高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)基本不等式重要不等式均值定理習(xí)題及詳解

1、高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)基本不等式重要不等式均值定理習(xí)題及詳解、選擇題1.（2010山東東營質(zhì)檢）在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是（）1 y=x+X1y=COSX+cosxC.y=x+3,/x2+2D.y=ex+4x2e答案D解析1x<0時(shí)，y=x+xW2，故A錯(cuò)；0<x<n，等號(hào)不成立,故B錯(cuò)；x2+2>.2,.y=-x2+2+錯(cuò)，.選D.B.2.（文）（2010山東濰坊質(zhì)檢0<x<n1ovcosxv1，滬COSX+cosx2中11>2中等號(hào)也取不到，故C.X2+2212)已知x>0,y>0，且x+-=1，若x+2y>m+2m恒成立，

2、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A.m>4或mW2B.m>2或mW4C.2<m<4D.4<m<2答案D解析'/x>0,y>0,x+2y=（x+2y）（x+=4+號(hào)+行4+2-鬥討8,當(dāng)且僅當(dāng)幾=:，即x=込時(shí)取等2 122號(hào)，又x+y=1,x=4,y=2,Z.(x+2y)min=8，要使x+2y>m+2m恒成立，只需(x+2y)min>mD.不存在答案A2a62解析由已知an>0,a7=a6+2a5，設(shè)an的公比為q,貝Ua6q=a6+,qq2=MO,Tq>O,.q=2,/,aman=4a1,.a12qm+n2=16a12,

3、.m+n2=4,'m+n=6,141(11_m+n=6(m+n)(m+n廠6Jn4m5+一+mn65+罟=3,等號(hào)在m=譽(yù)即n=2m=4時(shí)成立.1a3.（2010茂名市?？迹癮=1”是"對任意的正數(shù)x,均有x+->1”4xA.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件答案A解析a=4,x>0時(shí)，x+a1x=1，等號(hào)在x=2時(shí)成立，又a=4時(shí),ax+一=xx4abw1成立，a,b都是正數(shù)時(shí),由1=a+b>2,ab得4abw1成立，故a+b=1?4ab<1,但當(dāng)4abw1成立時(shí)，未必有2Pxf=4也滿足x+苗1，故選a+b=1,

4、女口a=5,b=1滿足4abw1，但一5+1豐1，故選1 115.若a>0,b>0,a,b的等差中項(xiàng)是2,且a=a+；,3=b+，則a+B的最小值為（）4.(2010西柳州市模考)設(shè)a,bR，則“a+b=1”是“4ab<1”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件答案A解析a,b中有一個(gè)不是正數(shù)時(shí)，若a+b=1,顯然有A.A. 2B.3C.4D.5答案D11解析:?為a、b的等差中項(xiàng)，a+b=x2=1.1111a+b1a+1+b+1?1+1+1=1+苛=1+ab_a+b(a+bf1,abw-,abw4=4.原式1+4.x2+y2+2x4

5、y+1=0截得的弦長為4,'a+B的最小值為5.故選D.6.(文)若直線2axby+2=0(a>0,b>0)被圓11則-+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).AB,AC,AD兩兩互相垂直，則ABC、的最大值為（）B.16C.32D.64答案的最小值是()abB. 2C.3D.4答案D22解析圓(x+1)+(y2)=4,弦長為4,故為直徑，即直線過圓心（1,2）,.a+b=1.11'a+b=a+b)=2+b+4.'ab（理）半徑為4的球面上有A、B、C、D四點(diǎn),ACD、ADB面積之和Saabc+Sacd+SADB解析根據(jù)題意可知，設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則可知A

6、B,AC,AD為球的內(nèi)接長方體的一個(gè)角.故a2+22亠'1b+c=64,而Sabc+Sacd+Sadb=?(ab+ac+222222a+b+a+c+b+cbc)wa2+b2+c22=32.等號(hào)在a=b=c=譽(yù)時(shí)成立.7.2:（文）已知c是橢圓詁+b2b+c2=1（a>b>0）的半焦距，貝U的取值范圍是（）C.(1,+m)(1,2)B.(.2,+)D.(1,2答案Db+c解析由題設(shè)條件知，a<b+c,r>1,a2222b+c+2bc2b+cb+cw22,故選D.a，aaa2=b2+c2,2a22任意一點(diǎn)，若|PF1|2|PF2|的值為8a,則雙曲線的離心率e的取值

7、范圍是（）A(1,C.(1,+)3B.(1,2D.(1,3（理）已知F1、F2分別為雙曲線予一b2=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的I答案解析IPFifIPF2I2a；F2T=希+|PF2|+4a>4a+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)議廠|PF2|,即|PF2|=2a時(shí)取等號(hào).這時(shí)|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|>IF1F2得6a>2c,即e=7<3,(1,3.a8.(2010南昌市模擬)已知a,bR+,a+b=1,M=2a+2b,貝VM的整數(shù)部分是()A.1B.2C.3D.4答案B解析a,bR+,a+b=1,.0<a<1，設(shè)

