微積分 第二章 極限與連續(xù)

1、第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義第二節(jié)第二節(jié)極限的運算極限的運算第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 一、一、函數(shù)的極限函數(shù)的極限 二、二、數(shù)列的極限數(shù)列的極限 三、三、極限的性質極限的性質四、四、極限分析定義極限分析定義 五、五、無窮小量無窮小量 六、六、無窮大量無窮大量 第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義 第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義0 xx時函數(shù)時函數(shù)( )f x的極限的極限 引例引例 從函數(shù)圖形特征觀察函數(shù)的極限從函數(shù)圖形特征觀察函數(shù)的極限 如圖：當如圖：當1x 時，時，( )1f xx無限接近；無限接近； 如圖：當如圖：當1x 時，時，21

2、( )1xg xx無限接近于無限接近于 O 1 -1 x 1 1 ) ( 2 x x x g y 圖圖 圖圖O1-1(1,2)xyf(x)=x+1一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限 鄰域的鄰域的概念：開區(qū)間（概念：開區(qū)間（x，x）稱為以）稱為以 x為中為中心，以心，以 （）為半徑）為半徑的鄰域的鄰域， 簡稱為點， 簡稱為點 x的鄰域的鄰域，記為記為N（x，） 用） 用0(, )N x表示表示 0 x的的空心鄰域空心鄰域，即，即0000(,) ( ,)(0)xxx x 函數(shù)函數(shù)( )1f xx與與21( )1xg xx是兩個不同的函數(shù)， 前者是兩個不同的函數(shù)， 前者在在1x 處有定義，后者在處有定義，

3、后者在1x 處無定義這就是說，當處無定義這就是說，當1x 時，時，( )f x，( )g x的極限是否存在與其在的極限是否存在與其在1x 處是否處是否有定義無關有定義無關 定義定義 設函數(shù)設函數(shù)( )f x在在 0 x的某一的某一空心鄰域空心鄰域0(, )N x內有定義，如果當自變量內有定義，如果當自變量 x在在0(, )N x內無限接近于內無限接近于 0 x時，相應的函數(shù)值無限接近于常數(shù)時，相應的函數(shù)值無限接近于常數(shù) A，則，則 A為為0 xx時時函數(shù)函數(shù)( )f x的極限， 記作的極限， 記作0lim( )xxf xA或或0( )()f xA xx 0 xx時函數(shù)時函數(shù)( )f x的極限的

4、極限 定義定義 設函數(shù)設函數(shù)( )f x在在 0 x的右半鄰域的右半鄰域00(,)x x內內有定義，當自變量有定義，當自變量x在此半鄰域內無限接近于在此半鄰域內無限接近于 0 x時，相應時，相應的函數(shù)值的函數(shù)值( )f x無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限，記為處的右極限，記為 由該定義可知由該定義可知, , 討論函數(shù)討論函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限處的右極限0lim( )xxf xA時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于 0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx . .于是有于是有 00lim( )lim( )

5、xxxxf xf xA. . 000lim ( )()( )().xxf xAf xAf xA xx，或定義定義 3 3 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在 0 x的左半鄰域的左半鄰域),(00 xx內內有定義，當自變量有定義，當自變量 x在此半鄰域內無限接近于在此半鄰域內無限接近于 0 x時，時，相應的函數(shù)值相應的函數(shù)值)(xf 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù))(xf在在 0 x處的左極限，記為處的左極限，記為，Axfxx)(lim0或或Axf)(0或或).()(0 xxAxf 3 3 0 xx時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 由 該 定 義 知由 該 定 義 知 , ,

6、 討 論 函 數(shù)討 論 函 數(shù))(xf在在0 x處 的處 的 左 極 限左 極 限Axfxx)(lim0時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx , ,于是有于是有 Axfxfxxxx)(lim)(lim00. . 定定理理 1 1 Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是 .)(lim)(lim00Axfxfxxxx例例 1 1 設設,0( )1,0,0 xxf xxxx，畫畫出出該該函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形，并并討討論論)(lim0 xfx，)(lim0 xfx，)(lim0 xfx是是否否存存在在 解解 )(xf的的圖圖形形如如圖圖 3

7、 3( (見見下下頁頁) )所所示示，由由該該圖圖不不難難看看出出： 0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx. . 例例 2 2 設設1,0sgn0,01,0 xxxx， ( (通常稱通常稱 xsgn為符號為符號函數(shù)函數(shù)) )，畫圖討論，畫圖討論,sgnlim0 xx ,sgnlim0 xx xxsgnlim0是否存在是否存在 解解 函函數(shù)數(shù)xsgn的的圖圖形形如如圖圖 4 4( (見見右右上上圖圖) )所所示示，不不難難看看出出；1sgnlim0 xx；1sgnlim0 xx；xxsgnlim0不不存存在在. . y O 1 -1 x 1 圖圖 3 3 O -

