復(fù)變函數(shù)西安交大版

1、 一一 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 二二 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 三三 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)一一復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義:, , , )( 00的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DzzDzDzfw , )( . )( 00的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在在這個極限值稱為這個極限值稱為可導(dǎo)可導(dǎo)在在那末就稱那末就稱zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記作記作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 在定義中注意在定義中注意:.)0(00的的方方式式是是任任

2、意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趨于同一個數(shù)都趨于同一個數(shù)比值比值時時內(nèi)以任意方式趨于內(nèi)以任意方式趨于在區(qū)域在區(qū)域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可導(dǎo)可導(dǎo)在區(qū)域內(nèi)在區(qū)域內(nèi)就稱就稱我們我們內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf.)(2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(limzzzz2)2(lim0zz2)(2 例例1 例例2 .Im)(的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性討論討論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時時而而使使向向當(dāng)當(dāng)點

3、點沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(時時而而使使向向當(dāng)當(dāng)點點沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極限值不同極限值不同時時當(dāng)點沿不同的方向使當(dāng)點沿不同的方向使 z.Im)(在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)故故zzf 2.可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù): 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導(dǎo)則在處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo).證證

4、, 0可導(dǎo)的定義可導(dǎo)的定義根據(jù)在根據(jù)在 z, 0, 0 , |0 時時使得當(dāng)使得當(dāng) z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續(xù)連續(xù)在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf 例例3 是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？問yixzf2)(解解由上章知識易知，由上章知識易知，f(z)是連續(xù)的是連續(xù)的.zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 xyo

5、z0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以所以.2)(yixzf ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zxzz 因此，連續(xù)不一定可導(dǎo)因此，連續(xù)不一定可導(dǎo).3.求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則: 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實變函由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復(fù)變函并且復(fù)變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, 因而

6、因而實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來到復(fù)變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則: . , 0)()1(為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)

7、函數(shù)兩個互為反函數(shù)的單值兩個互為反函數(shù)的單值是是與與其中其中4.微分的概念微分的概念: 復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致函數(shù)的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數(shù)是函數(shù)小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導(dǎo)可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數(shù)稱為函數(shù)定義定義. )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱

8、函數(shù)的微分存在的微分存在如果函數(shù)在如果函數(shù)在zzfz特別地特別地, , )( 時時當(dāng)當(dāng)zzf zwdd zzf )(0,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf二二 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念1. 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義. )( , )(000解析解析在在那末稱那末稱導(dǎo)導(dǎo)的鄰域內(nèi)處處可的鄰域內(nèi)處處可及及在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzfzzzf).( )( .)( ,)(全純函數(shù)或正則函數(shù)全

9、純函數(shù)或正則函數(shù)個解析函數(shù)個解析函數(shù)內(nèi)的一內(nèi)的一區(qū)域區(qū)域是是或稱或稱內(nèi)解析內(nèi)解析區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)每一點解析內(nèi)每一點解析區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzfDzf2.2.奇點的定義奇點的定義.)( , )(00的奇點的奇點為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數(shù)如果函數(shù)zfzzzf根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知:函數(shù)在函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析區(qū)域內(nèi)解析與在與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是是等價等價的的.但是但是,函數(shù)在函數(shù)在一點處解析一點處解析與在與在一點處可導(dǎo)一點處可導(dǎo)是是不等不等價價的概念的概念. 即即函數(shù)在一點處可導(dǎo)函數(shù)在一點處可導(dǎo), 不一定在該點不一定在該點處解析，若在一點解析則在這點一定可導(dǎo)處解

10、析，若在一點解析則在這點一定可導(dǎo).函數(shù)在一點處解析比在該點處可導(dǎo)的要求要高函數(shù)在一點處解析比在該點處可導(dǎo)的要求要高得多得多.)( 2)(,)( 22的解析性的解析性和和研究函數(shù)研究函數(shù)zzhyixzgzzf 解解由本節(jié)例由本節(jié)例1和例和例3知知: ; )( 2在復(fù)平面內(nèi)是解析的在復(fù)平面內(nèi)是解析的zzf ; 2)(處處不解析處處不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面討論下面討論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020例例4 zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , 0 趨于沿直線令kx

