.1xxeydydxe 原方程可 解改為 兩邊積分，得 21ln(1).2xyeC

9、01|1ln22xyC把初始條件入上式，求得22ln(11 2ln2xye 所求微分方程的特解為 ）定義定義( )( )dyP x yQ xdx形如的方程一階線性微分方，稱為，簡(jiǎn)稱程線性方程.( )0,( )0dyQ xP x ydx .( )0,( )( )dyQ xP x yQ xdx.特點(diǎn)：所含未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的特點(diǎn)：所含未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的. .一階齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程5321,yyx2(sin )cos ,yx yx350.xyx y353 ,yyx2sin ,yyyx4ln0.yy是是否否1.2.2一階齊次線性微分方程一階齊次線性微分

10、方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法1. 線性齊次方程線性齊次方程( )0.dyP x ydx(使用分離變量法使用分離變量法)( ),dyP x dxy 1ln( ),yP x dxC 齊次方程的通解為齊次方程的通解為1( )|.P x dxCye e1( ).P x dxCye e ( ).P x dxyCe1CCe 10yx微分方程y -例4 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程( )( ).dyP x yQ xdx( )Cu x令( )( )P x dxyu x e( )( )( )( ) ( ),P x dxP x dxyu x eu x P x eyy將 和 代入原方程得積

11、分得積分得( )( )( ).P x dxu xQ x edxC（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）( )( )( ),( ).P x dxP x dxu eQ xuQ x e一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e( )( )( )( ).P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解常數(shù)變易法求解一階非齊次線性方程的步驟：常數(shù)變易法求解一階非齊次線性方程的步驟： ( )1P x dxyCe求齊次線性方程的通解：； ( )( )2( )C( )(

12、 )( )P x dxP x dxu xyCeu xyu x eu x求：將中的常數(shù) 換為待定函數(shù)（即常數(shù)變易），得到非齊次線性方程的解得形式，并將它代入原非齊次線性方程中，求出； ( )3( )( )P x dxu xyu x e求非齊次線性方程的通解：將求出的代入，得到非齊次線性方程的通解.解法 公式法2( )2 , ( )cos,xP xx Q xxe因?yàn)樗杂梢浑A非齊次線性方程的通解的公式得222cosxdxxdxxyexeedxC222cosxxxexee dxC2cosxexdxC2sin.xexC2x2xcos5 .yyxe例 求方程的通解31-0 1 |6xxyyxy 例 求微

13、分方程滿足條件的特解.2 11- . yyxxx解 原方程改寫為 2 11( )-,( ),P xQ xxxx令代入通解公式得112 3111.2dxdxxxyexedxCxCxx11|0.2xyC3111.22yxx所以特解為 例例4 已知某種放射性元素的衰變率與當(dāng)時(shí)尚未衰變的放已知某種放射性元素的衰變率與當(dāng)時(shí)尚未衰變的放射性元素的量成正比，求這種放射性元素的衰變規(guī)律射性元素的量成正比，求這種放射性元素的衰變規(guī)律.解解 設(shè)這種放射性元素的衰變規(guī)律是設(shè)這種放射性元素的衰變規(guī)律是Q=Q(t). 依題意，有依題意，有,(0).dQkQ kkdt 為比例常數(shù)，且分離變量，得分離變量，得.dQkdtQ

14、 ,dQk dtQ 兩端積分，得兩端積分，得0ln.QktC 000kt CCCktktQeeeCeCe即，（）.11 -ln().tmgkvCkm1t .kkCmmgevCeCkK 將初始條件將初始條件 代入上述通解中，得代入上述通解中，得 0|0tv.mgCk t(1).kmmgvek特解為.dvmmgkvdt0|0.tv,dvdtmgkvm.dvdtmgkvm例例5 5 一物體在空中下落，所受空氣阻力與速度成正一物體在空中下落，所受空氣阻力與速度成正比，當(dāng)時(shí)間比，當(dāng)時(shí)間t t=0=0時(shí)，物體的速度為零，求該物體下落的速度時(shí)，物體的速度為零，求該物體下落的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與時(shí)間的函數(shù)關(guān)

15、系. .解解 設(shè)物體下落的速度為設(shè)物體下落的速度為v(t).同時(shí)受到重力同時(shí)受到重力P與阻力與阻力R的作用的作用物體所受的合外力為物體所受的合外力為 F = mg kv.根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律F=ma,得到得到v（t）應(yīng)滿足方程）應(yīng)滿足方程sin(,)( ). mmEEtERLi t如圖所示的電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為都是常數(shù) ，電阻 和電感 都是常量.求電流隨時(shí)間的變化規(guī)律例3 (1)解列方程.0.diELiRdtsinsin.mmEdiREEtitdtLL把代入上式得0|0.ti(2) ( ),( )sin,mERP tQ ttLL求通解.令代入通解公式得.diREidtLL( )si

