第3章隨機過程

1、1第第3章章 隨機過程隨機過程3.0 引言引言3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲3.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程3.3 高斯隨機過程高斯隨機過程3.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程3.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲要求要求23.0 引言引言1.1.信號的分類信號的分類按信號的性質(zhì)分為確定信號和隨機信號兩類。按信號的性質(zhì)分為確定信號和隨機信號兩類。確定信號確定信號：是指在相同的實驗條件下，能夠是指在相同的實驗條件下，能夠重復(fù)實現(xiàn)的信號。又有周期信號和非周期信號重復(fù)實現(xiàn)的

2、信號。又有周期信號和非周期信號之分。確定性信號是時間的確定函數(shù)。之分。確定性信號是時間的確定函數(shù)。隨機信號隨機信號：是在相同的實驗條件下，不能夠：是在相同的實驗條件下，不能夠重復(fù)的信號。信號的某個或幾個參數(shù)不能預(yù)知重復(fù)的信號。信號的某個或幾個參數(shù)不能預(yù)知或不可能完全預(yù)知（具有隨機性）。或不可能完全預(yù)知（具有隨機性）。32. 通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘?、噪聲均為隨機信號通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘枴⒃肼暰鶠殡S機信號. . 隨機信號的不可預(yù)測性為所攜帶的信息，它隨機信號的不可預(yù)測性為所攜帶的信息，它是有用的，而噪聲的不可預(yù)測性是對信號的干是有用的，而噪聲的不可預(yù)測性是對信號的干擾，是有害的。兩者都不可預(yù)測，但均

3、服從一擾，是有害的。兩者都不可預(yù)測，但均服從一定統(tǒng)計規(guī)律，需用概率論方法進行分析。二者定統(tǒng)計規(guī)律，需用概率論方法進行分析。二者統(tǒng)計特性不同，可從噪聲中提取信號。統(tǒng)計特性不同，可從噪聲中提取信號。3.3.通信系統(tǒng)中的噪聲為隨機噪聲，簡稱噪聲。通信系統(tǒng)中的噪聲為隨機噪聲，簡稱噪聲。 43.13.1隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念 隨機變量隨機變量(random variable):在數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)分析中，將每次實驗的結(jié)果用一個變量來表示，中，將每次實驗的結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是不確定的（以某個概率如果變量的取值是不確定的（以某個概率取某個值），則這種變量稱為隨機變量。取某個值），

4、則這種變量稱為隨機變量。 例如在給定的某一瞬間測量接收機輸出例如在給定的某一瞬間測量接收機輸出端上的噪聲，所測得的噪聲瞬間值就是一端上的噪聲，所測得的噪聲瞬間值就是一個隨機變量。個隨機變量。5隨機變量隨機變量 的的概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 是是 的的取值小于或等于取值小于或等于 的概率，即的概率，即X xFXXx xXPxFX在許多問題中，采用在許多問題中，采用概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 比采用概率分布函數(shù)更方便。概率密度函比采用概率分布函數(shù)更方便。概率密度函數(shù)被定義為概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。數(shù)被定義為概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 xPX分布函分布函 數(shù)：數(shù)：distribution function概率密

5、度函數(shù)：概率密度函數(shù)： probability density function6概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)之間的關(guān)系可概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)之間的關(guān)系可表述為：表述為： X 位于區(qū)間位于區(qū)間 內(nèi)的概率是概率密度內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)函數(shù) 在該區(qū)間上的積分，即在該區(qū)間上的積分，即 :21,xx xPX xxPxXxPxxXd2121 xpXx1x2x21xxxP7定義二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為定義二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為yxyxFyxPYXYX,2, 假設(shè)聯(lián)合概率分布函數(shù)處處連續(xù)，且偏導(dǎo)假設(shè)聯(lián)合概率分布函數(shù)處處連續(xù)，且偏導(dǎo)存在并處處連續(xù)。存在并處處連續(xù)。若考慮兩個隨機變量若考

