二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、7二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用【經(jīng)典母題】某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為 9元，經(jīng)市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)在10元到 14元之間（含10元，14元）浮動(dòng)時(shí)，每瓶售價(jià)每增加0.5元，日均銷量減少40 瓶；當(dāng)售價(jià)為每瓶12元時(shí)，日均銷量為400瓶.問銷售價(jià)格定為每瓶多少元 時(shí)，所得日均毛利潤（每瓶毛利潤=每瓶售價(jià)-每瓶進(jìn)價(jià)）最大？最大日均毛利 潤為多少元？解：設(shè)售價(jià)為每瓶x元時(shí)，日均毛利潤為y元，由題意，得日均銷售量為40040（x12）65 = 1 360 80x,y=（x9）（1 360- 80x）=80x2+2 080x-12 240（1g x< 14）._2 080= 132a 2X （

2、80）'v10<13< 14, .當(dāng) x=13 時(shí),y 取最大值,y 最大=80X 132+2 080X 13-12 240=1 280（元）.答：售價(jià)定為每瓶13元時(shí)，所得日均毛利潤最大，最大日均毛利潤為1 280元.【思想方法】 本題是一道復(fù)雜的市場營銷問題，在建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，在這個(gè)取值范圍內(nèi),需了解函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值,變化情況，對稱性，特殊點(diǎn)等）和圖象，然后依據(jù)這些性質(zhì)作出結(jié)論.【中考變形】1. 2017錦州某商店購進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為20元/件的日用商品，第一個(gè)月，按進(jìn)價(jià) 提高50%的價(jià)格出售，售出400件，第二個(gè)月，商店準(zhǔn)備在不低于原售價(jià)的基

3、礎(chǔ)上進(jìn)行加價(jià)銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會導(dǎo)致銷售量的減少.銷t>（n）400300圖 Z8-1售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系如圖Z8-1所示.圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是 當(dāng)售價(jià)定為35元 /件時(shí)、銷售量為300件;銷售單價(jià)每提高1元時(shí), 銷售量相應(yīng)減少_20件；（2）請直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式：_y= 20x+ 1 000 ;自變量x的取值范圍為 30& x&50 ;（3）第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是：當(dāng)售價(jià)定為35元/件時(shí)，銷售量為300 件；第一個(gè)月的該商品的售價(jià)為20X（1+

4、50%） = 30（元），銷售單價(jià)每提高1元時(shí)， 銷售量相應(yīng)減少數(shù)量為（400 300）中35 30） = 20（件）.解得,'k= 20,、b= 1 000,（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 y= kx+ b,將點(diǎn)（30, 400）, （35, 300）代入，400=30k+ b, 得、300=35k+ b,；y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y= - 20x+ 1 000.當(dāng) y= 0 時(shí)，x=50,自變量x的取值范圍為30<x< 50.（3）設(shè)第二個(gè)月的利潤為W元，由已知得 W= （x 20）y=（x 20）（ 20x+1 000）= 20x2+ 1 400x- 20 000=

5、 20（x35）2+4 500,v-20<0, .當(dāng) x=35 時(shí),W取最大值 4 500.答：第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為35元時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤是 4 500 元.2. 2016寧波一模大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，集資5萬元開品牌專賣店，已知該品牌商 品成本為每件a元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間存在 一次函數(shù)關(guān)系，如下表所示：銷售價(jià)x（元/件）110115120125130銷售量y（件）5045403530若該店某天的銷售價(jià)定為110元/件，雇有3名員工，則當(dāng)天正好收支平衡（即 支出=商品成本+員工工資+應(yīng)支付的其他費(fèi)用 ）.已知員工的工資為每人每 天100元，每天

6、還應(yīng)支付其他費(fèi)用200元（不包括集資款）.求日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該店現(xiàn)有2名員工，試求每件服裝的銷售價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店每天 的毛利潤最大（毛利潤=銷售收入一商品成本一員工工資一應(yīng)支付的其他費(fèi)用)；(3)在(2)的條件下，若每天毛利潤全部積累用于一次性還款，而集資款每天應(yīng)按其萬分之二的利率支付利息，則該店最少需要多少大(取整數(shù))才能還清集資 款？解：(1)由表可知，y是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+ b,將 x= 110, y= 50; x=115, y=45 分另1J代入，解得、b= 160f110k+ b=50, 得k115k+ b=45, .y

7、= x+ 160(0< x< 160);(2)由已知可得 50X110= 50a+3X 100+ 200,解得a= 100.設(shè)每天的毛利潤為 W元，則 W= (x-100)(-x+ 160)-2X 100-2002=x2 + 260x16 400=(x130)2 + 500,當(dāng)x=130時(shí)，W取最大值500.答：每件服裝的銷售價(jià)定為130元時(shí)，該服裝店每天的毛利潤最大，最大毛禾I潤為500元；(3)設(shè)需t天才能還清集資款，則 500t>50 000+ 0.000 2X 50 000t,解得 t>102-2. 49.t為整數(shù)，t的最小值為103天.答：該店最少需要103天