11、yz zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在復(fù)平面內(nèi)處處不解它在復(fù)平面內(nèi)處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義不可導(dǎo)不可導(dǎo)而在其他點都而在其他點都處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在因此因此 zzzh例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 解解 , 0 1 處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)除在復(fù)平面內(nèi)除因為因為 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外處處解析外處處解析在復(fù)平面內(nèi)除在復(fù)平面內(nèi)除所以所以 zw . 0 為它的奇點為它的

12、奇點 z例例6.)Re()( 的可導(dǎo)性與解析性的可導(dǎo)性與解析性研究函數(shù)研究函數(shù)zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因為因為,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在復(fù)平面內(nèi)處

13、處不解它在復(fù)平面內(nèi)處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義可導(dǎo)可導(dǎo)而在其他點都不而在其他點都不處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在因此因此 zzf , )( , 0 不可導(dǎo)不可導(dǎo)時時即當(dāng)即當(dāng)zfz 定理定理 . )( )( )( )1(內(nèi)解析內(nèi)解析在在除去分母為零的點除去分母為零的點和、差、積、商和、差、積、商的的與與內(nèi)解析的兩個函數(shù)內(nèi)解析的兩個函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(內(nèi)解析內(nèi)解析在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)于于都屬都屬的對應(yīng)值的對應(yīng)值函數(shù)函數(shù)內(nèi)的每一個點內(nèi)的每一個點對對如果如果內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在函數(shù)函數(shù)內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在設(shè)函數(shù)

14、設(shè)函數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 利用求導(dǎo)法則易得下面解析函數(shù)的性質(zhì)利用求導(dǎo)法則易得下面解析函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知:(1) 所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區(qū)域內(nèi)是解析零的點的區(qū)域內(nèi)是解析在不含分母為在不含分母為任何一個有理分式函數(shù)任何一個有理分式函數(shù)zQzP三三 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念概念; 掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系: 解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一

15、定解析；解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析； 區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價. 重點掌握解析函數(shù)的概念重點掌握解析函數(shù)的概念; 掌握可導(dǎo)、解掌握可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系；會利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則以析之間的關(guān)系；會利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則以及可導(dǎo)解析之間的關(guān)系判斷函數(shù)解析性的方法及可導(dǎo)解析之間的關(guān)系判斷函數(shù)解析性的方法. 一一 二二 典型例題典型例題 三三 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定義域義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù) u (x ,

16、y) 及及 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求的可導(dǎo)性，探求函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)公式一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)公式.問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？一一 主要定理主要定理yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(

17、),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的方式若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡稱簡稱C-R方程方程).yuxvy

18、vxu 定理定理1 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 則則 f (z)在點在點 z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是u(x, y) 和和 v(x, y) 在點在點 (x, y ) 可微，且滿足可微，且滿足Cauchy-Riemann方程：方程：yuxvyvxu 上述條件滿足時上述條件滿足時,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 證明證明（由由f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 )

19、( )()()(zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx,0lim2100zyxyx0lim

20、1200zyxyx所以所以u(x, y)，v(x, y)在點在點(x, y)處可微處可微. （由函數(shù)（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點在點(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點在點z=x+iy處可導(dǎo)）處可導(dǎo)）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)點可微，即：點可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxv

21、ixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixvixuzzfzzf)()()()(4231 : ),(),()( 導(dǎo)數(shù)公式且給出了如下處可導(dǎo)的判定條件，而點在定理一不但給出了函數(shù)yixzyxivyxuzf.1)(yvyuixvixuzf 使用時注意使用時注意: i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗證驗證C-R條件條件.iii) 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式：yvyuixvixuzf 1)( 定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充內(nèi)解析充要要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在

22、D內(nèi)內(nèi)可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程：方程：yuxvyvxu 由區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價，可得如下定理由區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價，可得如下定理. .解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法: :. )( , )( )1(內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的在在解析函數(shù)的定義斷定解析函數(shù)的定義斷定則可根據(jù)則可根據(jù)內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域數(shù)數(shù)導(dǎo)法則證實復(fù)變函導(dǎo)法則證實復(fù)變函如果能用求導(dǎo)公式與求如果能用求導(dǎo)公式與求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在的充要條件可以斷定的充要條件可以斷定那么根據(jù)解析函數(shù)那么根據(jù)解析函數(shù)方程方程并滿足并