8、1 x 1 y 圖圖 4 4 4 4 x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 4 4 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在ax |時時有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，如如果果當當自自變變量量 x的的絕絕對對值值無無限限增增大大時時，相相應應的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為 x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或)()(xAxf. . 5 5 x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 5 5 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內內有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，當當自自變變量量x無無限

9、限增增大大時時，相相應應的的函函數(shù)數(shù)值值 )(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)A，則則稱稱A為為x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或 )()(xAxf 定定義義 6 6 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內內有有定定義義( ( a為為某某個個實實數(shù)數(shù)) )，當當自自變變量量無無限限變變小小( (或或x無無限限變變大大) )時時，相相應應的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限，記記Axfx)(lim或或)()(xAxf 定定理理 2 2 lim( )xf xA的的充充要要條條件件是是 )(limx

10、fx =Axfx)(lim 6 6x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 例例 3 3 由圖由圖 5 5 可知：可知： 01limxx；01limxx 圖圖5 5 O x y x e y O x y x y 1 圖圖6 6 由圖由圖 6 6 可知可知 0elimxx 1 1 數(shù)數(shù)列列的的概概念念 設自變量為正整數(shù)的函數(shù)設自變量為正整數(shù)的函數(shù)), 2 , 1)( nnfun，其，其函 數(shù) 值 按 自 變 量函 數(shù) 值 按 自 變 量n由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù)由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù) ,321nuuuu 稱為數(shù)列，將其簡記為稱為數(shù)列，將其簡記為 nu，其中，其中 nu為數(shù)列

11、為數(shù)列 nu的通項或一般項的通項或一般項 例如例如 nnu21，相應的數(shù)列為，相應的數(shù)列為 ,21,21,21,2132n 2 2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限定定義義 7 7 對對于于數(shù)數(shù)列列 nu，如如果果當當 n無無限限增增大大時時，通通項項nu無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為數(shù)數(shù)列列nu的的極極限限，或或稱稱數(shù)數(shù)列列 nu收收斂斂于于A，記記為為Aunnlim或或)(nAun 若若數(shù)數(shù)列列 nu沒沒有有極極限限， 則則稱稱該該數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散 二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限例例 3 3 觀察下列數(shù)列的極限：觀察下列數(shù)列的極限： (1)(1) 1nnun： (

12、2)(2) nnu21： (3)(3) 12 nun： (4) (4) 1) 1(nnu 解解 觀察數(shù)列在觀察數(shù)列在n時的發(fā)展趨勢，得時的發(fā)展趨勢，得 （ 1 1 ） 對 于 數(shù) 列對 于 數(shù) 列1nnun， 即， 即,.1,.,43,32,21nn極 限極 限11limnnn； （2 2） 對于數(shù)列對于數(shù)列nnu21， 即， 即,.21,.,21,21,2132n極限極限021limnn； （ 3 3 ） 對 于 數(shù) 列） 對 于 數(shù) 列12 nun， 即， 即,.12,.,7 , 5 , 3n極 限極 限) 12(limnn不存在不存在； （4 4）對于數(shù)列）對于數(shù)列1) 1(nnu，即，

13、即,.) 1(,.,1 , 1, 11n極限極限1) 1(limnn不存在不存在 3. 3.數(shù)列極限存在定理數(shù)列極限存在定理單調數(shù)列單調數(shù)列 如果數(shù)列如果數(shù)列nu對于每一個正整數(shù)對于每一個正整數(shù) n，都，都有有1nnuu，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列nu為單調遞增數(shù)列；類似地，如為單調遞增數(shù)列；類似地，如果數(shù)列果數(shù)列nu對于每一個正整數(shù)對于每一個正整數(shù) n，都有，都有1nnuu，則稱數(shù)，則稱數(shù)列列nu為單調遞減數(shù)列為單調遞減數(shù)列 有有界界數(shù)數(shù)列列 如如果果對對于于數(shù)數(shù)列列 nu，存存在在一一個個正正常常數(shù)數(shù) M， 使使得得對對于于每每一一項項 nu， 都都有有|nuM， 則則稱稱數(shù)數(shù)列列 nu為為有有界

14、界數(shù)數(shù)列列 定定理理 3 3 ( (單單調調有有界界原原理理) ) 單單調調有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限 性性質質 1 1 ( (惟惟一一性性) ) 若若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，則則BA . . 性質性質 2 2 ( (有界性有界性) ) 若若Axfxx)(lim0，則存在，則存在 0 x的的某一某一空心鄰域空心鄰域),(0 xN，在，在),(0 xN內函數(shù)內函數(shù))(xf有界有界 三、極限的性質三、極限的性質性質性質 3 3 ( (保號性保號性) ) 若若Axfxx)(lim0且且 0A( (或或 0A) )，則存在某個，則存在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN，在