8、才能還清集資款.3. 2017青島青島市某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每間淡季旺季未入住房間數(shù)100日總收入(元)24 00040 000價(jià)格比淡季上漲1.下表是去年該酒店豪華問某兩天的相關(guān)記錄：31(1)該酒店豪華間有多少問？旺季每間價(jià)格為多少元？(2)今年旺季來臨，豪華間的問數(shù)不變，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)行去年旺季的價(jià)格，那么每天都客滿；如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元, 每天未入住房間數(shù)增加1間.不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價(jià)格上漲(注：上漲價(jià)格多少元時(shí)，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元?需為25的倍數(shù))解：(1)設(shè)淡季每間的價(jià)格為x元，依題意得

9、40000x1 + 324 000x+ 10,解得x = 600,酒店豪華間有40 00040 000600X 1+3）50（間）,旺季每間價(jià)格為x+ 1x= 600+1X 600= 800（元）. 33答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價(jià)格為800元;(2)設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲x元，日總收入為y元，y = (800+ x) ,0 25 )= 25(x 225)2 + 42 025,當(dāng)x = 225時(shí)，y取最大值42 025.答：該酒店將豪華間的價(jià)格上漲 225元時(shí)，豪華間的日總收入最高，最高日 總收入是42 025元.4.某公司經(jīng)營楊梅業(yè)務(wù)，以3萬元/t的價(jià)格向農(nóng)戶收購楊梅后，分揀成 A

10、, B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售，B類楊梅深加工再銷售. A類楊梅的包裝成本為1萬元/t,根據(jù)市場調(diào)查，它的平均銷售價(jià)格y(萬元/t)與銷售數(shù)量x(x>2)(t) 之間的函數(shù)關(guān)系式如圖Z82, B類楊梅深加工總費(fèi)用s(單位：萬元)與加工數(shù)量t(單位：t)之間的函數(shù)關(guān)系是s= 12 +3t,平均銷售價(jià)格為9萬元/t.(1)直接寫出A類楊梅平均銷售價(jià)格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)第一次該公司收購了 20 t楊梅，其中A類楊梅x t,經(jīng)營這批楊梅所獲得的 毛利潤為W萬元(毛利潤=銷售總收入一經(jīng)營總成本).求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若該公司獲得了 30萬元毛利潤，問：用于直接銷售的A類楊

11、梅有多少噸？ (3)第二次該公司準(zhǔn)備投人132萬元資金，請?jiān)O(shè)計(jì)一種經(jīng)營方案，使公司獲得 最大毛利潤，并求出最大毛利潤.解：(1)y=x+ 14 (2<x<8), £ (x>8);(2)二銷售A類楊梅x t,則銷售B類楊梅(20 x)t.當(dāng)20x<8時(shí)，W= x(-x+ 14) + 9(20x) 3X 20x 12 + 3(20 x) = x2 + 7x + 48, 當(dāng) x>8 時(shí)，W= 6x+9(20-x)-3X20-x- 12+3(20 x) = x + 48,函數(shù)表達(dá)式為W='x2 + 7x+ 48 (2<x<8), x+ 48

12、(x>8);當(dāng) 20x<8 時(shí)，一x2+7x+ 48=30,解得 x1=9, x2= 2,均不合題意, 當(dāng) x>8 時(shí)，x+48 = 30,解得 x= 18.答：當(dāng)毛利潤達(dá)到30萬元時(shí)，直接銷售的A類楊梅有18 t;設(shè)該公司用132萬元共購買m t楊梅，其中A類楊梅為x t, B類楊梅為(m x)t,購買費(fèi)用為3m萬元.由題意，得 3m+x+ 12+3(mx) = 132,化簡，得3m=x+ 60.當(dāng) 20x<8 時(shí)，W= x(-x+14) + 9(m-x)-132,把 3m=x+ 60 代入，得W= (x 4)2 + 64,當(dāng)x= 4時(shí)，有最大毛利潤64萬元.此時(shí)，m

13、=64 mx=5；當(dāng) x>8 時(shí)，W= 6x+9(m-x)-132,由 3m=x+60,得 W= 48,當(dāng) x>8 時(shí), 毛利潤總為48萬元.答：綜上所述，購買楊梅共64 t,且其中直銷A類楊梅4 t, B類楊梅52 t公司能獲得最大毛利潤64萬元.【中考預(yù)測】某襯衣店將進(jìn)價(jià)為 30 元的一種襯衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，調(diào)查表明：這種襯衣售價(jià)每上漲1 元，其銷售量將減少10 件(1)寫出月銷售利潤y(元)與售價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售價(jià)定為45元時(shí)，計(jì)算月銷售量和銷售利潤；(3)襯衣店想在月銷售量不少于300件的情況下， 使月銷售利潤達(dá)到 10 000元，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？(4)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)會獲得最大利潤？求出最大利潤解：(1)由題意可得月銷售利潤y 與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(x30)600 10(x 40) = 10x2+ 1 300x 30 000;(2)當(dāng) x=45 時(shí)，60010(x 40) = 550(件)，y = 10 X 452 + 1 300X 45-30 000= 8 250(元)；(3)令y=10 000,代入(1