上海交通大學(xué)大學(xué)物理課件機(jī)械振動(dòng)

1、LC振動(dòng)有各種不同的形式：振動(dòng)有各種不同的形式：機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)物理系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)在平衡態(tài)附物理系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)在平衡態(tài)附近往復(fù)變化周期運(yùn)動(dòng)或稱振動(dòng)。近往復(fù)變化周期運(yùn)動(dòng)或稱振動(dòng)。物理量（如位移、電流等）物理量（如位移、電流等） 在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 電磁振動(dòng)電磁振動(dòng)微觀振動(dòng)微觀振動(dòng)(如晶格點(diǎn)陣如晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)上原子的振動(dòng))etc第第 7 章章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng) 振動(dòng)分類振動(dòng)分類受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)( (簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng))

2、 )無阻尼自由無阻尼自由諧振動(dòng)諧振動(dòng)受受迫迫振振動(dòng)動(dòng)與與共共振振現(xiàn)現(xiàn)象象阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)振動(dòng)合成振動(dòng)合成拍拍 廣義振動(dòng)還包括一切具有周期性的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。廣義振動(dòng)還包括一切具有周期性的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。如：心臟跳動(dòng)、行星運(yùn)動(dòng)如：心臟跳動(dòng)、行星運(yùn)動(dòng)etc. 本章限于討論機(jī)械振動(dòng)本章限于討論機(jī)械振動(dòng) 表達(dá)式：表達(dá)式： x(t)=Acos( t+ ) 最簡單、最基本的振動(dòng)最簡單、最基本的振動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)“位移位移”可為線量、角量可為線量、角量etc.A 為常量式中式中kxmxFo7.1 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)一一. . 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)m 受力線性恢復(fù)力受力線性恢復(fù)

3、力F= -kxF= -kxm 受力線性恢復(fù)力受力線性恢復(fù)力動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：kxtxm22ddmaF kxF 加速度：加速度：xmkamaF 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：kxtxm22ddkxF 0dd222xtxxAtcos()取2kmxAtcos()A 為積分常數(shù)，由初始條件決定初始條件確定初始條件確定 A 和和 ： 22020vxA00tanxvsin cos0000AvvAxxttxAtcos()注意：注意： 由上式和由上式和 共同確定。共同確定。Ax0cos二二. . 振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)振子振動(dòng)狀態(tài)由振子振動(dòng)狀態(tài)由 m 的位置和速度表征的位置和速度表征速度速度txvddxAtcos(

4、)振動(dòng)方程（振動(dòng)式）振動(dòng)方程（振動(dòng)式）加速度加速度22ddtxa )sin(tA)2cos(tA)cos(2tA)cos(2tA速度速度加速度加速度)2cos(tAv)cos(2tAa位移位移)cos(tAx x(t)=Acos( t+ )簡諧振動(dòng)等幅振動(dòng)簡諧振動(dòng)等幅振動(dòng) 三三. 描述描述簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的特征量的特征量 1. 振幅振幅 AAx 代表物體位移的最大值。代表物體位移的最大值。x(t)=x(t+T )2. 周期周期T 和頻率和頻率 v諧振動(dòng)某狀態(tài)重復(fù)一次（諧振動(dòng)某狀態(tài)重復(fù)一次（ 全振動(dòng)全振動(dòng)）所需要的時(shí)間周期）所需要的時(shí)間周期T)cos()(cos( tATtA2Tv(t)=v(t

5、+T ) = 1/T (Hz)2Tkm2諧振動(dòng)的頻率諧振動(dòng)的頻率2T由振子性質(zhì)確定固有周期由振子性質(zhì)確定固有周期T2mk 而而諧振動(dòng)的角頻率諧振動(dòng)的角頻率2 秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù))2cos(tTAx)2cos(tAx = 1/T (Hz)2T2Tkm2由振子性質(zhì)確定固有周期由振子性質(zhì)確定固有周期諧振動(dòng)的頻率諧振動(dòng)的頻率3. 相位（位相）相位（位相）(1) ( t + + )是是 t 時(shí)刻的位相時(shí)刻的位相 (2) 是是t =0時(shí)刻的位相時(shí)刻的位相 初位相初位相因因 決定于諧振子性質(zhì)，諧振動(dòng)主要由初位相確定。決定于諧振子性質(zhì)，諧振動(dòng)主要由初位相確定。約定：約定：,(xmooA-AtxA =