15、，在),(0 xN內內0)(xf ( (或或0)(xf) ) 推論推論 若在某個若在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN內，內， )(xf0 0 ( (或或)(xf0 0) )，且，且 Axfxx)(lim0 , ,則則 A0(0(或或 A0)0). . 性質性質 4 4 ( (夾逼準則夾逼準則) ) 若若 x),(0 xN ( (其中其中 為為某 個 正 常 數(shù)某 個 正 常 數(shù) ) ) 時 ， 有時 ， 有)(xg)(xf)(xh，Axhxgxxxx)(lim)(lim00 , ,則則 Axfxx)(lim0. . 上上述述性性質質，若若把把0 xx 換換成成自自變變量量 x的的其其他他變變

16、化化過過程程，有有類類似似的的結結論論成成立立 定義定義 1 ( (極限的極限的定義定義) ) 設設)(xf在在 0 x的的某個某個鄰域鄰域),(0 xN中有定義，若對任意給定的正數(shù)中有定義，若對任意給定的正數(shù) ，存在，存在0，使得當，使得當00 xx時，總有時，總有 Axf)(成成立，立，則稱則稱0 xx 時，時， )(xf以以 A 為極限，記為為極限，記為Axfxx)(lim0 五五、無無窮窮小小量量 1 1 無無窮窮小小量量的的定定義義 定義定義 8 8 極限為零的變量稱為無窮小量， 簡稱無窮小極限為零的變量稱為無窮小量， 簡稱無窮小 說說明明（1 1）數(shù)數(shù)零零是是惟惟一一可可作作為為無

17、無窮窮小小的的常常數(shù)數(shù). . （2 2） 無無窮窮小小表表達達的的是是量量的的變變化化狀狀態(tài)態(tài)， 而而不不是是量量的的大大小小一一個個量量不不管管多多么么小小，都都不不能能是是無無窮窮小小量量，零零是是惟惟一一例例外外的的即即無無窮窮小小量量是是絕絕對對值值無無限限變變小小且且趨趨于于零零的的量量 四、極限分析定義四、極限分析定義 例例 4 4 自變量自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮?。焊F?。?1) 1 (xy；12)2(xy；xy2)3(；xy41)4(. 解解 ( (1 1) ) 因因為為011limxx，所所以以當當x時時， 11x為為無無窮窮小

18、??； ( (2 2) ) 因因為為0) 12(lim21xx，所所以以當當21x時時， 12 x 為為無無窮窮小??； ( (3 3) ) 因因為為02limxx，所所以以當當x時時， x2為為無無窮窮小??； ( (4 4) ) 因因為為041limxx， 所所以以當當x時時， x41為為無無窮窮小小 2 2 極極限限與與無無窮窮小小量量之之間間的的關關系系 設設Axfxx)(lim0，即，即0 xx 時，函數(shù)值時，函數(shù)值)(xf無限接無限接近于常數(shù)近于常數(shù) A，也就是說，也就是說Axf)(無限接近于常數(shù)零，即無限接近于常數(shù)零，即0 xx 時，時， Axf)(以零為極限，也就是說以零為極限，也就

19、是說0 xx 時，時， Axf)(為無窮小量，若記為無窮小量，若記Axfx)()(，則有，則有)()(xAxf，于是有，于是有 定定 理理4 4 ( ( 極極 限限 與與 無無 窮窮 小小 量量 之之 間間 的的 關關 系系 ) ) Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是)()(xAxf，其其中中)(x是是0 xx 時時的的無無窮窮小小量量 定定理理 4 4 中中自自變變量量 x的的變變化化過過程程換換成成其其他他任任何何一一種種情情形形,(00 xxxxx ),xx后后 仍仍 然然 成成立立 解解因為因為1)11 (lim1lim)(limxxxxfxxx，而，而xxxxf111)(

20、中的中的x1為為x時的無窮小量，所以，時的無窮小量，所以，xxf11)(為所求極限值與一個無窮小量之和的形式為所求極限值與一個無窮小量之和的形式 3 3 無無窮窮小小量量的的運運算算性性質質 定理定理 5 5 有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小量有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小量 說說明明：無無窮窮多多個個無無窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和未未必必是是無無窮窮小小量量. .如如n時時 ，,2,122nn 2nn均均 為為 無無 窮窮 小小 量量 ， 但但21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn. . 例例 5 5 當當x時時，將將函函數(shù)數(shù)xxxf1)(寫寫成成其其

