第三章 離散傅里葉變換(DFT)

1、第三章第三章離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握離散傅里葉變換的定義及性質(zhì)掌握離散傅里葉變換的定義及性質(zhì) 了解頻率域采樣理論了解頻率域采樣理論 了解了解DFT的應(yīng)用的應(yīng)用 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 Discrete Fourier Transform 是研究是研究有限長序列有限長序列的一種重要工具的一種重要工具 重要作用：使數(shù)字信號(hào)處理可以在重要作用：使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域頻域采用采用數(shù)數(shù)字運(yùn)算字運(yùn)算的方法進(jìn)行的方法進(jìn)行 多種快速算法多種快速算法(FFT)3.1 DFT的定義的定義3.1.1 DFT的定義的定義 設(shè)設(shè)x(n)是一個(gè)長度為是一個(gè)長度為M的有限長序列

2、，的有限長序列， 則定義則定義x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT為為X(k)的的IDFT為為1, 1 , 0,)()()(10N kWnxnxDFTkXNnknN1, 1 , 0,)(1)()(10N nWkXNkXIDFTnxNkknN變換區(qū)間長度為其中，DFTNeWNjN,27 , 0,)8sin()2sin()()(11)()(, 8DFT84)(),()(8388822244470827084 kkke eeeeeeee eWnxk XNnx nRn xkjkjkjkjkjkjkjkjkjnknjnkn解：點(diǎn)點(diǎn)和的求例注：注：x(x)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)

3、間長度N的取值有關(guān)。的取值有關(guān)。3.1.2 DFT和和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 設(shè)序列設(shè)序列x(n)的長度為的長度為N，其，其Z變換和變換和DFT分別為：分別為：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W1.,1 , 0| )()(1,.,1 , 0| )()(22N keXkXN kzXkXkNjezkNj DFT的的物理性質(zhì)物理性質(zhì)： 序列序列x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT是是x(n)的的z變換在變換在單單位圓位圓上的上的N點(diǎn)等間隔點(diǎn)等間隔采樣。采樣。 序列序列x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT是是x(n)的的Four

4、ier變變換在區(qū)間換在區(qū)間0，2的的N點(diǎn)等間隔采樣。點(diǎn)等間隔采樣。圖3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系 Fourier變換的幾種可能形式：變換的幾種可能形式： 時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù) 頻率函數(shù)頻率函數(shù) Fourier形式形式1.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率 傅里葉變換傅里葉變換(FT)2.連續(xù)時(shí)間、離散頻率連續(xù)時(shí)間、離散頻率 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)3.離散時(shí)間、連續(xù)頻率離散時(shí)間、連續(xù)頻率 序列傅里葉變換序列傅里葉變換(DTFT)4.離散時(shí)間、離散頻率離散時(shí)間、離散頻率 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)1 1、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉

5、變換 時(shí)域時(shí)域連續(xù)連續(xù)造成頻域造成頻域是非周期是非周期的譜的譜 時(shí)域的時(shí)域的非周期非周期造成頻域是造成頻域是連連續(xù)續(xù)的譜密度函數(shù)。的譜密度函數(shù)。dejXtxdtetxjXtjtj)(21)()()(2、連續(xù)時(shí)間、離散頻、連續(xù)時(shí)間、離散頻率率傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 時(shí)域時(shí)域連續(xù)連續(xù)函數(shù)造成頻域函數(shù)造成頻域是是非周期非周期的譜的譜 頻域的頻域的離散離散對(duì)應(yīng)時(shí)域的對(duì)應(yīng)時(shí)域的周期周期函數(shù)函數(shù)ktjkTTtjkejkXtxdtetxTjkX0000)()()(1)(02/2/003、離散時(shí)間、連續(xù)頻率、離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換 時(shí)域的時(shí)域的離散離散化造成頻域的化造成頻域的周期周期