6、慮兩個隨機變量X 、Y，定義二維隨機變，定義二維隨機變量量( X,Y )的聯(lián)合概率分布函數(shù)為的聯(lián)合概率分布函數(shù)為 ，即，即X小于或等于小于或等于x 同時同時 Y 小于或等于小于或等于 y 的聯(lián)合概率。的聯(lián)合概率。 yxFYX,yYxXPyxFYX;,8隨機變量的主要數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望（均隨機變量的主要數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望（均值）值） 和方差和方差 等。等。 XE)(XDxxpxXEXd)()( xxpaxaXEXDXXXd22 反映了隨機變量反映了隨機變量 取值的集中位置，有取值的集中位置，有時也用時也用 表示；表示； 表示的表示的 取值相對于均值取值相對于均值的的“離散程度離散程度”，也常

7、常表示為，也常常表示為 。 XEXXa XDX2X9隨機過程隨機過程 ( (random process) )確定過程確定過程 其變化過程具有確定的形式，或者說具有必其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律。用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程然的變化規(guī)律。用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個或幾個可以用一個或幾個時間時間t的確定的確定函數(shù)來描述函數(shù)來描述。隨機過程隨機過程 沒有確定的變化形式，也就是說，每次對沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化規(guī)律。用數(shù)規(guī)律。用數(shù)學(xué)語言來說，學(xué)語言來說， 這類事物變化的過程不可能用一這類事物變化的過

8、程不可能用一個或幾個時間個或幾個時間t的確定的確定函數(shù)來描述。函數(shù)來描述。10什么是隨機過程什么是隨機過程？ 隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，不能隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，不能用確切的時間函數(shù)描述。用確切的時間函數(shù)描述。 角度角度1：隨機過程可視為無窮多個樣本函數(shù)的隨機過程可視為無窮多個樣本函數(shù)的集合集合 (assemble) 。l 設(shè)設(shè)Sk(k=1, 2, )是隨機試驗。是隨機試驗。 每一次試驗都有每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn))，記作，記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體x1(t), x2(t),

9、 , xn(t) 就構(gòu)成一隨機過程，記作就構(gòu)成一隨機過程，記作(t)。簡言。簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。11l設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗E的可能結(jié)果為的可能結(jié)果為 (t)，試驗的樣本，試驗的樣本空間空間S為；為；x1(t)，x2(t)，xi(t)，i為正為正整數(shù)，整數(shù)，xi(t)為第為第 i 個樣本函數(shù)（又稱之為實現(xiàn)個樣本函數(shù)（又稱之為實現(xiàn)(realization)）,每次試驗之后，每次試驗之后， (t)取空間取空間S中中的某一樣本函數(shù)，于是稱此的某一樣本函數(shù)，于是稱此 (t)為隨機函數(shù)。為隨機函數(shù)。當當 t 代表時間量時，稱此代表時間量時，稱

10、此 (t)為隨機過程為隨機過程 無窮多個樣本函數(shù)無窮多個樣本函數(shù)xi(t)的集合稱作隨機過程的集合稱作隨機過程。什么是隨機過程什么是隨機過程？12l在任一給定時刻在任一給定時刻 t1上，每一個樣本函數(shù)上，每一個樣本函數(shù)xi (t)都是一個確定的數(shù)值都是一個確定的數(shù)值xi (t1)，但是每個但是每個xi (t1)都都是不可預(yù)知的。是不可預(yù)知的。l在一個固定時刻在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值上，不同樣本的取值xi (t1), i = 1, 2, , n是一個隨機變量，記為是一個隨機變量，記為 (t1).什么是隨機過程什么是隨機過程？角度角度2： 隨機過程可視為無窮多個隨機變量隨機過程可視為無

11、窮多個隨機變量 (ti) 的集合。的集合。 13l換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。個隨機變量。l因此，我們又可以把隨機過程看作是在時因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。這間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數(shù)學(xué)個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數(shù)學(xué)描述。描述。什么是隨機過程什么是隨機過程？14x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk15隨機過程基本特征隨機過程基本特征： 隨機過程兼有隨機變量和和時間函數(shù)的特點：隨機過程兼有隨機變量和和時間

