2.1高階線性微分方程ppt課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第六節(jié)高階線性微分方程二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)一、概念的引入一、概念的引入 第七章 一、概念的引入一、概念的引入例例: :設(shè)有一彈簧下掛一重物設(shè)有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個初如果使物體具有一個初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動附近作上下振動.試確定物體的振動規(guī)律試確定物體的振動規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復(fù)力恢復(fù)力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物體自由

2、振動的微分方程物體自由振動的微分方程,sin ptHF 若若受受到到鉛鉛直直干干擾擾力力pthxkdtdxndtxdsin2222 強迫振動的方程強迫振動的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分

3、方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)問題問題一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時，時，當(dāng)當(dāng)),( x特別地特別地:例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)解的疊加原理解的疊加原理三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解齊次線性方程求線性無關(guān)特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是

4、是方方程程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對

5、應(yīng)齊次方程通解為2211yCyCy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyy

6、yxw系系數(shù)數(shù)行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應(yīng)齊方一特解為對應(yīng)齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應(yīng)齊方通解為對應(yīng)齊方通解為.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程組組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；補充內(nèi)容補充內(nèi)容可觀察出