6、延拓延拓 時(shí)域的時(shí)域的非周期非周期對(duì)應(yīng)于頻域?qū)?yīng)于頻域的的連續(xù)連續(xù)deeXtxenxeXnjjnnjj)(21)()()(4、離散時(shí)間、離散頻、離散時(shí)間、離散頻率率離散傅里葉離散傅里葉變換變換 一個(gè)域的一個(gè)域的離散離散造成造成另一個(gè)域的另一個(gè)域的周期周期延延拓拓102102)(1)()()(NnnkNjNnnkNjekXNnxenxkX四種傅里葉變換形式歸納四種傅里葉變換形式歸納3.1.3 DFT的隱含周期性的隱含周期性 因因WknN的周期性，使的周期性，使X(k)隱含周期性，且周期均隱含周期性，且周期均為為N。 對(duì)任意整數(shù)對(duì)任意整數(shù)m， 總有總有(),kk mNNNWWk m N均為整數(shù) 1

7、()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理可證同理可證 x(n+mN)=x(n)為周期延拓序列以表示為周期延拓序列以表示的主值區(qū)間是的周期延拓是的關(guān)系和則的序列表示為周期為NkX kXkXNnx nxnxnxn xnRnxnxnxnx mNnxnxnxnx nxNNNNm)(,)()()(,)()()()(),()()()()(, )()(:)()(),( 周期周期序列的序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉級(jí)數(shù)( (DFSDFS) )的正反變的正反變換：換： 有限長序列有限長序列 的的DFT DFT ，正好是周期，正好是周期延拓序列延拓序列

8、的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的主值序列。的主值序列。)()()(,)(1)(1)()()()()()()()(10101010kRkXkXWkXNWkXNnxnRnxnxWnxWnxnxDFSkXNNkknNNkknNNnkNNnnkNNnN，)(nx)(kXNnx)()(kX 用用Matlab計(jì)算序列的計(jì)算序列的DFT 調(diào)用函數(shù)：調(diào)用函數(shù)：Xk=fft(xn,N) 例子例子3.1.23.2 DFT的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì) 若若x1(n)和和x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為是兩個(gè)有限長序列，長度分別為N1和和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式

9、中式中a、 b為常數(shù)，為常數(shù)， 即即NmaxN1, N2，則則y(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT為為 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 其中其中X1(k)和和X2(k)分別為分別為x1(n)和和x2(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT。 2、循環(huán)移位性質(zhì)、循環(huán)移位性質(zhì)1)、序列的循環(huán)移位、序列的循環(huán)移位 設(shè)設(shè)x(n)為有限長序列，為有限長序列，長度為長度為N，則，則x(n)的循的循環(huán)移位定義為環(huán)移位定義為 )()()(nRmnxnyNN2)、時(shí)域循環(huán)移位定理、時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)設(shè)x(n) 是長度為是長度為N的有限長序列，的有限長序列，y(n)為為x(n)的循的循環(huán)移位，環(huán)移位， 即

10、即 則則 證明：證明：)()()()()(10),()(),()()()()()(10)(110kXWWixW Wixm n iWmnxmnxDFSNk nxDFTkXkXWnyDFTkYnRmnxnymkNkiNNimkNmikNmNminkNNnkmNNN令其中3)、頻域循環(huán)移位定理、頻域循環(huán)移位定理)()()()()()()()(10)()(nxWDFTlk X nxWkYIDFTn ykRlkXk YNk nxDFTk XnlNnlNNN或則若3、循環(huán)卷積定理、循環(huán)卷積定理1012102121221121212121)()()()()()()()()()()()()()()()()()

11、()(,max,),()(NmNNNmNNnRmnxmxkXIDFTn xnRmnxmxkXIDFTn xkXkXk XnxDFTk XnxDFTk XDFTNnxnxNNNNNnxnx或則如果分別為：點(diǎn)的和長度分別為和有限長序列1) 1)、時(shí)域循環(huán)卷積定理、時(shí)域循環(huán)卷積定理 結(jié)論：結(jié)論： 循環(huán)卷積過程中，要求對(duì)循環(huán)卷積過程中，要求對(duì)x2(m)循環(huán)循環(huán)反轉(zhuǎn)，反轉(zhuǎn)，循循環(huán)環(huán)移位移位 兩個(gè)兩個(gè)N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。 顯然與一般的線性卷積不同，顯然與一般的線性卷積不同， 故稱之為故稱之為循環(huán)循環(huán)卷積卷積， 記為記為1221( )( )( )( )( )( )x n