12、函數(shù)的特點： 就某一瞬間來看，它是一個隨機變量；就它就某一瞬間來看，它是一個隨機變量；就它的一個樣本來看，則是一個時間函數(shù)。隨機過的一個樣本來看，則是一個時間函數(shù)。隨機過程的樣本空間是一個時間函數(shù)集，隨機變量的程的樣本空間是一個時間函數(shù)集，隨機變量的樣本空間是一個實數(shù)集。樣本空間是一個實數(shù)集。兩層含義兩層含義：l隨機過程隨機過程(t)是大量樣本函數(shù)的集合。是大量樣本函數(shù)的集合。l隨機過程隨機過程(t)在任一時刻都是隨機變量；在任一時刻都是隨機變量；163.1.1 隨機過程的分布函數(shù)隨機過程的分布函數(shù) 隨機變量隨機變量(t1)小于或等于某一數(shù)值小于或等于某一數(shù)值x1的概率的概率 簡記為簡記為F1

13、(x1, t1)，即，即 稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的一維分布函數(shù)的一維分布函數(shù)11111(,) ( )FxtPtx11 ( )Ptx 設(shè)設(shè)(t)表示一個隨機過程，在任意給定的時表示一個隨機過程，在任意給定的時刻刻t1T， 其取值其取值(t1)是一個一維隨機變量。是一個一維隨機變量。隨機過程的統(tǒng)計特性可以用隨機過程的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)分布函數(shù)或或概率密概率密度函數(shù)度函數(shù)來描述來描述。171111111(,)(,)Fxtfxtx如果存在如果存在稱稱 為隨機過程為隨機過程 的的一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù))(111txf，)(t同理，任給同理，任給t1, t2, , tnT, 則則(t

14、)的的n維分布維分布函數(shù)被定義為：函數(shù)被定義為：1212( ,; , ,)nnnF x xx t ttP1122 ( ), ( ),( )nntxtxtx n維概率密度函數(shù)被定義為維概率密度函數(shù)被定義為:).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnntttxxxfxxxtttxxF183.1.2 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性地描述隨機過程的統(tǒng)計特性, 但在實際工作中，但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機

15、過程的數(shù)字特征來描述隨機過數(shù)，而用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。19設(shè)隨機過程設(shè)隨機過程(t)在任意給定時刻在任意給定時刻t1的取值的取值(t1)是是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1, t1)，則，則(t1)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為11111),()(dxtxfxtE注意，這里注意，這里t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t1直接寫直接寫為為t, x1改為改為x, 這時上式就變?yōu)殡S機過程在任意這時上式就變?yōu)殡S機過程在任意時刻的數(shù)學(xué)期望，記作時刻的數(shù)學(xué)期望，記作 ， 于是于是dxtxfxtEta),

16、()()(1)(t隨機過程的隨機過程的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望20隨機過程的隨機過程的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望l反映了隨機過程各個時刻的數(shù)學(xué)期望（均值）反映了隨機過程各個時刻的數(shù)學(xué)期望（均值）隨時間的變化情況；隨時間的變化情況；l是隨機過程所有樣本函數(shù)的是隨機過程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均函數(shù)統(tǒng)計平均函數(shù)；l它由隨機過程的一維概率分布決定；它由隨機過程的一維概率分布決定；l表征了隨機信號的直流分量；表征了隨機信號的直流分量；dxtxfxtEta),()()(1 tXt021隨機過程的隨機過程的方差方差 (variance)：)(2t記為：記為： 。2)()()(tatEtD)()()()()(2)()()()(2