21、極極限限值值與與一一個個無無窮窮小小量量之之和和的的形形式式 定定理理 6 6 無無窮窮小小與與有有界界量量的的積積是是無無窮窮小小 推推論論 1 1 常常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小的的積積是是無無窮窮小小 推推論論 2 2 有有限限個個無無窮窮小小的的積積仍仍是是無無窮窮小小 說說明明：兩兩個個無無窮窮小小之之商商未未必必是是無無窮窮小小. .如如0 x時時，x 與與 2x 皆皆為為無無窮窮小小，但但由由22lim0 xxx知知 xx2當當0 x時時不不是是無無窮窮小小 例例 6 6 求求xxx1sinlim20 解解 因因為為0lim20 xx，所所以以 2x為為x時時的的無無窮窮小小量量，又又

22、因因為為x1sin1 1，所所以以xx1sin2仍仍為為0 x時時的的無無窮窮小小量量，所所以以 01sinlim20 xxx. . 1 1 無無窮窮大大量量的的定定義義 定義定義 9 9 在自變量在自變量 x 的某個變化過程中，若相應的的某個變化過程中，若相應的函數(shù)值的絕對值函數(shù)值的絕對值)(xf無限增大， 則稱無限增大， 則稱)(xf為該自變量變?yōu)樵撟宰兞孔兓^程中的無窮大量化過程中的無窮大量( (簡稱為無窮大簡稱為無窮大) )；如果相應的函數(shù)；如果相應的函數(shù)值值)(xf ( (或或)(xf) )無限增大， 則稱無限增大， 則稱)(xf為該自變量變化為該自變量變化過程中的正過程中的正( (

23、或負或負) )無窮大無窮大 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù))(xf是是0 xx 時 的 無 窮 大 ， 記 作時 的 無 窮 大 ， 記 作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的正無窮大，記作時的正無窮大，記作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的負無窮大，記作時的負無窮大，記作)(lim0 xfxx 對于自變量對于自變量 x 的其的其他變換過程中的無他變換過程中的無窮大量，正無窮大量，負無窮大量窮大量，正無窮大量，負無窮大量可用類似的方法描可用類似的方法描 六、無窮大量六、無窮大量述述 值值得得注注意意的的是是，無無窮窮大大量量是是極極限限不不存存在

24、在的的一一種種情情形形，這這里里借借用用極極限限的的記記號號，但但并并不不表表示示極極限限存存在在 例例 x1是是 0 x時的負無窮大量；用記號表示為時的負無窮大量；用記號表示為 ,1lim0 xx 2x是是x時的正無窮大量，用記號表時的正無窮大量，用記號表示為示為 2limxx. . 2 2 無無窮窮大大與與無無窮窮小小的的關關系系 定理定理 7 7 ( (無窮大與無窮小的關系無窮大與無窮小的關系) ) 在自變量在自變量的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮小的倒數(shù)為無窮大 例例 7 7 自自變變量量在在怎怎樣樣的

25、的變變化化過過程程中中，下下列列函函數(shù)數(shù)為為無無窮窮大大： (1) (1) 11xy； (2)(2) 12 xy； (3) (3) xyln； (4)(4) xy2 解解 (1)(1)因為因為0) 1(lim1xx， 即， 即1x時時 1x為無窮小為無窮小量，所以量，所以11x為為1x時的無窮大量；時的無窮大量； (2) (2) 因為因為0)121(limxx，所以，所以x時時121x為無窮為無窮小量，所以小量，所以12 x為為x時的無窮大量；時的無窮大量； (3) (3) 由右圖知，由右圖知， 0 x時，時，xln，xxlnlim0 x時 ，時 ，xln， 即， 即xxlnlim 所以，所以

26、， 0 x 及及x時，時，xln都是無窮大量；都是無窮大量； O y x 1 x y ln 思考題思考題 在在Axfxx)(lim0的定義中，為何只要求的定義中，為何只要求)(xf在在的的0 x的某個空心鄰域的某個空心鄰域),(0 xN內有定義？內有定義？ xxxsinlim是否存在，為什么？是否存在，為什么？ ( (4 4) )因因為為02limxx，即即x時時x2為為無無窮窮小小量量，因因此此xx221為為x時時的的無無窮窮大大量量； 一、一、極限運算法則極限運算法則二、二、兩個重要極限兩個重要極限三、三、無窮小的比較無窮小的比較第二節(jié)極限的運算第二節(jié)極限的運算設設)(limxf及及)(l

27、imxg都都存存在在（假假定定x在在同同一一變變化化過過程程中中） ，則則有有下下列列運運算算法法則則： 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下面我們來證明法則，其他證法類同下面我們來證明法則，其他證法類同 一、極限運算法則一、極限運算法則證證 設設BxgAxf)(lim,)(lim，則知，則知 BxgAxf)(,)(（ ，都是無窮小量）都是無窮小量） 于是于是 )()()()(BAABBAxgxf 由由無無窮窮小小的的性性