12、IDFT X kx nx nx nx n2)、頻域循環(huán)卷積定理、頻域循環(huán)卷積定理10,)()()()() )()()(1)()(1)()()()()(1)()(1)()()()()(221110121210212121Nk nxDFTkX nxDFTk X kRlkXlXN kXkXNnxDFTk XkRlkXlXN kXkXNnxDFTk Xnxnxn xNlNNNlNN式中或則如果50211021215241)()()()()()()(6),() 1()(),()(mNmmnxmx mnxmxny nxnxnRnnxnRnx解：卷積和。求兩個(gè)周期序列的循環(huán)，和周期延拓成周期序列將序列以周期

13、為分別例：已知序列4、復(fù)共軛序列的、復(fù)共軛序列的DFT)()()0()()(10),()()()()()(*kXnNx DFTXN XkX Nk kNXnx DFTnxDFTk XNnxnx同理：的隱含周期性由于且則的復(fù)共軛序列，長度為是設(shè)5、DFT 的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性1)、有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列、有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列有限長共軛對(duì)稱序列：有限長共軛對(duì)稱序列：有限長共軛反對(duì)稱序列：有限長共軛反對(duì)稱序列：10),()(10),()(*Nn nNxnxNn nNxnxopopepep120),2()2(120),2()2(*Nn nNxnNxNn nNxnNxopop

14、epep5、DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性序列的序列的Fourier變換的對(duì)稱性質(zhì)中提到：變換的對(duì)稱性質(zhì)中提到：)()(21)()()()(21)()()()()(*nxnxnxn xnxnxnxn xnxnxn xooeeoe其中：分量之和：對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱任意序列可表示成共軛)()(21)()()()(21)()(10),()()(*nNxnxnNxn xnNxnxnNxn xNn nxnxn xopopepepopep同理：2)、DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性)()()()()()()()()()(21)(Im)()()(21)(Re)()()()(1*kXkXnxDFTk XkXn

15、jx DFTkXnx DFTnxnxnxjn jxnxnxnxn xnjxnxn xopepopiepririr則其中）如果（2)、DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性)()()()()(Im)()(Re)()()(21)()()(21)(10),()()(2*kjXkXnxDFTk XkXjnx DFTkXnx DFTnNxnxn xnNxnxn xNn nxnxn xIRopepopepopep則其中）如果（ DFT的共軛對(duì)稱性：的共軛對(duì)稱性： 實(shí)數(shù)序列實(shí)數(shù)序列DFT的共軛對(duì)稱性：的共軛對(duì)稱性： 純虛序列純虛序列DFT的共軛對(duì)稱性：的共軛對(duì)稱性：設(shè)設(shè) x ( n ) 是 長 度 為是 長 度 為

16、 N 的 實(shí) 序 列 ， 且的 實(shí) 序 列 ， 且X(k)=DFTx(n)， 則則(1) X(k)共軛對(duì)稱共軛對(duì)稱，即，即 X(k)=X*(N-k),0kN-1(2) 如果如果 x(n)=x(N-n)，則，則X(k)實(shí)偶對(duì)稱實(shí)偶對(duì)稱， 即即 X(k)=X(N-k)(3) 如果如果x(n)=-x(N-n)，則，則X(k)純虛奇對(duì)稱純虛奇對(duì)稱， 即即 X(k)=-X(N-k) 對(duì)實(shí)序列進(jìn)行對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述性質(zhì)，可減，利用上述性質(zhì)，可減少少DFT運(yùn)算量。運(yùn)算量。 例：設(shè)例：設(shè)x1(n)和和x2(n)都是都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用試用N點(diǎn)點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算他們各自的運(yùn)算來計(jì)算他

17、們各自的DFT)()(21)()()(21)()()()()(*2*1kNXkXjk XkNXkXk X kXkXnxDFTk Xopep又)()()()()()()()()()()()()()()(212121212211kjXkX nxjDFTnxDFT njxnxDFTnxDFTk Xnjxnxnx kXnx DFTkXnxDFT則個(gè)復(fù)序列：解：利用兩序列構(gòu)成一3.3 頻率域采樣頻率域采樣 時(shí)域采樣定理：在滿足來奎斯特定理?xiàng)l件時(shí)域采樣定理：在滿足來奎斯特定理?xiàng)l件下，時(shí)域抽樣信號(hào)可以不失真地還原連續(xù)下，時(shí)域抽樣信號(hào)可以不失真地還原連續(xù)信號(hào)信號(hào) 頻域采樣呢？采樣條件？內(nèi)插公式？頻域采樣呢？采

