單變量平穩(wěn)時間序列模型課件

1、 1、ARMA模型有何價值？2、什么是ARMA模型？3、如何確定ARMA(p,q)中的p和q？4、如何估計ARMA(p,q)中的參數(shù)？5、如何檢驗ARMA模型？6、如何利用ARMA模型進行預測？一：ARMA模型的概述 六大問題一：ARMA模型的概述1、ARMA模型有何價值？時間序列分析即尋找時間序列 的規(guī)律，對于給定的時間序列 ，有2種方法對其進行解釋或預測： tXtX利用外部影響因素的時間序列與本時間序列的關系進行解釋或預測，典型的方法如回歸模型。例如，預測零配件的月銷售量，可以利用汽車月度產(chǎn)量等外部影響建立回歸方程，進行預測。缺點：上述因素的數(shù)據(jù)必須具有可獲得性，但是影響因素的數(shù)據(jù)并不是總

2、是可獲得，如政策、消費者偏好等因素就難以獲得，這時就不適合采用外部影響因素法。1、外部影響因素法一：ARMA模型的概述上述方法中存在外部影響因素數(shù)據(jù)不可獲得的特點，時間序列方法則規(guī)避了此類缺點。時間序列法，通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關于過去行為的有關結論，進而對時間序列未來進行判斷。時間序列方法有很多，如傳統(tǒng)時間序列方法傳統(tǒng)時間序列方法（時間序列分解、指數(shù)平滑等）、隨機時間序隨機時間序列列（ARMA/AR/MA等）、其他方法其他方法（ARCH、動態(tài)時間序列法等）2、什么是ARMA模型？一些知識點的介紹即進行時間序列分析前，必須判斷其是否平穩(wěn)，否則，時間序列分析中的t、F等檢驗都是不可信的。1

3、、時間序列的平穩(wěn)性（任何時間序列分析都必須滿足的前提）2、時間序列方法一：ARMA模型的概述 滿足如下條件： 則時間序列 平穩(wěn) tXtX)(tXE2)(tXVarkkttXXCov),(例一(平穩(wěn))tX0)(tXE2)(tXVar0),(kttXXCov滿足如下條件),0(2NttXt稱為白噪聲t一：ARMA模型的概述例二（非平穩(wěn)）tX滿足如下條件稱為隨機游走序列tttXX1tXttXXXXXXX2102102121012)(tXVart1tttXXX作差分后平穩(wěn)ttX一：ARMA模型的概述滯后算子公式：Ln xt = xt- n 2、滯后算子3、自相關函數(shù))(tXE2)(tXVar對于 有自

4、協(xié)方差函數(shù)定義k = Cov (Xt, X t - k ) = E(Xt - ) (Xt - k - ) 其中，k=0時，0 =Var（ ）=2tXtX一：ARMA模型的概述自相關函數(shù)定義k = )()(),(kttxVarxarVkttxxCov = 2k0k = 其中，k=0時，0 =14、偏自相關函數(shù)自相關函數(shù)ACF(k)給出了 與 的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系，例如 與 間有相關性可能主要是由于它們各自與 間的相關性帶來的，這時需要用PACF（k）進行判斷 與 間的偏自相關函數(shù)偏自相關函數(shù)（partial autocorrelation，PACF）則是消

5、除了中間變量 ， 帶來的間接相關后的直接相關性tX2tX1tXtXktX1tX1ktXtXtX一：ARMA模型的概述 ARMA模型的介紹1、移動平均MA（q）模型 一般地， 滿足稱為q階移動平均過程MA(q)tqtqttt11t 為白噪聲， 為移動平均系數(shù)q移動平均過程是無條件平穩(wěn)的（有嚴格的數(shù)學證明）一：ARMA模型的概述 2、自回歸過程AR（p）模型 一般地， 滿足稱為p階移動平均過程AR(p)t如果 = ，為白噪聲， 為自回歸系數(shù)p移動自回歸過程平穩(wěn)的條件tXtptptttXXXX2211t1ttXLX22ttXXLpttpXXL 滯后算子： ttppXLLL)1 (221滯后算子表達式

6、： )1 ()(221ppzzzz特征方程：=0結論：特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的一：ARMA模型的概述 3、自回歸移動平均過程ARMA（p，q）模型 與AR（p）相似， 滿足如果 是一個白噪聲， 滿足：tXtptptttXXXX2211t tqtqttt1112由1式和2式得： qtqttptpttXXX1111 其中 為白噪聲，此模型是上述2個模型的混合，因此稱為ARMA(p，q)模型t一：ARMA模型的概述 當 p=0 時，ARMA(0, q) = MA(q) 當q = 0時，ARMA(p, 0) = AR(p)ARMA（p，q）模型包括了一個AR