28、質質知知 BA仍仍為為無無窮窮小小，再再由由極極限限與與無無窮窮小小的的關關系系，得得 )()(limxgxfAB= =)(lim)(limxgxf 例例 求求) 143(lim22xxx 解解 514lim3lim) 143(lim22222xxxxxxx 例例 求求2342lim221xxxx 解解 因 為因 為05)23(lim21xx, , 所 以所 以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 例例 求求45127lim224xxxxx 解解 當當4x時，分子分母都為，故可約去公因式時，分子分母都為，故可約去公因式 （4x） .3113lim)

29、4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx例例 4 4 求求2332lim22xxxxx. . 解解 32213312lim2332lim2222xxxxxxxxxx 一一般般地地 ., 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx當當當例例 5 5 求求下下列列函函數(shù)數(shù)極極限限： ( (1 1) ) )1113(lim31xxx；( (2 2) ) xxx11lim0； ( (3 3) )31coslimxxxx. . .21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxx

30、xxxxxx(3) (3) 因為當因為當x時時, , xxcos極限不存在極限不存在, ,也不能直也不能直接用極限法則接用極限法則, ,注意到注意到xcos有界有界( (因為因為|cos|x1 1),),又又 , 01lim1lim23xxxxxxxx(2) (2) 當當0 x時時, ,分子分母極限均為零分子分母極限均為零( (呈現(xiàn)呈現(xiàn) 00形形式式),),不能直接用商的極限法則不能直接用商的極限法則, ,這時這時, ,可先對分子有理可先對分子有理化化, ,然后再求極限然后再求極限. . 根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質, ,得得 . 01coslim1cosl

31、im33xxxxxxxx小結：小結： (1 (1) )運用極限法則時運用極限法則時, ,必須注意只有各項必須注意只有各項極限存在極限存在( (除式除式, ,還要分母極限不為零還要分母極限不為零) )才能適用；才能適用； ( (2 2) )如如果果所所求求極極限限呈呈現(xiàn)現(xiàn) 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用極極限限法法則則, ,必必須須先先對對原原式式進進行行恒恒等等變變形形( (約約分分, ,通通分分, ,有有理理化化，變變量量代代換換等等) )，然然后后再再求求極極限限 ( (3 3) )利利用用無無窮窮小小的的運運算算性性質質求求極極限限. . 1. 1. 1sinlim0 xxx

32、 證明證明 作單位圓如下圖所示作單位圓如下圖所示, ,取取xAOB (rad)(rad), ,于于是 有是 有 ：BC,sin xABx, ,xADtan. . 由 圖 得由 圖 得OADOABOABSSS扇形, , 即即 xxxtan2121sin21 得得 xxxtansin, ,從從而而 有有1sincosxxx. . D A B C O x 二、兩個重要極限二、兩個重要極限上上述述不不等等式式是是當當20 x時時得得到到的的, ,但但因因當當 x用用x代代換換時時xcos, ,xxsin都都不不變變號號, ,所所以以 x為為負負時時, ,關關系系式式也也成成立立. . 因因為為1cos

33、lim0 xx, ,又又11lim0 x, ,由由極極限限的的夾夾逼逼準準則則知知介介于于它它們們之之間間的的函函數(shù)數(shù)xxsin當當0 x時時, ,極極限限也也是是 1 1. . 這樣就證明了這樣就證明了1sinlim0 xxx. . 說明： （說明： （1 1）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)的的00型極限型極限 （2 2）為了強調其一般形式）為了強調其一般形式, ,我們把它形象地寫成我們把它形象地寫成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一變量方框代表同一變量) ) 例例 6 6 求求xxx4sin3sinlim0. . 003040sin3sin343

34、limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 7 7 求求20cos1limxxx. . 解解 2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx 解解例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 203030cos1sincos1lim)cos1 (tanlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxx 由例由例 7 7 知知)0(21cos12xxx, , 故故21sintanlim30 xxxx. . 解解2 2. . e11limxxx 解解釋釋說說明明：列列出出xx1

35、1的的數(shù)數(shù)值值表表( (如如下下表表) )，觀觀察察其其變變化化趨趨勢勢. . 1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718xx11x從從上上表表可看出可看出, ,當當x無限增大時無限增大時, ,函數(shù)函數(shù)xx11變化的變化的大致趨勢大致趨勢, ,可以證明當可以證明當x時時, , xx11的極限確實存的極限確實存在在, ,并且是一個無理數(shù)并且是一個無理數(shù), ,其值為其值為718282828. 2e , ,即即 e11limxxx說明： （說明： （1 1）此極限主要解決）此極限主要解決 1型冪指函數(shù)的極限型冪指函數(shù)的極

