長沙市一中2019屆高三月考試卷(五)數(shù)學(xué)(理科)

1、長沙市一中2019屆高三月考試卷(五)數(shù)學(xué)(理科)長沙市一中高三理科數(shù)學(xué)備課組組稿時(shí)量：120分鐘滿分：150分(考試范圍：集合、邏輯、算法、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù)、數(shù)列、推理與應(yīng)用、不等式、不等式證明、計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、概率)本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合A=2,0,1，集合B=x|x|<a且xZ，則滿足AB的實(shí)數(shù)a可以取的一個(gè)值是()A.3B.2C.1D.02. 若(12x)4=a°+a1x+

2、a2X2+a3x3+a4X4，則a°|+|af+血|+念|+|a4|的值為()22和4的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y=x圖象下方30個(gè)點(diǎn)，則落在E內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)約為A.1B.16C.81D.413. 如圖，設(shè)D是圖中邊長分別為的區(qū)域(陰影部分)，向D內(nèi)隨機(jī)拋擲A.15B.20C.5D.104.已知命題p:"a=1是x>0,x+a>2的充分必要條件”，命題q：x“x0R,x2+X02>o”，則下列命題正確的是()A. 命題B. 命題C. 命題D. 命題"pAq”是真命題"pA(nq)”是真命題“(np)Aq”是真命題是真命題5n則sinC5

3、"2a的值為()(np)A(nq)”3，-n、5.已知cos(6a=112A.3B.3C.32D.36已知函數(shù)f(x)=2a(x>2)則f(log45)等于(B)f(x+2)(x<2),A.25B.45C.3.5D.57.已知實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件大x-y+2>0x+y-4>0,目標(biāo)函數(shù)z=yax(aR)，若z取最2x-y-5<0值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)B.(1,0)C.(1,+s)D.(s,1)8. 形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1、2、3、4、5

4、可構(gòu)成的數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的概率為()1 3112A.6B.20C.d.15二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上9幕函數(shù)f(x)=xa(a為常數(shù))的圖象經(jīng)過(3,3)，則f(x)的解析式是.10. 函數(shù)f(x)=exlnx-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).11. 按下圖所示的程序框圖運(yùn)算：若輸出k=2,則輸入x的取值范圍是.開始T輔只需/上了1*|工=加+1，*心丘+1卜/輸岀:結(jié)束112. 數(shù)列an滿足：a1=2,a*=1-(n=2,3,4,)，則a12=.an-113. 已知函數(shù)f(x)=x-2|,若a0,且a,bR，都有不等式|a+b|+|a-

5、b|>|a|f(x)成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.14. 在厶ABC中有如下結(jié)論：“若點(diǎn)MABC的重心，貝UMA+MB+MC=0”，設(shè)a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，點(diǎn)MABC的重心.如果aMA+bMB+cMC=0，則內(nèi)角A的大小為;若a=3,則厶ABC的面積為.15. 給定集合A=a1,a2,a3,，an(nN,n3)，定義ai+aj(1wi<jwn,i,jN)中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩元素和的容量，用L(A)表示，若A=2,4,6,8，則L(A)=;若數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)集合A=a1,a2,a3,，am(其中mN*,m為常數(shù))，則L(A)關(guān)于m的表達(dá)式為.三、解

6、答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16. (本小題滿分12分)若盒中裝有同一型號(hào)的燈泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1) 某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率；(2) 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會(huì)議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報(bào)廢(不再放回原盒中)，求成功更換會(huì)議室的已壞燈泡前取出的次品燈泡只數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17. (本小題滿分12分)n1已知函數(shù)f(x)=2sin3xcos(3汁$)+(w>0的最小正周期為4n(1) 求正實(shí)數(shù)3的值；(

7、2) 在厶ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足2bcosA=acosC+ccosA,求f(A)的值.18. (本小題滿分12分)已知數(shù)列a*的前三項(xiàng)與數(shù)列bn的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，且ai+2a2+2務(wù)+2n1an=8n對(duì)任意的nN*都成立，數(shù)列b*+1b*是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；是否存在kN*，使得bkak(0,1)?請(qǐng)說明理由.19. (本小題滿分13分)某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為x元(7<xw10)時(shí)，一年的產(chǎn)量為(11x)2萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售，則稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護(hù)