18、樣條件？內(nèi)插公式？ 任意絕對(duì)可和的非周期序列任意絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，其，其z變換變換?)()()(| )()()()()( nxkXWnxzXkX NzXznxzXnkNnWznnkN分析：序列：點(diǎn)等間隔采樣，得周期在單位圓上對(duì) m rrNn mWN rNnx WNmx WWmxN WkXNkXIDFSnxIDFSkXnxNkknmNrmNkknmNNknkNmmkNNknkNNN其他為任意整數(shù)：的為令0,11)(1)()(1)(1)()()()(10)(10)(1010 結(jié)論結(jié)論1：由頻域采樣序列由頻域采樣序列 還原得到的周期序還原得到的周期序列是原非周期序列列是原非周期序列 的周

19、期延拓序列，的周期延拓序列，其周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)其周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù) N。 結(jié)論結(jié)論2：時(shí)域采樣造成頻域周期延拓時(shí)域采樣造成頻域周期延拓頻域采樣造成時(shí)域周期延拓頻域采樣造成時(shí)域周期延拓)(kX)(nx 結(jié)論結(jié)論3：混疊失真不失真為有限長序列，長度為混疊失真為無限長序列 M N M N Mnxnx,)2,) 1)()( 頻率采樣定理：頻率采樣定理： 若序列長度為若序列長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)：，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)： 時(shí)，才有時(shí)，才有 即可由頻域采樣即可由頻域采樣X(k)不失真地恢復(fù)原信號(hào)不失真地恢復(fù)原信號(hào)x(n),否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。MN )()()()()(nx

20、nRkXIDFSnRnxNNn內(nèi)插公式內(nèi)插公式 用頻域采樣用頻域采樣 X(k) 表示表示 X(z) 的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式1011011010101010101)(111)(1)(1)(1)()()(),(NkkNNNkkNNNkNNknNnnkNNnnNknkNNnnMnnzWkXNzzWzWkXN zWkXN zWkXN znxznxzXMNNnxM點(diǎn)等間隔采樣，且頻域點(diǎn)有限長序列階極點(diǎn)：零點(diǎn)：則內(nèi)插公式簡化為：內(nèi)插函數(shù)：內(nèi)插公式：) 1(0,1, 1 , 0,)()()(111)(1)(1)(22101101N e zN re zzkXzXzWzNz zWkXNzzXkNjrNjkNkkN

21、NkNkkNN內(nèi)插公式內(nèi)插公式 用頻域采樣用頻域采樣 X(k) 表示表示 X(ejw) 的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式10)21(21)1(10)2()()()2sin()2sin(1)()2sin()2(sin1| )()()()(| )()(NkjNjNjNNkjezkjkNkjkezjkNkXeXeNNeekNkNNNzeekXzXeXjj內(nèi)插公式：內(nèi)插函數(shù)：3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例主要應(yīng)用：主要應(yīng)用：1. 用用DFT計(jì)算卷積和相關(guān)系數(shù)計(jì)算卷積和相關(guān)系數(shù)2. 用用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和序列進(jìn)行譜分析對(duì)連續(xù)信號(hào)和序列進(jìn)行譜分析3.4.1 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積10),()()()(

22、10,)()()()()()()()()()(212211102121Lk kXkXnyDFTk YLk nxDFTk XnxDFTk XnRmnxmxnxnxn yLmLL有：則由時(shí)域循環(huán)卷積定理且如果 線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系？線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系？ 循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件？循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件？ 設(shè)設(shè)h(n)和和x(n)都是有限長序列，長度分別是都是有限長序列，長度分別是N和和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別為。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別為： 其中，其中， LmaxN, M 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcL

23、Lmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n( )(),Lqx nx nqL1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n 對(duì)照線性卷積的表達(dá)式可以看出線性卷積對(duì)照線性卷積的表達(dá)式可以看出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系：和循環(huán)卷積之間的關(guān)系： 10( ) ()()( )()( )NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n 線性卷積和循環(huán)卷積相等的條件：線性卷積和循環(huán)卷積相等的條件：1MNL0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL

24、 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10補(bǔ)L N個(gè)零點(diǎn)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L M個(gè)零點(diǎn)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)h(n)x(n)若遇到兩個(gè)序列長度相差很大的情況，將若遇到兩個(gè)序列長度相差很大的情況，將長序列分段計(jì)算，采用重疊相加法。長序列分段計(jì)算，采用重疊相加法。 設(shè)序列設(shè)序列h(n)長度為長度為N，x(n)為無限長序列。為無限長序列。將將x(n)均勻分段，每段長度取

25、均勻分段，每段長度取M， 則則0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkMh(n)與x(n)的線性卷積可表示為：000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny nM0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)3.4.2 用用DFT進(jìn)行譜分析進(jìn)行譜分析 信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換3.4.2 用用DFT進(jìn)行譜分析進(jìn)行譜

26、分析1、用、用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析 設(shè)設(shè)連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間和持續(xù)時(shí)間和Tp，最高頻率，最高頻率為為fh。 xa(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為 對(duì)對(duì)xa(t)以采樣間隔以采樣間隔T1/2fh(即即fs=1/T2fh)采采樣樣得得a(t)=Xa(nT)。設(shè)共采樣。設(shè)共采樣N點(diǎn)，并對(duì)點(diǎn)，并對(duì)Xa(jf)作零階近似作零階近似(t=nT, dt=T)得得2()( )( )jfaaaXifFT x tx t etdt120()()NjfnTanX ifTx nT e Xa(jf)是是f的的連續(xù)周期函數(shù)連續(xù)周期函數(shù)，對(duì)，對(duì) X(jf)在區(qū)在區(qū)間間0, fs上等間

27、隔采樣上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣間隔為點(diǎn)，采樣間隔為F參數(shù)參數(shù)fs 、 Tp、 N和和F滿足如下關(guān)系式：滿足如下關(guān)系式： 11spfFNNTFT由于由于NT=Tp， 所以所以 210()()NjknNanX jkFTx nT e 0kN-1 ( )(), ( )()aaXkX jkfx nx nT令 則 21010210( )( ) ( )2( )()( )1( )1( )NjknNanNnNejknNanaXkTx n eT DFT x nx nXa nTFXa k ejknNFNXkNIDFT XkT 頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇 譜分析范圍：譜分析范圍：已知信

28、號(hào)的最高頻率已知信號(hào)的最高頻率fh 頻率分辨率：頻率分辨率：即頻率采樣間隔即頻率采樣間隔F0000/12FfTTNTFffshs頻率抽樣：時(shí)域抽樣： 信號(hào)最高頻率和頻率分辨率之間的矛盾信號(hào)最高頻率和頻率分辨率之間的矛盾.1000000NffTNFTFFNffFfTTNhsshs采樣點(diǎn)數(shù)和頻率分辨率，需增加同時(shí)提高信號(hào)最高頻率必，要不產(chǎn)生混疊，給定，當(dāng)，則要提高頻率分辨率，即，即分辨率必給定，當(dāng)，則要增加信號(hào)最高頻率 信號(hào)最高頻率信號(hào)最高頻率fh的確定的確定 時(shí)域變化越快，高頻分量越豐富時(shí)域變化越快，高頻分量越豐富002112/tTfTthhh例例 對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜

29、分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率信號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)試確定最小記錄時(shí)間間TPmin，最大的采樣間隔，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)，最少的采樣點(diǎn)數(shù)數(shù)Nmin。如果。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少? 解：解： 因此因此TPmin=0.1 s，因?yàn)?，因?yàn)閒s2fc， 所以所以 110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF為使頻率分辨率提高一倍，為使頻率分辨率提高一倍， F=5 HzF=5 Hz， 要求要求minmin225001000510.25pNTs2、用、用DFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析對(duì)序列進(jìn)行譜分析 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋阂阎獑挝粓A上的已知單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變變換就是序列傅里葉變換，換， 即即X(k)是單位圓上的是單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣 所以：序列的所以：序列的FT可以利用可以利用DFT計(jì)算。計(jì)算。()( )jjz eX eX z 對(duì)周期對(duì)周期N的周期序列的周期序列 ，其頻譜函數(shù)為，其頻譜函數(shù)為 根據(jù)根據(jù)DFT的隱含周