36、限 （2 2）它可形象地表示為）它可形象地表示為 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一變量框代表同一變量) ) 例例 9 9 求求xxx31lim. . 解解 所 求 極 限 類 型 是所 求 極 限 類 型 是1型型 , , 令令ux3, , 則則ux3. . 333311lim 1lim 1lim1exuuxuuxuu 例例 1 10 0 求求2lim 1xxx. . 解解 所求極限類型是所求極限類型是 1型型. . 22221lim 1lim1e .2xxxxxx例例 1111 求求2lim3xxxx. . 解解 所所求求極極限限類類型型是是 1型型, ,令令uxx1132, ,

37、解解得得3 ux. .當當x時時, , u. .于于是是 332111limlim 1lim 1lim 1e.3xuuxuuuxxuuu 定義定義 設某一極限過程中設某一極限過程中, , 與與 都是無窮小都是無窮小, ,且且 Clim（C為常數(shù)）為常數(shù)）. . (1)(1)若若0C，則稱，則稱 是比是比 高階的無窮小，記成高階的無窮小，記成)(ao ( (此時，也稱此時，也稱 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小) ) (2)(2)若若0C， 則稱， 則稱 與與 是同階無窮小， 特別地，是同階無窮小， 特別地，若若1C，則稱，則稱 與與 是等價無窮小，記為是等價無窮小，記為 例如，例如，1sin

38、lim0 xxx即即)0(sinxxx； 12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 三、無窮小的比較三、無窮小的比較 定定理理 設設,) 1 (aa； ),(lim)2(或Aa 則則)(limlim或Aaa ).(limlimlimlimlimlim或Aaaaaaaaa 證證例例 1 12 2 求求xxx5sin2tanlim0 解解 當當0 x時，時，xx22tan, ,xx55sin, ,所以所以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx例例 1 13 3 求求30sintanlimxxxx 解解 因因為為當當0 x時時, ,xx sin, ,221cos

39、1xx, ,所所以以 3330002301sin1tansinsin (1 cos )coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxx常常用用的的幾幾個個等等價價無無窮窮小小代代換換 當當0 x時時, ,有有 2sin ,tan ,arcsin ,arctan11 cos,ln(1) ,e1 ,2111.2xxxxxxxxxxxxxxxx 思考題思考題1 1. .下下列列運運算算錯錯在在何何處處： ; 01coslim01coslimsinlim1cossinlim) 1 (0000 xxxxxxxxx22222lim(2)lim.2lim(2)xxxx

40、xxx 2 2. .兩兩個個無無窮窮大大的的和和仍仍為為無無窮窮大大嗎嗎? ?試試舉舉例例說說明明. . 一、一、函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義 二、二、初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三、三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)性是自然界中各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學體現(xiàn)，連續(xù)性是自然界中各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學體現(xiàn)，這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的連續(xù)增長等連續(xù)增長等 函數(shù)的增量函數(shù)的增量 設函數(shù)設函數(shù))(xfy在點在點 0 x的某鄰域上有定的某鄰域上有定義， 當自變量義， 當自變量

41、x由由 0 x變到變到xx0時， 函數(shù)時， 函數(shù) y相應由相應由)(0 xf變到變到)(0 xxf，函，函 數(shù)相應的增量為數(shù)相應的增量為 )()(00 xfxxfy. . O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其幾幾何何意意義義如如右右圖圖 所所示示 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在點在點 0 x的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義，如果自變量的增量如果自變量的增量0 xxx趨于零時，對應的函數(shù)增量趨于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即也趨于零，即 0)()(limlim0000 xf

42、xxfyxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在點在點0 x是連續(xù)的是連續(xù)的 由于由于y也寫成也寫成)()(0 xfxfy，所以上述定義，所以上述定義 1 1中表達式也寫為中表達式也寫為 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 說說明明：函函數(shù)數(shù))(xf在在點點 0 x連連續(xù)續(xù)，必必須須同同時時滿滿足足以以下下三三個個條條件件： ( (1 1) ) )(xf在在點點 0 x的的一一個個鄰鄰域域內內有有定定義義； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述極限值等于函數(shù)值上述極限值等于函數(shù)值)(0 xf 如如果果上上述

43、述條條件件中中至至少少有有一一個個不不滿滿足足，則則點點 0 x就就是是函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點點 定定義義 2 2 設設函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，若若)()(lim00 xfxfxx，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù) 定定義義 3 3 ( (間間斷斷點點的的分分類類) ) 設設 0 x為為)(xf的的一一個個間間斷斷點點，如如果果當當0 xx 時時， )(xf的的左左、右右極極限限都都存存在在，則則稱稱0 x為為)(xf的的第第一一類類間間斷斷點點；否否則則，稱稱 0 x為為)(xf的的第第二二類類間間斷斷點點 對對第第一一類