17、)(222222tatEtatEtatEtattatEl反映隨機過程在時刻反映隨機過程在時刻 t 相對于均值的偏離程度；相對于均值的偏離程度；l表征了隨機信號的交流平均功率。表征了隨機信號的交流平均功率。22相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)(correlation function)： 描述隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機描述隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的相關(guān)程度。變量之間的相關(guān)程度。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 式中，式中， (t1)和和 (t2)分別是在分別是在t1和和t2時刻觀測時刻觀測得到的隨機變量?？梢钥闯?，得到的隨機變量?？梢?/p>

18、看出，R(t1, t2)是兩個是兩個變量變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。23協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)(covariance function)式中式中: a (t1) a(t2) 在在t1和和t2時刻得到的時刻得到的 (t)的均值的均值 f 2(x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)。 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB l相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若若a(t1) = a(t2)=0，則，則B(t1, t2) = R(t1,

19、t2)()(),(),(212121tatattRttB24互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 式中式中 (t)和和 (t)分別表示兩個隨機過程。分別表示兩個隨機過程。因此，因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(2121ttEttR251. 和的平均等于平均的和和的平均等于平均的和 E(XY)E(X)E(Y)2. 若若X、Y相互統(tǒng)計獨立，則積的平均等于平均相互統(tǒng)計獨立，則積的平均等于平均的積的積 E(XY)E(X)E(Y)3. 隨機變量隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)的平均的平均式中式中 是隨機變量是隨機變量X的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。4. 確知函數(shù)可視為常數(shù)確知函

20、數(shù)可視為常數(shù)若若 是確知函數(shù)，則是確知函數(shù)，則 dxxfXgXgE)()()()(xf)()()()()()(XgEtfXgtfEtftfE)(xf補：進行統(tǒng)計平均運算時常用到的一些公式補：進行統(tǒng)計平均運算時常用到的一些公式263.2平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)（或嚴平穩(wěn)）隨機過程狹義平穩(wěn)（或嚴平穩(wěn)）隨機過程 廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）隨機過程廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）隨機過程 平穩(wěn)隨機過程的平穩(wěn)隨機過程的“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性” 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 27定義定義：平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性將不隨時間：平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性將

21、不隨時間的推移而發(fā)生變化，即其任何的推移而發(fā)生變化，即其任何n維分布函數(shù)或維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)與時間起點無關(guān)，亦即對于任意，亦即對于任意的正整數(shù)的正整數(shù)n和任意的實數(shù)和任意的實數(shù) ，平穩(wěn)，平穩(wěn)隨機過程隨機過程 的的n維概率密度函數(shù)滿足：維概率密度函數(shù)滿足：稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程,簡稱簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程（狹義平穩(wěn)隨機過程）。（狹義平穩(wěn)隨機過程）。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；,21nttt 3.2.1 平穩(wěn)隨機過程的定義平穩(wěn)隨機過程的定義)(t28性質(zhì)：性

22、質(zhì)： 該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間數(shù)與時間t無關(guān)：無關(guān)： 二維分布函數(shù)只與時間間隔二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：)(),(),(11111111xftxftxf);,(),;,(),;,(2122121221212xxfttxxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 數(shù)字特征數(shù)字特征：29數(shù)字特征：數(shù)字特征：（1）其均值與）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a ；

23、 （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。有關(guān)。 把同時滿足把同時滿足(1)和和(2)的過程定義為的過程定義為廣義平穩(wěn)隨廣義平穩(wěn)隨機過程機過程。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。除特別聲明，課程所可視為平穩(wěn)的隨機過程。除特別聲明，課程所討論的均為廣義平穩(wěn)隨機過程。討論的均為廣義平穩(wěn)隨機過程。adxxfxtE1111)()()(),(21RttR30問題的提出問題的提出：隨機過程的數(shù)字特征是對隨：隨機過

24、程的數(shù)字特征是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，能否從一次際中常常很難測得大量的樣本，能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)試驗而得到的一個樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢過程的數(shù)字特征呢?3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性31回答是肯定的回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個特性，稱為件下具有一個特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性” (又稱又稱“遍歷性遍歷性”)。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（統(tǒng)計平均）可由隨機過程中的其數(shù)字特征（統(tǒng)計平均）可由隨