6、 0 x0 = AToxoA-Atxm = /2x0 = 0ToA-Atxxmo-A = x0 = -ATmoxoA-Atx = - /2x0 = 0 T(或或3 /2)四四. 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的描述方法的描述方法1. 解析法解析法2. 曲線法曲線法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T由由 x=Acos( t+ )已知表達(dá)式已知表達(dá)式 A、T、 已知已知 A、T、 表達(dá)式表達(dá)式 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線3. 3. 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 t+ xxt = tt = 0 x = A cos( t + ) AA.o矢量長度矢量長度 = A；以以 為角速度繞為角速

7、度繞o點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；t = 0時(shí)矢量與時(shí)矢量與x軸的夾角為軸的夾角為 矢量端點(diǎn)在矢量端點(diǎn)在x軸上的投影為軸上的投影為SHM(simple harmonic motion) 。五五. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)對(duì)兩對(duì)兩同頻率同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) = 2- 1初位相差初位相差)cos(1111tAx)cos(2222tAxx2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相(i)(i)當(dāng)當(dāng) 2 - 1 = 0 , (ii) 當(dāng)當(dāng) 2 - 1 = , 對(duì)兩對(duì)兩同頻率同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng)兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同,

8、 ,稱同相稱同相兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反 , 稱稱反相反相 。(iii)若若 2- 10, 稱稱x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。則則 x2比比x1較早達(dá)到正最大較早達(dá)到正最大,x2x-A1- A2x1oA1A2Ttv比比x領(lǐng)先領(lǐng)先 /2)2cos()(tAtvvoTtx、 v、ax 2A v 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 AA-A- A- 2A va)cos(dd222tAtxa也是簡諧振動(dòng)也是簡諧振動(dòng) 速度速度 加速度加速度 也是簡諧振動(dòng)也是簡諧振動(dòng)(1) 動(dòng)能動(dòng)能2k21mvE )(sin2122tkA六六. .簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能

9、量0,21mink,2maxk,EkAE(2) 勢(shì)能勢(shì)能2p21kxE )(cos2122tkA0,21minp,2maxp,EkAE(3) 機(jī)械能機(jī)械能pkEEE簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒!const.221kA圖7-12 圖7-13例例7-1已知已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s時(shí)時(shí)x =-2cm且向且向x正向運(yùn)動(dòng)，正向運(yùn)動(dòng)， 寫出振動(dòng)表達(dá)式。寫出振動(dòng)表達(dá)式。 t = 0A 3 x = 4cos( t + ) cm解：由題意，解：由題意，T = 2 s由圖，由圖， = /3xt = 1s時(shí)矢量位置時(shí)矢量位置A1t=1s 時(shí)的振動(dòng)矢量如圖所示。時(shí)的

10、振動(dòng)矢量如圖所示。t=0s 時(shí)的振動(dòng)矢量方向應(yīng)為時(shí)的振動(dòng)矢量方向應(yīng)為 A1 矢量前矢量前1s時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量。時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量。 （即半個(gè)周期前）（即半個(gè)周期前）與與 A1 矢量夾角為矢量夾角為 ，如圖。，如圖。2/)365cos(6tx例例7-2 由由x-t曲線求振動(dòng)方程。曲線求振動(dòng)方程。136tox(cm)解：設(shè)解：設(shè)x=Acos( t+ )cos(60 cos6310ttxx0sin0Av32)3(2650)cos( , 2/1cos0)sin(1Av0)sin(,.)2 , 1 , 0( 22/kk例例7-3如圖所示，證明比重計(jì)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。如圖所示，證明比重計(jì)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。AmAmy