23、滿足可微可微因而因而、連續(xù)、連續(xù)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在內(nèi)內(nèi)在在中中如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù)DzfyxvuDvuivuzf 二二 典型例題典型例題例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析在何處解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx ,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程, . ,處處不解析處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)故故zw )sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyey

24、uyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四個偏導(dǎo)數(shù)四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)均連續(xù) . ,)(處處解析處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx且指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當(dāng)僅當(dāng) yx ,0 )Re(處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzzw .在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析例例2 . 2在復(fù)平面上不解析證明zw 證證,2222xyiyx

25、zw,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當(dāng)僅當(dāng) x ,0 2上可導(dǎo)上可導(dǎo)僅在直線僅在直線故函數(shù)故函數(shù) xzw .在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)不不解解析析解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在復(fù)平面內(nèi)處處在復(fù)平面內(nèi)處處取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù)設(shè)設(shè)zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求例例3 3. 0

26、0 )( 不可導(dǎo)不可導(dǎo)西黎曼方程但在點西黎曼方程但在點滿足柯滿足柯在點在點證明函數(shù)證明函數(shù) zzxyzf證證, )( xyzf 因為因為0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z例例4 4 , 趨于零時趨于零時沿第一象限內(nèi)的射線沿第一象限內(nèi)的射線但當(dāng)?shù)?dāng)kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 變化變化隨隨 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfz

27、fz . 0 )( 不可導(dǎo)不可導(dǎo)在點在點函數(shù)函數(shù) zxyzf解解. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析內(nèi)解內(nèi)解在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè) ) 1 ( ,2yuuyvxu)2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入將將, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由例例5 5, 0 (2) yu得得由由 ),( 常數(shù)常數(shù)所以所以cu ).( )( 2常數(shù)常數(shù)于是于是icczf 例例6. )( , )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)區(qū)域區(qū)域在在則則內(nèi)處處為零內(nèi)處處為零在區(qū)域在區(qū)域如果如果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xv

28、yuyvxu故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121為常數(shù)為常數(shù)其中其中必相互正交必相互正交與與那末曲線族那末曲線族且且為一解析函數(shù)為一解析函數(shù)設(shè)設(shè)cccyxvcyxuzfivuzf 證證 )( zf因為因為 , 不全為零不全為零與與所以所以yuyv , 都不為零都不為零與與如果在曲線的交點處如果在曲線的交點處yuyv 根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,例例7 7, 01 yuiyv線的斜率分別為線的斜率分別為中任一條曲中任一條曲與與曲線族曲線族 ),( ),( 21cyx

29、vcyxu 根據(jù)柯西黎曼方程得根據(jù)柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交與與故曲線族故曲線族cyxvcyxu . , , , , 它們?nèi)匀幌嗷フ凰鼈內(nèi)匀幌嗷フ灰粭l是鉛直的一條是鉛直的另另的切線一條是水平的的切線一條是水平的兩族中的曲線在交點處兩族中的曲線在交點處則另一個必不為零則另一個必不為零中有一個為零中有一個為零和和如果如果yyvu三三 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 在本課中我們得到了一個重要結(jié)論在本課中我們得到了一個重要結(jié)論函數(shù)函數(shù)解析的充要條件解析的充要條件:黎曼方程黎曼方程并且滿足柯西并且滿足柯西內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與 , )

30、,( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能靈活應(yīng)用柯西掌握并能靈活應(yīng)用柯西黎曼方程黎曼方程.掌握判斷函數(shù)解析性的方法掌握判斷函數(shù)解析性的方法.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料柯西資料 Riemann黎曼資料黎曼資料Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy 一一

31、 二二 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 三三 乘冪與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù) 四四 三角函數(shù)三角函數(shù) 五五 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 六六 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 本節(jié)將實變函數(shù)中的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。一一 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對對1.1.指數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)定義 . exp 來表示來表示可以用可以用指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zez)sin(cosyiyeexz 說明說明（1）當(dāng)）當(dāng)y=0時，時， 所以復(fù)指數(shù)函數(shù)是實所以復(fù)