44、類間間斷斷點點還還有有 ( (1 1) )當當)(lim0 xfxx與與)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等時時，稱稱 0 x為為)(xf的的跳跳躍躍間間斷斷點點； ( (2 2) )當當)(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值時時，稱稱0 x為為)(xf的的可可去去間間斷斷點點 若若)(lim0 xfxx，則則稱稱 0 x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點，無無窮窮間間斷斷點點屬屬第第二二類類間間斷斷點點 例例 1 1 設設 21,1,1xxf xxx，討論討論)(xf在在1x處的連續(xù)性處的連續(xù)性 解解 因為因為 1lim)

45、(lim211xxfxx , , 2) 1(lim)(lim11xxfxx, , 即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖 7 7）. . 例例 2 2 設設 4,01,0 xxfxxx，討論討論)(xf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性 解因為解因為0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所以所以0 x是是)(xf的第一類間斷點，且為的第一類間斷點，且為可去間斷點 （如下頁圖可去間斷點 （如下頁圖 8 8）. . O x y 2 1 1 圖圖 7 7 O x 1

46、 y 圖圖 8 8 例例3 3 2)1(1)(xxf在在1x處處 沒沒 有有 定定 義義 ， 且且21)1(1limxx，則則稱稱1x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點 如如果果)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內內每每一一點點都都是是連連續(xù)續(xù)的的，就就稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內內連連續(xù)續(xù)若若)(xf在在),(ba內內連連續(xù)續(xù)，在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù)，在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù). . 連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形是是一一條條連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的曲曲線線 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處右連續(xù)處右連續(xù),

47、若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處左連續(xù)處左連續(xù). 1 1 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關于分段求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性 2 2 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若若)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，則則 )()(lim00 xfxfxx ，即即求求連

48、連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的極極限限，可可歸歸結結為為計計算算函函數(shù)數(shù)值值 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 例例 3 3 求極限求極限)ln(sinlim2xx 解解 因 為因 為)ln(sinx在在2x處 連 續(xù) ， 故 有處 連 續(xù) ， 故 有 01ln)2ln(sin)ln(sinlim2xx. . 3 3 復合函數(shù)求極限的方法復合函數(shù)求極限的方法定 理定 理1 1 設 有 復 合 函 數(shù)設 有 復 合 函 數(shù))(xfy， 若， 若0lim( )xxxa，而函數(shù)，而函數(shù))(uf在在ua點連續(xù)，則點連續(xù)，則 .(limlim00a)fxfxfxxxx 例例 4 4 求極限求極限0ln(1)

49、limxxx 解解 1ln(1)ln(1)xxxx，1ln(1)xx是 由是 由1ln ,(1)xyu ux復合而成的， 而復合而成的， 而10lim(1)exxx， 在， 在eu點點uln連續(xù)，故連續(xù)，故100ln(1)limlimln(1)xxxxxx 10lnlim(1) lne1xxx 例例 5 5 求求)arccos(lim2xxxx 解解 )arccos(lim2xxxx )(limarccos2xxxx )()(limarccos222xxxxxxxxxx2arccos limxxxxx 321arccos1111limarccosxx. . 定理定理2 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定

50、存在最大值和最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值 定定理理 3 3 若若函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ,ba上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號號，則則至至少少存存在在一一點點),(ba，使使得得0)(f 定定 理理 4 4 若若 函函 數(shù)數(shù))(xf在在 閉閉 區(qū)區(qū) 間間,ba上上 連連 續(xù)續(xù) ， 且且)()(bfaf，為為介介于于)(af與與)(bf之之間間的的任任意意一一個個數(shù)數(shù)，則則至至少少存存在在一一點點( , )a b ，使使得得( )f 定理定理 3 3 稱為根的存在定理從幾何上看，如下頁左圖稱為根的存在定理從幾何上看，如下頁左圖所示，連續(xù)曲線所示，連續(xù)曲線)(

51、xfy 從從x軸下側的點軸下側的點 A( (縱坐標縱坐標0)(af) )筆不離紙地畫到筆不離紙地畫到x軸上側的點軸上側的點 B( (縱坐標縱坐標0)(bf時，比與時，比與 x軸至少相交于一點軸至少相交于一點( ,0)C這表明若這表明若方程方程0)(xf，左端的函數(shù)，左端的函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba兩個端點處兩個端點處的函數(shù)值異號，則該方程在開區(qū)間的函數(shù)值異號，則該方程在開區(qū)間),(ba內至少存在一個內至少存在一個根根 三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理定理 4 4 稱為介值定理稱為介值定理 從幾何上看， 如從幾何上看， 如右右上上圖所示，圖所示，閉區(qū)間閉區(qū)間,ba