16、n.RRttmLLEi teetdtCL222( )sincos,RtmLEi tRtLtCeRL方程通解為C其中為任意常數(shù).(3) 求特解.將初始條件代入上述通解中，得222mLECRL)cossin(sin2222tLtRLLRetdtetLRtLR222222( )sincos.RtmmLELEi tRtLteRLRL222222(4) .cossinRLRLRL討論令，222222( )sin-.RtmmLELEi tteRLRL（）正弦函數(shù)正弦函數(shù) 趨于零趨于零2( ,)yf x y、型的微分方程3( ,)yf y y、型的微分方程)1( )nyf x（、型的微分方程1.3可降階的高

17、階微分方程可降階的高階微分方程1cos2yxx例 、求微分方程 的通解定義：二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程定義：二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程)1( )nyf x（、型的微分方程，特點(diǎn)是右端僅含x的函數(shù)，方程只要連續(xù)n次積分就可得通解21sinyxxc解 ： 逐 項(xiàng) 積 分 ， 得3121cos3xxc xc y4212311sin122yxxcxc x c再積分得通解：2. 型的微分方程型的微分方程 (不顯含不顯含y的微分方程的微分方程)解法：解法：,yP令.yP則代入原方程代入原方程, 得得( , ).Pf x P11( ,)( ,).Px Cyx C求得其通解得1(

18、,).yx C dx對(duì)兩端積分，得這種解微分方程的方法稱為降階法.( ,)yf x y通解通解 1 .yyx例2，求微分方程的通解,ypyp令則將它們代入原方程1.ppx2121.2yC xC則原微分方程的通解為解解11dpdxpx1lnlnlnpxC1pC x1yC x3. 型的微分方程型的微分方程(不顯含不顯含x的微分方程的微分方程) yp令( , ),yf y y將它們代入中得( , ).dppf y pdy原方程的通解為1.dyx21C(y,C )( ,)yf y ydpdp dydpdpyppdxdy dxdydy1( ,)py C1( ,)yy C2 0.yyy例 求微分3方程 的

19、通解,dpypypdy 令則將解它們代入原方程20.dpyppdy.xye1C2則原微分方程的通解為Cdpdypy1lnlnlnpyC11pC yyC y或1.4 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程1. 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)2. 2. 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程3. 3. 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程1.4 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程定義定義1、對(duì)于兩個(gè)不恒等于零的函數(shù)、對(duì)于兩個(gè)不恒等于零的函數(shù)y1與與y2，如果存在一個(gè)常數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)C，使，使y2=Cy1，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)y2與與y1線性相關(guān)；否則

20、，稱函數(shù)線性相關(guān)；否則，稱函數(shù)y2與與y1線性無關(guān)線性無關(guān).2121221221,();.3xxxxyyyCyyeyeeye3由 定 義 知 如 果 函 數(shù)與線 性 相 關(guān) 則 它 們 的 比常 數(shù)否 則 就 線 性 無 關(guān)函 數(shù)和線 性 相 關(guān) ；y與線 性 無 關(guān) 。1. 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定義定義2( ) ( )( )yP x yQ x yf x方程,( ),( ),( ).P x Q xf xx二階稱為其中都是 的連線性微分方程續(xù)函數(shù)(1)( )0,(1)( ) ( )0, (2)f xyP x yQ x y當(dāng)時(shí) 方程成為 ( )0,(1)f x 二階齊次稱為,當(dāng)

21、時(shí)方程線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程.定理定理1 1 如果函數(shù)如果函數(shù)y1，y2都是方程都是方程(2)(2)的解，則的解，則y=C1y1+C2y也是也是方程方程(2)(2)的解，其中的解，其中C1 1，C2 2 是任意常數(shù)是任意常數(shù). .證證 將將y=C1y1+C2y2代入代入(2)(2)式左邊，得式左邊，得定理定理1 1表明，齊次線性方程的解具有疊加性表明，齊次線性方程的解具有疊加性. .根據(jù)定理根據(jù)定理1 1，可由方程，可由方程(2)(2)的兩個(gè)解，構(gòu)造出任意多個(gè)解的兩個(gè)解，構(gòu)造出任意多個(gè)解. .11221122112211112222()( )()( )()( )( )( )(

22、).C yC yP x C yC yQ x C yC yC yP x yQ x yC yP x yQ x y0 0 xxeyey22213,20yyyxxeCeCy22213112211221122()( )()( )()C yC yP x C yC yQ x C yC y定理定理2 2（二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理）如果函數(shù)（二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理）如果函數(shù) 都是方程都是方程(2)(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則 21, yy2211yCyCy是方程是方程(2)(2)的通解，其中的通解，其中 是任意常數(shù)是任意常數(shù). .21,CC定理3 （二階非齊次線性微分

