青海大學(xué)3_4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 13.43.4函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性與曲線的凹凸性一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法二、二、 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點Page 2一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若若定理定理 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則則 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減遞減) .證證: 無妨設(shè)無妨設(shè),0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故故. )()

2、(21xfxf這說明這說明 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),證畢證畢Page 3例例1. 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為).2,1 (12xoy12Page 4yxo說明說明: 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.

3、 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy Page 5例例2. 證明證明20 x時時, 成立不等式成立不等式.2sinxx證證: 令令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而從而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此因此且且證證Page 6

4、* 證明證明0tanxx令令,tan)(xxx則則xx2sec1)(x2tan),0(,02x2( )( ,),0 x 在在上上遞遞減減從而從而( )( )00 x即即2tan0,(0,)xxx Page 7AB定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,12,xxI(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是向上圖形是向上凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為稱為拐點拐點 .圖形是向上圖形是向上凸凸的的 .yox2x1x

5、221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點Page 8定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是凹的內(nèi)圖形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是凸的內(nèi)圖形是凸的 .)(xf證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得利用一階泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 兩式相加兩式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22

6、!21)(12xx )()(21ff ,0)(時當(dāng) xf),(2)()(21fxfxf221xx 說明說明 (1) 成立成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)上有二階導(dǎo)數(shù)證畢證畢Page 9例例3. 判斷曲線判斷曲線4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 時，當(dāng)0 x;0 y,0時x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.說明說明:1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得可得拐點的判別法拐點的判別法如下如下:若曲線若曲線)(xfy

7、 ,0連續(xù)在點x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 兩側(cè)兩側(cè)異號異號,0 x則點則點)(,(00 xfx是曲線是曲線)(xfy 的一個拐點的一個拐點.則曲線的凹凸性不變則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,xyoPage 10例例4. 求曲線求曲線3xy 的拐點的拐點. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點的拐點 .oxy凹凹凸凸Page 11xxy24362 )(3632xx例例5. 求曲線求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點的凹凸區(qū)間及拐點.解解

8、:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標(biāo)求拐點可疑點坐標(biāo)令令0 y得得,03221xx對應(yīng)對應(yīng)3) 列表判別列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在故該曲線在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 點點 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點均為拐點.上在),0(32凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132Page 12內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞

9、減2.曲線凹凸與拐點的判別曲線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點Page 13思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上上,0)( xf則則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小順序是的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加

10、 ,) 10()()0() 1 (fff及及B1. 設(shè)在設(shè)在Page 14 .),(21)1,(2121e2. 曲線曲線21xey的凹區(qū)間是的凹區(qū)間是凸區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為拐點為提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121 e ; ;Page 15112xxy有位于一直線的三個拐點有位于一直線的三個拐點.3. 求證曲線求證曲線 證明：證明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2Page 16令令0 y得得,11x, )1,1(從而三個拐點為（自行判斷）從而三個拐點為（自行判斷）因為因為32所以三個拐點共線所以三個拐點共線.323x,322x, )34831,