52、上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù))(xfy 的圖象從的圖象從A連續(xù)畫到連續(xù)畫到B時，至少要與直線時，至少要與直線y相交一次相交一次 O y B b A a C ) ( x f y ( ) b f a f ( ) x B b A a O x y 1 2 3 ) ( a f ) ( b f 例例 6 6 證證明明方方程程01sinxx在在 0與與 之之間間有有實實根根 證證 設設1sin)(xxxf，因為，因為)(xf在在),(內連續(xù)，內連續(xù)，所以，所以，)(xf在在, 0上也連續(xù)， 而上也連續(xù)， 而01)(, 01)0(ff, , 所以，據(jù)定理所以，據(jù)定理 3(3(根的存在定理根的存在定理) )知，至少

53、有一個知，至少有一個(0,) ，使得使得( )0f ，即方程，即方程01sin xx在在 0與與 之間至少有之間至少有一個實根一個實根 思考題思考題1 1. .如如果果)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，問問)(xf在在 0 x處處是是否否連連續(xù)續(xù)？ 2 2. .區(qū)區(qū)間間ba,上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在著著最最大大值值與與最最小小值值嗎嗎？ 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 一、本章提要一、本章提要 1.基本概念基本概念 函數(shù)的極限，左極限，右極限，函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，在一點連續(xù)，在一點

54、連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點，連續(xù)函數(shù)，間斷點，第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第二類間斷點第二類間斷點.1sinlim0口口口e)11 (lim0口口口口 2.基本公式基本公式 (1) (2) (代表同一變量). 3.基本方法基本方法 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 利用四則運算法則求極限； 利用兩個重要極限求極限； 利用無窮小替換定理求極限； 00 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的極限； 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限； 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號與極限符號可交換次序的特性求極限； 利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限.

55、4.定理定理左右極限與極限的關系，單調有界原理，夾逼準則，極限的惟一性，極限的保號性,極限的四則運算法則，極限與無窮小的關系，無窮小的運算性質，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.Axfxx)(lim0)(xf0 x二、要點解析二、要點解析 問題問題1 如果如果 存在，那么函數(shù)存在，那么函數(shù)在點在點處是否一定有定義處是否一定有定義?Axfxgxx)()(lim0)(lim0 xgxx)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx)(xf)(lim0 xgxx)(lim0 xfxx 問題問題2 若存在，那么和是否一定存在？是否一定有=？問題問題3 xx

56、10elim是否正確，為什么是否正確，為什么?)(cossin(limtan2224xxxxx1)1232(limxxxx3111limxxx)1sinsin(lim0 xxxxx)2sin(limxxx 三、例題精解三、例題精解 例例1 求下列極限: (1) ； (2) (3) (4) (5) .,0,0,1sin)(22xxaxxxxfa)(lim0 xfx 例例2設 問為何值時存在，并求此極限值. ,0,0,2cos)(xxxaaxxxxfa0 x)(xf例例3 設 問當為何值時，是的間斷點? 是什么間斷點?42lim22xxx ,1,1sin2xaxxxf,0,0 xxa)(xf0 x

57、四、主要解題方法四、主要解題方法1求函數(shù)極限方法求函數(shù)極限方法(1)利用極限存在的充分必要條件求極限利用極限存在的充分必要條件求極限例例1 求下列函數(shù)的極限：（1） （2） 當為何值時，在的極限存在.41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx41)2)(2(2lim42lim222xxxxxxx解解 (1)因為左極限不等于右極限，所以極限不存在因為左極限不等于右極限，所以極限不存在0 x0 xaaxxaxxxfxxxx0000lim)1sin(lim)1sin(lim)(lim1)1 (lim)(lim200 xxfxx)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfxa

58、)(lim0 xfx)(lim0 xfx（2）由于函數(shù)在分段點）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有處的左極限與右極限于是，有， 為使為使存在，必須有存在，必須有=因此因此 ，當，當=1 時時， 存在且存在且 =1小結小結 對于求含有絕對值的函數(shù)對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在否則，極限不存在 （2）利用極限運算法則求極限）利用極限運算法

59、則求極限132lim21xxx3limx65922xxx2121lim()11xxx215limxxx例例2 求下列函數(shù)的極限：(1) (2) (3) (4) 132lim21xxx) 1(lim)32(lim121xxxx213x00623lim)2)(3()3)(3(lim659lim33223xxxxxxxxxxxx解解 (1) =(2) 當時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則原式=1x221,11xx22111xx2211212(1)lim()lim111xxxxxx11(1)11limlim(1)(1)1

60、2xxxxxx(3) 當時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則即原式=xxx52115limxxx)(I(4) 當當時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式需分子分母同時除以形式需分子分母同時除以將無窮大的將無窮大的約去，再用法則求約去，再用法則求原式原式=小結小結應用極限運算法則求極限時，應用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）（對于除法，分母極限不為零）才能適用才能適用, 00III（II）求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn)求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn) 等情況，都