11、yO解：解：設(shè)：比重計(jì)截面設(shè)：比重計(jì)截面S 質(zhì)量質(zhì)量m 液體比重液體比重 不考慮粘滯力不考慮粘滯力mggySVF)(0gySmggV)(0gySgyStym22dd0dd22ymgStymgS0cost例例7-4質(zhì)量為質(zhì)量為m的剛體可繞固定水平軸的剛體可繞固定水平軸o擺動(dòng)。設(shè)剛體重心擺動(dòng)。設(shè)剛體重心C到軸到軸o的距離為的距離為b，剛體對(duì)軸，剛體對(duì)軸o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。試證剛體。試證剛體小幅度自由擺動(dòng)時(shí)做簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)角頻率小幅度自由擺動(dòng)時(shí)做簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)角頻率(這樣的擺稱作復(fù)擺這樣的擺稱作復(fù)擺)。oC bmg可見：可見：(1)此此剛體的自由擺動(dòng)是簡諧振動(dòng)；剛體的自由擺動(dòng)是簡諧

12、振動(dòng)； mgbJ = ( )1/2解：力對(duì)軸解：力對(duì)軸o的力矩的力矩 M = - mgb sin由由M = J小角度時(shí)小角度時(shí) sin 0dd22Jmgbt22ddsintJmgb(2)角頻率角頻率 或從機(jī)械能守恒：或從機(jī)械能守恒：)cos1 ()dd(21c2mgrtJE解為：解為：)cos(0txorcc0sinddddddc22tmgrttJ0ddc22Jmgrt兩邊對(duì)時(shí)間兩邊對(duì)時(shí)間 t 求一階導(dǎo)數(shù)：求一階導(dǎo)數(shù)：例題例題7-5 兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相等。兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在在 x1=A/2 處，處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)且向左運(yùn)

13、動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在在 x2= - -A/2 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t31t解：解：A- -AoA/ /2- -A/ /2x/3322t)cos(22tAA322t)()(21tt)32(3x332例題例題7-6 證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。其頻率為證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。其頻率為mkkkk212121 證：證：2211xkxkf設(shè)物體位移設(shè)物體位移x，彈簧，彈簧 分別伸長分別伸長x1和和x221xxxxkkkx2112 xk1k2o x22ddtxmf 22212122ddtxmxkkk

14、kxkxkkkx2112mkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121 xk1k2o x2kp21kAEEEEAkkxE412212122p例題例題7-7當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？勢(shì)能各占總能量的多少？ 物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？勢(shì)能各占總能量的一半？解：解：EEEE43pk當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：2/Ax 220212121kAkxAAx707. 0210END一一. 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)7.2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原

15、因。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：阻尼種類： 摩擦阻尼摩擦阻尼 輻射阻尼輻射阻尼 電磁阻尼電磁阻尼對(duì)在流體對(duì)在流體(液體、氣體液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力 速度。速度。dxdt f阻阻 = - = - ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)txkxtxmdddd220dd2dd2022xtxtx設(shè)設(shè)mmk20 , 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)v在阻尼作用較小在阻尼作用較小( T0(固有周期固有周期)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼xto A0e - tv過阻尼、過阻尼、和臨界阻尼和臨界阻尼xto過阻尼（過阻尼（ 0）弱阻尼弱阻尼 （ 0）臨界阻尼（臨界阻尼（

16、 = 0）準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼過阻尼、和臨界阻尼過阻尼、和臨界阻尼準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)弱阻尼二二. 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)系統(tǒng)受力：系統(tǒng)受力： 彈性力彈性力 -kx 振動(dòng)方程：振動(dòng)方程：阻尼力阻尼力 txdd周期性策動(dòng)力周期性策動(dòng)力 f =F0cos tftxkxtxmdddd22 在外來策動(dòng)力作用下的振動(dòng)在外來策動(dòng)力作用下的振動(dòng)thxtxtxcosdd2dd2022其中其中mFhmmk00,2, 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 x=Acos( t+ )特點(diǎn)特點(diǎn)穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的規(guī)律變化的規(guī)律變化(1)頻率頻率: 等于策動(dòng)力的頻率等于策動(dòng)力的頻率 (2)振幅振幅:

17、2/12222204)( hA(3)初相初相:2202tg 故事：從前故事：從前, ,有一座山，山里有座廟，有一座山，山里有座廟，(廟里的銅磬不敲自響的故事廟里的銅磬不敲自響的故事)。共振共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現(xiàn)振幅出現(xiàn) 極大值極大值,出現(xiàn)劇烈振動(dòng)的現(xiàn)象。出現(xiàn)劇烈振動(dòng)的現(xiàn)象。(1)共振頻率共振頻率 :220r2(2)共振振幅共振振幅 :220r2hA若若 0 則則 r 0 Ar h/(2 0 ) 稱尖銳共振。稱尖銳共振。1. 位移共振位移共振0ddA2/12222204)( hA 2.速度共振速度共振速度共振時(shí)，速度速度共振時(shí)，速度與策動(dòng)力同相，一與策動(dòng)力同相，一周期內(nèi)策動(dòng)力總

18、作周期內(nèi)策動(dòng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的輸入的能量最大。能量最大。 2/ 122220m4) 1/(hv r= 0 Vm, r=h/2 v r=0速度振幅速度振幅 AEND7.3 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)彈性力時(shí)，可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)彈性力時(shí)，可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加是幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加位移滿足矢量疊加位移滿足矢量疊加振動(dòng)疊加原理振動(dòng)疊加原理主要討論兩種疊加形式：主要討論兩種疊加形式：（1）平行簡諧振動(dòng)疊加）平行簡諧振動(dòng)疊加同頻率同頻率不同頻率不同頻率（2）垂直簡諧振動(dòng)疊加）垂直簡諧振動(dòng)疊加同頻率同頻率不同頻率不同頻率0dd12212

19、xtx一一. 同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)分振動(dòng) :x1=A1cos( t+ 1) 2.合振動(dòng)合振動(dòng) :合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng), 其頻率仍為其頻率仍為 x =A cos( t+ )x2=A2cos( t+ 2)0dd22222xtx0dd2122212xxtxx設(shè)設(shè) x = x1+ x2)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA x =A cos( t+ )AA1A2 y x o 1 2 AxAyAx = A1cos 1 + A2cos 2由圖知：由圖知： Ay = A1sin 1 + A2si

20、n 2A2 = Ax2 + Ay2由：由：tg =AyAx3.兩種特殊情況兩種特殊情況 (1)若兩分振動(dòng)同相若兩分振動(dòng)同相 2 1=0（ 2k ，k=0,1,2,） (2)若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相 2 1= （ (2k+1) ， k=0,1,2,）如如 A1=A2 , 則則 A=0則則A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)則則A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱如如 A1=A2 , 則則 A=2A1)cos(212212221 AAAAA 2. 合振動(dòng)合振動(dòng)ttA)2cos()2cos(21212但當(dāng)?shù)?dāng) 2 1時(shí)，時(shí)， 2- 1 2+ 1x = x1+ x

21、2ttAxcos)( 二二. 同方向不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成1. 分振動(dòng)分振動(dòng) x1=Acos 1 t x2=Acos 2 t其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 隨隨緩變緩變隨隨快變快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的合振動(dòng)可看作振幅緩變的“簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)”合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)。xtx2tx1ttAtA)cos()(2212 3. 拍拍拍頻拍頻 : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù).合振動(dòng)的強(qiáng)弱合振動(dòng)的強(qiáng)弱A2(t)隨隨 t 變化的現(xiàn)象拍變化的現(xiàn)象拍(beat) ttAx)cos()cos(2221212 設(shè)拍周期為設(shè)拍周期為TbtATtA2cos2)(2cos212b122b12T12b2T2/ 112bT12 實(shí)例：實(shí)例：雙簧口琴、雙簧管雙簧口琴、雙簧管(oboe)、鋼琴、鋼琴(piano)調(diào)音調(diào)音(鋼琴與標(biāo)準(zhǔn)音叉聲鋼琴與標(biāo)準(zhǔn)音叉聲波形