25、機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 32 設(shè)：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程 (t)的任意一次實現(xiàn)的任意一次實現(xiàn)(樣本樣本)，則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為：則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa各態(tài)歷經(jīng)性條件各態(tài)歷經(jīng)性條件33“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義的含義：隨機過程中的任一次：隨機過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有

26、可能狀態(tài)。因此，實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的察，用一次實現(xiàn)的“時間平均時間平均”值代替過程的值代替過程的“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算的問值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。題大為簡化。具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。信號和噪聲，

27、一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。343.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)l (t)的平均功率的平均功率l 的偶函數(shù)的偶函數(shù)l R( )的上界的上界,即自相關(guān)即自相關(guān)函數(shù)函數(shù) R( )在在 = 0有最大值。有最大值。l (t)的直流功的直流功l 表示平穩(wěn)過程表示平穩(wěn)過程 (t)的交流的交流功率。當均值為功率。當均值為0時，有時，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR353.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程

28、的功率譜密度定義：對于任意的確定功率信號定義：對于任意的確定功率信號f (t)，它的功，它的功率譜密度定義為率譜密度定義為式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的截短函數(shù)的截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻所對應(yīng)的頻譜函數(shù)譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(36 對于平穩(wěn)隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程 (t) ，可以把，可以把f (t)當作是當作是 (t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故 (t)的功的

29、功率譜密度可以定義為率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(37功率譜密度的計算功率譜密度的計算l 維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有 簡記為簡記為 以上關(guān)系稱為維納以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它是聯(lián)系頻辛欽關(guān)系。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR38l在維納在維納-辛欽關(guān)系的基

30、礎(chǔ)上，可得到結(jié)論：辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，可得到結(jié)論：u對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的平對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的平均功率：均功率：從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。u各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于隨機過程的功率譜密度。也就是說，每一等于隨機過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。的譜特性。dffPR)()0(39u功率譜密度功率譜密度P ( f )具有非負性和實偶性，具有非負性和實偶性，即有即有和和這與這與

31、R( )的實偶性相對應(yīng)。的實偶性相對應(yīng)。 0)(fP)()(fPfP403.3 高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）3.3.1 定義定義 如果隨機過程如果隨機過程 (t)的任意的任意n維維(n =1,2,.)分布均分布均服從正態(tài)分布，則稱為正態(tài)過程或高斯過程。服從正態(tài)分布，則稱為正態(tài)過程或高斯過程。3.3.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)由高斯過程的定義式由高斯過程的定義式(3.3-1)可以看出，高斯可以看出，高斯過程的過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)

32、字特征就可以了。只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。41廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。若高。若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，與時間起點自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，與時間起點無關(guān)，則它的無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點無關(guān)，維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣故它也是嚴平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴平穩(wěn)。義平穩(wěn)的，則也嚴平穩(wěn)。高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為。也可以

33、說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。42如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，即對所有即對所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可以，則其概率密度可以簡化為簡化為 這表明，這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf43定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一定義：高斯過程在任一

34、時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為其一維概率密度函數(shù)為式中式中 a 均值均值 2 方差方差 曲線如右圖：曲線如右圖：221()( )exp22xaf x3.3.3 高斯隨機變量高斯隨機變量44性質(zhì)性質(zhì)lf (x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即即l la表示分布中心，表示分布中心， 稱為標準偏差，表示集中稱為標準偏差，表示集中程度，圖形將隨著程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當?shù)臏p小而變高和變窄。當a = 0和和 = 1時，稱為標準化的正態(tài)分布：時，稱為標準化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadx

35、xfdxxf21)()(21( )exp22xf x45正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù) 該積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其該積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其它特殊函數(shù)，用查表的方法求出：它特殊函數(shù)，用查表的方法求出：l用誤差函數(shù)表示：令用誤差函數(shù)表示：令則則 式中式中 誤差函數(shù)。誤差函數(shù)。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz2202( )xterf xedt)2(2121221)(2/ )(2axerfdtexFaxt46l用互補誤差函數(shù)用互補誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：式中式中 當當x 2時，時，2211)(axerf