7、(P)模型和一個MA(q)模型，因為MA(q)模型永久平穩(wěn)，因此檢驗ARMA（p，q）模型平穩(wěn)性時，只需檢驗AR(p)模型的平穩(wěn)性結論：結論： ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)數(shù)( ( 1 1 , , 2 2 , , p p ) )，而與移動平均模型參數(shù)，而與移動平均模型參數(shù)( ( 1 1 , , 2 2 , , q q ) )無關無關常用的兩種平穩(wěn)性檢驗方法：1、相關圖法。隨著k的增加，樣本自相關函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多2、單位根檢驗。DF/ADF等一：ARMA模型的概述3、如何確定ARMA(p,q)中

8、的p和q？確定p和q的過程即為模型的識別，所使用的工具主要是時間序列的自相關函數(shù)（autocorrelation function）ACF及偏自相關函數(shù)（partial autocorrelation function）PACF ，通常通過相關圖來觀察 tX模型模型ACFPACF白噪聲白噪聲 AR(p)衰減趨于零（幾何型或振蕩型）衰減趨于零（幾何型或振蕩型）P P階后截尾：階后截尾： ，kpMA(q)q階后截尾：階后截尾： ，kq 衰減趨于零（幾何型或振蕩型）衰減趨于零（幾何型或振蕩型）ARMA(p,q)q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）p階后衰減趨于零（幾何型

9、或振蕩型）階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）0k0*k0*k0kARMA（p，q）模型的ACF和PACF理論模式一：ARMA模型的概述1、什么是拖尾和截尾拖尾：自相關函數(shù)或偏相關函數(shù)隨著滯后階數(shù)k的增加，不斷衰減直到0，這種現(xiàn)象稱為拖尾截尾：如果自相關函數(shù)或偏相關函數(shù)在滯后項p或q之后為0，則稱自相關函數(shù)或偏自相關函數(shù)在p或q以后是截尾的-.2.0.2.4.6.82468101214-.8-.4.0.42468101214拖尾相關圖拖尾相關圖-.4-.2.0.2.42468101214-.4-.2.0.2.42468101214截尾相關圖截尾相關圖一：ARMA模型的概述2、AR（p）、MA（q）

10、、ARMA（p，q）的識別AR（p） ：ACF隨著滯后階數(shù)k的增加，呈指數(shù)衰減或震蕩式衰減，具有拖尾性；PACF在p階后截尾（有嚴格的數(shù)學證明）MA（q） ：ACF在q步后截尾（有嚴格的數(shù)學證明）；PACF一定呈現(xiàn)某種衰減形式，衰減形式復雜（區(qū)別于AR（p），具有拖尾性ARMA（p，q） ：ACF和PACF都呈現(xiàn)拖尾性在實際操作中，要集合ACF和PACF來判斷用哪一模型，當相關圖具備上述模型的特征時，選擇該模型此外，由于自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)是通過要識別序列的樣本數(shù)據(jù)估計出來的，必然存在誤差，因此，實際操作中的圖形并不一定是理想的拖尾和截尾，需要反復試驗與檢驗，選擇最合適的模型一：ARMA模

11、型的概述3、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的相關圖tttXX17 . 0AR(1)模型：0.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1一：ARMA模型的概述MA(1)模型：17 . 0tttX-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3ARMA(1,1)模型：117 . 07 . 0ttttXX-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678P

12、ACF5一：ARMA模型的概述4、如何估計ARMA(p,q)中的參數(shù)？AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：最小二乘估計、矩估計和利用自相關函數(shù)的直接估計。 最小二乘法估計矩估計利用自相關函數(shù)估計pkpkkk2211kkkppppppppp12112211211211利用估計的自相關系數(shù)，估計出AR(p)參數(shù)一：ARMA模型的概述5、如何檢驗ARMA模型？檢驗內容檢驗內容：ARMA(p，q)模型的識別與估計是在假設隨機擾動項 是一白噪聲基礎上進行的，因此，模型檢驗中首先要檢驗 是不是白噪聲檢驗指標檢驗指標：Q檢驗判斷標準判斷標準：如果殘差不存在序列相關，

13、在各階滯后的自相關和偏自相關值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值。檢驗內容檢驗內容：增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。因此，對可能的適當?shù)哪Ｐ?，存在著模型的“簡潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。因此，需要權衡二者檢驗指標檢驗指標：AIC SC判斷標準判斷標準：在選擇可能的模型時，AIC與SC越小越好。tt一：ARMA模型的概述檢驗內容檢驗內容：參數(shù)估計時，需要對所估的參數(shù)進行檢驗，看其是否符合合適檢驗指標檢驗指標：t檢驗判斷標準判斷標準：若t統(tǒng)計值大于相應臨界值，則應拒絕所估計的參數(shù)，prob值0.2以下較好6、如何利用ARMA模型進行預測？設對時間序列樣本xt, t = 1, 2, , T，所擬合的模型是 xt = 0.4 xt-1 + 0.77+ 0.68 t-1則理論上T + 1期xt的值應按下式計算 xT+1 = 0.4 xT + 0.77 + 0.68 T以此類推一：ARMA模型的概述ARMA模型流程圖二：ARMA模型