32、指數(shù)函數(shù)是實指數(shù)函數(shù)的推廣；指數(shù)函數(shù)的推廣；（2）當(dāng)）當(dāng)x=0時，時， 即為歐拉公式即為歐拉公式.xzee yiyezsincos2.2.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0expzz對)0exp,( xez事實上事實上（1）無零點性）無零點性.exp)(expexp)( )2(zzzzf且在復(fù)平面上處處解析，解析性（3） 可加性可加性)exp(expexp2121zzzz 2121zzzzeee（4） 周期性周期性,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所沒有的所沒有的該性

33、質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)該性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)xe（5） 無極限性無極限性 不存在（因沿實軸正向、負(fù)向極限不同）不存在（因沿實軸正向、負(fù)向極限不同）zzelim ie 141求求例例11 ze解方程解方程例例2 ie 12241, 2, 1, 02 kikz例例3 求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:.)2(;) 1 (322iiee二二 1.1.對數(shù)的定義對數(shù)的定義定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew記作稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)把滿足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(

34、ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或 .2 , )( , Arg的整數(shù)倍的整數(shù)倍并且每兩值相差并且每兩值相差也是多值函數(shù)也是多值函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)為多值函數(shù)由于由于izfwz ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果將如果將 .arglnlnzizz ), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一個分支的一個分支稱為稱為上式確定一個單值函數(shù)上式確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zk.,lnln Ln , 0 是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的主值的主值時時

35、當(dāng)當(dāng)xzzxz .(負(fù)數(shù)也有對數(shù)).(負(fù)數(shù)也有對數(shù)), ,LnzLnz1)1)復(fù)數(shù)都有意義復(fù)數(shù)都有意義對一切非零對一切非零不僅對正數(shù)有意義不僅對正數(shù)有意義 w.,這與實函數(shù)不同這與實函數(shù)不同多值性多值性了對數(shù)函數(shù)的了對數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)2)2. 2. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明說明21212121,)() 1 (LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn連續(xù)性)2(,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點點外外在在其其它它點點均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點點與與負(fù)負(fù)實實軸軸上上都都不不而而z.ln,在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處

36、處處連連續(xù)續(xù)除除原原點點及及負(fù)負(fù)實實軸軸外外z處連續(xù)。在除原點和負(fù)實軸外處zln解析性)3(.ln平面內(nèi)解析在除去原點與負(fù)實軸的z0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點點及及負(fù)負(fù)實實軸軸外外是是解解z zLnzLnz1)( 且且負(fù)負(fù)實實軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個個分分支支除除了了原原點點和和例例4 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 例例5. 031 iez解方程解方程三三 1. 乘冪的定義乘冪的定義, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪.,0,為

37、為實實數(shù)數(shù)實實變變數(shù)數(shù)情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值一般為多一般為多值值)2(ln kiabbLnabeea ababebkibkelnln)2sin2(coskbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln為為整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) b.,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時時b)0,( qqpqpb且且為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有一一般般而而論論ba,.無窮多支無窮多支A (1)當(dāng)當(dāng)b=n(正整數(shù)正整數(shù))時時LnaLn

38、aLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 個個naaaa 乘冪乘冪ab與與a 的的n次冪意義一致。次冪意義一致。 (2)當(dāng)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù)正整數(shù))時時nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12 , 1 , 0( nkna 乘冪乘冪ab與與a 的的n次根意義一致。次根意義一致。2. 冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的定義稱稱為為冪冪函函數(shù)數(shù)。得得為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)中中，取取在在乘乘冪冪,bbzwza 定義定義當(dāng)當(dāng)b = n (正整數(shù)正整數(shù))w=z n 在整個復(fù)平面上是單值解析函數(shù)在整個復(fù)平面上是單

39、值解析函數(shù)為正整數(shù)）為正整數(shù)）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12 , 1 , 0( nknz bzw ,一一般般而而論論 除去除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，無窮多值。為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，無窮多值。 ,解析除原點與負(fù)實軸外處處的解析性由于Lnz)()( ,1單值分支且解析除原點與負(fù)實軸外處處故bbbbzzzw3. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復(fù)平面內(nèi)是單值解析在復(fù)平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz

40、. , )2(1個分支個分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn它的它的 各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, ,) 1 ( (3)也是一個多值函數(shù)也是一個多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb ., 是無窮多值的為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時當(dāng)b.)(1 bbbzz.1322的的值值和和、求求iii例例6ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k)22sin(22cos( kik )2,1,0( k解解例例7 7 . )(1 的輻角主值與主值求ii解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek).2ln21sin2l