23、方程解的結(jié)構(gòu)定理） 設(shè)y*是二階非齊次線性微分方程（1）的一個(gè)特解，Y是它對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則y=Y+y* 是二階非齊次線性微分方程（1）的通解。(* )( )(*)( )(*)( )( ) *( ) *( ) *.YyP x YyQ x YyYP x YQ x YyP x yQ x y0 f (x) 02 yyy212xxyC eC e4121*xy4121221xeCeCyxx* (1),yYy把代入方程中證得(*)( )(*)( )(*)YyP x YyQ x Yy2. 2. 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程在二階常系數(shù)齊次線性方程在二階常系數(shù)齊次線性方程( )(

24、)0yP x yQ x y,( )( )yyP xQ x中 如果的系數(shù)，都是常數(shù)，則上式為二階常系其中p,數(shù)齊次線q是常數(shù)性微,叫做分方程.0,ypyqy121 1222,0,:.ypyqyyyyC yC y根據(jù)定理 只需取出方程的兩個(gè)線性解無關(guān)的特解 與則就是它的通解法0ypyqy微分方程的特征方程為20.rprq.r特征方程的根 叫做微方程的特征根分2121,24,2ppqr rr特征方程的兩個(gè)根可以用公式.:求 出 它 們 有 下 列 三 種 情 況（1 1）有兩個(gè)不相等的實(shí)根）有兩個(gè)不相等的實(shí)根: :12120.r xr xypyqyyC eC e方程的通解是340.yyy 例1，求微

25、分方程的通解 解、所給微分方程的特征方程為2340rr12124,1().rrrr 412.xxyC eC e所以方程的通解為21rr (2) (2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根: :0ypyqy方程的通解:12();rxyCC x e rrr212020 20 |4,22|-ttd sdsssdtdts 求微分方程滿足例初始條件的特解.2 210,rr 其特征方程為 解所以，所求方程的通解為12().tsCC t e0012|4,|-2,42.ttssCC，(42 )tst e所求特解為.2(1)0.r1.r (3) (3) 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根：12,( ,R,0).ri r

26、i 0ypyqy方程的通解為12(cossin).xyeCxCx4130.yyy例3、 求微分方程的通解24130,rr特征方解程為 1 223 ,ri，212(cos3sin3 ).xyeCxCx所以方程的通解為二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟: :（1）寫出微分方程相應(yīng)的特征方程）寫出微分方程相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征方程的特征根）求出特征方程的特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根2

27、1rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 20rprqxxo004 OmOxv彈簧上端固定,下端掛一個(gè)質(zhì)量為 的物體，點(diǎn)為平衡位置.如果在彈性限度內(nèi)用力將物體向下一拉,隨即松開，物體就會(huì)在平衡位置上下作自由振動(dòng),忽略物體所受的阻力(如空氣阻力等)不計(jì),并且當(dāng)運(yùn)動(dòng)開始,物體的位置為,初速度為,求物體的例運(yùn)動(dòng)規(guī)律.( ).xx t 設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為解,fkx 彈性恢復(fù)力根據(jù)牛頓第二定律 得kxdtxdm22220.d xkxdtm2222,0.kd xxmdt令則有220,.rri 其特征方程為特征根為12cossi

28、n.xCtCt12sincoscos.xCtCt Asin().xt0000,vxxxtt0102,.vCx C00cossin.vxxtt)(tan)sin(0022020vxtvxxA3. 3. 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程( ) ( )0 .ypyqyf xf x1122*1122 0, ( ) , ( )ypyqyC yC yypyqyf xyyC yC yyypyqyf x先求出它對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解再求出的一個(gè)特解 ，將他們相解法加得即為的通解.( )(1) ( ),.xnnf xe P xP xn，其中是一個(gè) 次多項(xiàng)式是常數(shù)*( )( ).,0;1;2.kx

29、nnyx Q x eQ xnkkkk有形如的特解,其中是一個(gè)待定的 次多項(xiàng)式, 是一個(gè)整數(shù)當(dāng) 不是特征根時(shí)當(dāng) 是特征根,但不是重根時(shí),當(dāng) 是特征根,且為重根時(shí),xnexPqyypy)( 233.51yyyx求微分例方程的通解該方程對(duì)應(yīng)解 的齊次方程為230.yyy2230.rr121,3.rr 312.xxyC eC e齊次方程的通解為0( )310( )31.xnf xxeP xx，0*AB.kyx取，可設(shè)原方程的特解為*,0.yAy 23()31,AAxBx代 入 原 方 程 ， 化 簡(jiǎn) 得32331.AxABx33,231.AAB11,.3AB 1*.3yx 3121.3xxyC eC ex原方程的通解為22 4.6xyyxe求微分方程的通解例