8、環(huán)境，用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a(1waw3).(1) 求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤L(x)與出廠價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為多少元時(shí)，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤20. (本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+I,且在(0,+上單調(diào)遞增，若對(duì)任意x,y(0,+1111R都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，數(shù)列an滿足：a1=f(1)+1,f(石)+f(+右)=2an+12an2an+12an0.設(shè)Sn=a2a2+a2a3+a2a2+a-1an+aari+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任

9、意x、y都有：g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，若g(1)=1,正項(xiàng)數(shù)列bn滿足：bn=g(2n),Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，試比較4Sn與T的大小.21. (本小題滿分13分)定義F(x,y)=(1+x)y，其中x,y(0,+).(1) 令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)，其圖象為曲線C,若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C在X0(4<X0<1)處有斜率為8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 令函數(shù)g(x)=F(1,log2(lnx1)ex+x)，是否存在實(shí)數(shù)x°1,e,使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=X0處的切線與y軸垂直？若存在，求出X0的值；若不存在，

10、請(qǐng)說明理由(3) 當(dāng)x,yN，且x<y時(shí)，求證：F(x,y)>F(y,x).題號(hào)12345678答案ACDCBBCD數(shù)學(xué)（理科）答案、選擇題、填空題:12.-113.0,414.15.2m-39. f(x)=x110.111.(28,57三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16. （本小題滿分12分）c11解：（1）每次取到一只次品的概率P1=CC3=4，119則有放回連續(xù)取3次，其中2次取得次品的概率p=c3q）2（11）=64.（5分）依題知X的可能取值為0、1、2、3.（6分）且P（X=。）=即3,399P（X=1）=聞=44，3299P

11、（X=2）=石勺勺=云，32191八P（X=3）=石荀運(yùn)為=云.（8分）則X的分布列如下表：X0123P3_9_旦1444220220(10分)ex=0專+1x44+2喘+3哦=妝12分)17. (本小題滿分12分)nn1解:(1)/f(x)=2sin®x(cos3xcos6sinwxs%)+(2分)=J3sinwxcoswxsin2wx+；fsin2wx1(1cos2wx片2=sin(2wx+6).(5分)又f(x)的最小正周期T=4n貝Uw=.(6分)2 w4(2)由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(

12、A+C).又A+B+C=n貝y2sinBcosA=sinB.(8分)1n而sinBO,貝VcosA=.又A(0,n，故A=3.(10分)由(1)f(x)=sin(X+，從而f(A)=sin(n><2+=sin=半.(12分)18. (本小題滿分12分)解：(1)已知印+2a2+22a3+-+2n爲(wèi).=8n(nN*).n>2時(shí)，a1+2a?+2務(wù)+2n務(wù)-1=8(n1)(nN). 一得2n1an=8,解得an=24n，在中令n=1,可得aj=8=241,所以an=24n(nN*).(4分)由題意b1=8,b2=4,b3=2，所以b2b1=4,b3b2=2,數(shù)列bn+1bn的公差

13、為2(4)=2,bn+1bn=4+(n1)>2=2n6,bn=b1+(b2b1)+(b3b2)+(bnbn-1)=8+(4)+(2)+(2n8)=n27n+14(nN*).(8分)(2)bkak=k?一7k+142°：當(dāng)k4時(shí)，f(k)=(k2，+2°*單調(diào)遞增，且f(4)=1,所以k>4時(shí)，f(k)=k27k+1424一k>1.又f(1)=f(2)=f(3)=0，所以，不存在kN*，使得bkak(0,1).(12分)19. (本小題滿分13分)解：(1)依題意，L(x)=(x3)(11x)2a(11x)2=(x3a)(11x)2,x7,10.(4分)(2