36、cxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex47l用用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：lQ函數(shù)定義：函數(shù)定義：lQ函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系：lQ函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：lQ函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(483.4 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)通過線性系統(tǒng) 實際上討論隨機信號經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸比討實際上討論隨機信號經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸比討論確定信號經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸更

37、具有實際意義。論確定信號經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸更具有實際意義。我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。礎(chǔ)之上的。 49我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)v0(t)等于輸入信號等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即的卷積，即0( )( ) ()iv tvh tddtvhtvi)()()(0或或（3.4-1）（3.4-2）50 若把若把vi(t)、

38、vo(t)看作是輸入、輸出隨機過程的看作是輸入、輸出隨機過程的一個樣本，輸入過程一個樣本，輸入過程i(t)的每個樣本與輸出過程的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。這樣，的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。這樣，就整個過程而言，便有就整個過程而言，便有 假定輸入假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機過程，現(xiàn)在來分析系是平穩(wěn)隨機過程，現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性。的統(tǒng)計特性。 先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)及功先確定輸出過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。dtvhtvi)()()(

39、0dthti)()()(051dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatEdhH)()0(輸出過程輸出過程 o(t)的均值的均值 (數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E 0(t)設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有，則有 H(0)是系統(tǒng)在是系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)處的頻率響應(yīng)(直流增益直流增益)。說明：輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)說明：輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與學(xué)期望與H(0)相乘，并且相乘，并且E 0(t)與與t無關(guān)。無關(guān)。52)()(),(1010110ttEttR)()()()(),(0110

40、RddRhhttRi 輸出過程輸出過程 o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)R0(t1, t1+ )根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義 由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。程也是平穩(wěn)的?？傻贸觯嚎傻贸觯航Y(jié)論結(jié)論：自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔：自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔 ，而與時間起，而與時間起點點t1無關(guān)。故輸出過程也是寬平穩(wěn)的隨機過程。無關(guān)。故輸出過程也是寬平穩(wěn)的隨機過程。53)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii輸出過程輸出過程 o(t

41、)的功率譜密度的功率譜密度經(jīng)過推導(dǎo)可得經(jīng)過推導(dǎo)可得結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。 這是十分有用的一個重要公式。這是十分有用的一個重要公式。 當我們想得當我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro()時，比較簡單的時，比較簡單的方法是先計算出功率譜密度方法是先計算出功率譜密度Po()，然后求其，然后求其反變換，這比直接計算反變換，這比直接計算R0()要簡便得多。要簡便得多。54輸出過程輸出過程 o o( (t t) )的概率分布的概率分布l如果線性系統(tǒng)的輸入過程

42、是高斯型的，則系如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。改變了。l高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程553.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程窄帶信號窄帶信號：是指頻譜只限于以是指頻譜只限于以 fC為中心頻為中心頻率而帶寬為率而帶寬為 f， f fC的信號，更確切地的信號，更確切地應(yīng)該稱之為高頻窄帶信號。應(yīng)該稱之為高頻窄帶信號。56窄帶隨機過程窄帶隨機過程： 如果信號或噪聲滿足窄帶條件，且是一個如果信號或噪聲滿足窄帶

43、條件，且是一個隨機過程，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。隨機過程，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。 如果噪聲的瞬時取值服從高斯分布，則稱如果噪聲的瞬時取值服從高斯分布，則稱它為窄帶高斯噪聲。在不特別聲明情況下，它為窄帶高斯噪聲。在不特別聲明情況下，我們僅僅討論我們僅僅討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程。57窄帶隨機過程的表示式窄帶隨機過程的表示式式中，式中，a (t) 隨機包絡(luò)，隨機包絡(luò)， (t) 隨機相位隨機相位 c 中心角頻率中心角頻率顯然，顯然， a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc

44、58窄帶隨機過程表示式展開窄帶隨機過程表示式展開 式中式中 (t)的的 同相分量同相分量 (t)的的 正交分量正交分量0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats 可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計特性由的統(tǒng)計特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，若的統(tǒng)計特性確定。反之，若 (t)的統(tǒng)的統(tǒng)計特性已知，則計特性已知，則a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計的統(tǒng)計特性也隨之確定。特性也隨之確定。 59關(guān)于窄帶隨機過程有兩個重要結(jié)論關(guān)于窄帶隨機過程

45、有兩個重要結(jié)論結(jié)論之一結(jié)論之一：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯隨：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程，它的同相分量機過程，它的同相分量 C(t)和正交分量和正交分量 S(t)同同樣是平穩(wěn)高斯隨機過程，而且均值都為零，方樣是平穩(wěn)高斯隨機過程，而且均值都為零，方差也相同，且等于差也相同，且等于 (t)的方差。另外，在同一時的方差。另外，在同一時刻上得到的刻上得到的 C、 S是不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。是不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。0)()()(tEtEtEsc222sc0)0()0(scscRR60結(jié)論之二結(jié)論之二： 一個均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶一個均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶過程，其包絡(luò)過程，其包絡(luò) 的一維分布是瑞利

46、分布，的一維分布是瑞利分布，相位相位 的一維分布是均勻分布，并且就一的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡(luò)與相位是統(tǒng)計獨立的。維分布而言，包絡(luò)與相位是統(tǒng)計獨立的。1()022f222(,)exp22aaf a222()exp,02aaf aa)(t)(t613.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪的噪聲。帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。聲的混合波形。 最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲

47、的合成最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性。計特性。 62式中式中為窄帶高斯過程，其均值為零。為窄帶高斯過程，其均值為零。ttnttntncsccsin)(cos)()()()cos()(tntAtrcttnttntAcscccsin)(cos)()cos(設(shè)合成信號為設(shè)合成信號為( )cos()( )cos() ( )cos()( )sin()ccccr tAtn tAtx tty ttttnAttnAcsccsin)(sincos)(

48、cos(3.6 - 1)(tzc)(tzs63arctan02sczz相位隨機變量為相位隨機變量為信號信號r(t)的包絡(luò)為的包絡(luò)為推導(dǎo)可得包絡(luò)概率密度函數(shù)為推導(dǎo)可得包絡(luò)概率密度函數(shù)為稱為稱為廣義瑞利分布廣義瑞利分布也稱萊斯也稱萊斯(Rice)密度函數(shù)。密度函數(shù)。2202221( )exp() ()02zAzf zzAIz（3.6-8）)()()(22tztztzsc64 （1） 當信號很小，當信號很小，A0，即信號功率與噪，即信號功率與噪聲功率之比聲功率之比 =r0時，這時合成波時，這時合成波r(t)中只中只存在窄帶高斯噪聲，式（存在窄帶高斯噪聲，式（3.6-8）近似為式）近似為式（3.5-2

49、0），即由萊斯分布退化為瑞利分布。），即由萊斯分布退化為瑞利分布。222nA2202221( )exp() ()02zAzf zzAIz（3.6-8）( )cos()( )cos() ( )cos()( )sin()ccccr tAtn tAtx tty tt65（2）當信噪比）當信噪比r很大時，有很大時，有I0(x) ，這時在，這時在zA附近，附近， f(z)近似于高斯分布，即近似于高斯分布，即 即：信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有即：信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信噪比時，它接近于瑞利分布；大信噪關(guān)。小信噪比時，它接近于瑞利分布；大信噪比時，它接近于高斯分布；在一般情況下它是比時，它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。圖萊斯分布。圖 3-5(a)給出了不同的給出了不同的r值時值時f(z)的的曲線。曲線。xex2222)(exp(21)(nAzxzf2202221( )exp() ()02zAzf zzAIz（3.6-8）66圖圖 3-5 正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a) 0r 0f ( )(b)0r 1r 1673.7 高斯白噪聲