14、)因?yàn)長'x)=(11x)22(x3a)(11x)=(11x)(11x2x+6+2a)=(11x)(17+2a3x).由L'x)=0，得x=ll7,10或x=耳+仝.(6分)因?yàn)镵aw3,所以詈w口+23.1917+2a 當(dāng)寸w+aw7,即卩1waw2時(shí)，L'刈在7,10上恒為負(fù)，則L(x)在7,10上為減函3 3數(shù)，所以L(x)max=L(7)=16(4a).(9分) 當(dāng)7<+aw23即2<aw3時(shí)，L(x)max=L(遼+弓=27(8a)3.(12分)即當(dāng)1waw2時(shí)，則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為7元時(shí)，年利潤最大，為16(4a)萬元.當(dāng)2<aw3時(shí)，則每件

15、產(chǎn)品出廠價(jià)為17+空元時(shí)，年利潤最大，為77(8a)3萬元.(13分)32720. (本小題滿分13分)解：(1)當(dāng)x,y(0,+g時(shí)，有f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1得f(1)=2f(1)，得f(1)=0，所以a1=f(1)+1=1.(1分)111111因?yàn)閒(2T)+f(+肓)=0，所以f(廠47)=0=f(1).2an+12an2an+12an4an+14an1曠4,(3分)1an=/4n3又因?yàn)閥=f(x)在(0,+上是單調(diào)增函數(shù)，所以一占=1,即亠-4an+14anan+111所以數(shù)列/是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以7=4n3,所以anan22_1_1r1-an

16、an+1=_(4n3)(4n+1)44n34n+1c111111111八0=4【11+19+齊時(shí)=11時(shí).(5分)2由于任意x,yR都有g(shù)(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，則g(2x)=2g(x)+2x,1121121c2111-g(1)=2gq)+2(2=22g(4)+2q)+2=2g()+2+2=222g()+2&)2+22+2=23g(*)+2+；+1"=2ng&)+*+2+十+寺+2=1,1剛21=尹，即卩bn=尹.1又bn>0,bn=尹(9分)11111Tn=+孑+_+歹=1尹，又4Sn=1二2222，4n+1當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，4n+1&g

17、t;2n,.4Sn>Tn；(10分)當(dāng)n>5時(shí)，2n=C+C+Cn1+cn>1+2n+1)=1+n2+n.而n2+n+1(4n+1)=n23n=n(n3)>0，故456(13分)(用數(shù)學(xué)歸納法證明參照計(jì)分)21. (本小題滿分13分)解：(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)=x3+ax2+bx+1，設(shè)曲線C在x0(4<x0<1)處有斜率為8的切線，又由題設(shè)知Iog2(x3+ax2+bx+1)>0,f'x)=3x2+2ax+b,-3x2°+2axo+b=-8存在實(shí)數(shù)b使得-4<Xo<-132x0+axo

18、+bxo>O 有解，(3分)由得b=83x02ax°，代入得2x°ax°8<0,由22xo+axo+8>O有解，-4<xo<-1得2*4)2+a*4)+8>0或2X(1)2+a«1)+8>0,a<10或a<10,.a<10.(5分)x(2)/g(x)=(lnx1)e+x,x1g'x)=(lnx1)zx+(lnx1)(ex)+1=+(lnx1)ex+1=(+lnx1)ex+1.(6分)xx設(shè)h(x)=-+lnx1.則h，x)=吉+-=x1,xxxx當(dāng)x1,e時(shí)，h'x)A0.1h(x)為增函數(shù)，因此h(x)在區(qū)間1,e上的最小值為Ini=0,即-+Inx1>0.x1，z1gx0)=(xo當(dāng)X。1,e時(shí)，ex°>0,+Inx°10,xo+lnxo1)ex0+1>1>0.(8分)曲線y=g(x)在點(diǎn)x=xo處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g'x6)=o有實(shí)數(shù)解.而g'x(>6，即方程g'x6)=6無實(shí)數(shù)解.石ln(1+x)故不存在實(shí)數(shù)xo1,e,使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=