8、t=2a，貝Ut(1,2),M=2a+2b=2a+21a=t+f>22，等號(hào)在t=空時(shí)成立，又t=1或2時(shí)，M=3,A2.2wM<3，故選B.a1b9. (2010河南新鄉(xiāng)調(diào)研)已知全集R，集合E=x|b<x<,F=x|.ab<x<a,M=x|b<xw,ab，若a>b>0，則集合M等于()A.EAFB.EUFD.(?rE)AFC.EA(?rF)答案C解析'/a>b>0,a+aa+b口'a=ab>b=b,如圖可見集合M在E中，不在F中，故M=EA?rF.M1(、i應(yīng)4K1*t1Ea+b10. （文）（2010

9、衡水市?？迹┮阎狝BC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點(diǎn)，若AB=?Afe（>0）,AC=痔（爐0），則1+4的最小值是（）7A.9B.29C. 5D.2答案D1解析ED=ADAE=2（AB+AC）-AE=2(>E+EF=AFAE.>-1ED與EF共線，且AE與AF不共線,衛(wèi)21,'>+1=2,141+_=_>12入+1=2l5+l+45>2，等號(hào)在_4尸3,（理）（2010廣東省高考調(diào)研）如圖在等腰直角厶ABC中，點(diǎn)P是斜邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若AB=mAM,AC=nAN,

10、則mn的最大值為（）A.1B.1D.3C.2答案B解析以AC、AB為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角ABC的腰長為2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，VAB=mAM,AC=nAN,fABfAC22am=m，an=-n，川0，m、Nn，0，直線MN的方程為學(xué)+nX=1,mn直線MN過點(diǎn)P(1,1)，三+2=1,m+n=2,.m+n>2,mn,2m+nmnw=1,4當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào),mn的最大值為1.二、填空題11. （2010山東聊城、山東鄒平一中?？迹┮阎猙>0,直線b2x+y+1=0與ax-（b2+4）y+2=0互相垂直，則ab的最小值為.答案42

11、222b+4b+44解析兩直線垂直，ab-（b+4）=0,.£=丁廠，：b>0,.ab=b+匚4,4等號(hào)在b=4,即b=2時(shí)成立.12.(文)(2010重慶文,12）已知t>0,則函數(shù)y=2t24t+1t的最小值為答案2t24t+11解析y=t=t+14t4=2.1因?yàn)閠>0,y=t+4>21等號(hào)在t=；，即t=1時(shí)成立.（理）（2010安徽合肥六中質(zhì)檢）已知三個(gè)函數(shù)y=2x,y=x2,y=?的圖象都過點(diǎn)A,且點(diǎn)A在直線m+科=1(m>0,n>0)上VIog2m+log2n的最小值為答案4xy解析由題易得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,因?yàn)辄c(diǎn)A在直線石+

12、盒=1（m>0,n>0）上，所以mn>16，所以log2m+log2n=log2(mn)>4,故log2m+log2n的最小11113. （文）（2010南充市）已知正數(shù)a,b,c滿足：a+2b+c=1則；+匚+；的最小值為abc答案6+42111a+2b+ca+2b+ca+2b+c£ba解析1+b+c=+T+-7-=Lb+4>22+2+22+4=6+4.2,等號(hào)在乎=b，a=a，b=學(xué)同時(shí)成立時(shí)成立.即a=c=2b=1-¥時(shí)等號(hào)成立.（理）（2010北京延慶縣）已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2，則xy的最大值是解析誡

13、+昭lg2,=2,即2x+3y=2，*3y=1，樣如3y)-3寧.)2 111=匸，等號(hào)在x=3y,即x=2y=§時(shí)成立.14. (文)(2010重慶一中)設(shè)M是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ABAC=2.3，/BAC=30°定義f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分別是MBC,MCA,MAB的面積.若f(M)=Jx,y,14則-+4的最小值是.xy答案18解析/Abac=|AB|AC|cos30°3=lABI|AC|=2,3,|AB|AC|=4,1由f(M)的定乂知，Szabc=2+x+y,又Sbc=2AB|AC|sin30=1,x+y=*x>0,y>0)+

14、4=2(x+y)£+渚2$+y+等尸2(5+2回=佗，等號(hào)在、卑，即y=2x=g時(shí)成立|1+4丫=18立，X十ymin18(理)(2010江蘇無錫市調(diào)研)設(shè)圓x2+y2=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,則AB的最小值為.答案2xy解析由條件知切線在兩軸上的截距存在，且不為零，故設(shè)切線方程為a十b=i,則ab62=1，a十ba2b2=a2+b2>2ab,切線與兩軸交于點(diǎn)A(a,O)和(0,b),不妨設(shè)a>0,b>0,ab>2,則AB=|AB|='a2+b2.2ab>2.三、解答題15. 已知aB都是銳角，且sin3=sinacos(a+3

15、.n(1) 當(dāng)a+3=4,求tan3的值；(2) 當(dāng)tan3取最大值時(shí)，求tan(a+3)的值.2fn解析(1)t由條件知，sin3=寧sin4-3,3 1整理得sin3-2cos3=0,1為銳角，二tan3=3.2(2)由已知得sin3=sinocosocos3sin«sin3,2an3=sinocosasinatan3,sinacosasinacosaan3=221+sina2sina+cosa=tana=1v1=V22ta門爲(wèi)十12tana+十2,2"tana1當(dāng)且僅當(dāng),=2tana時(shí)，取“=”號(hào)，tanaana=¥時(shí),tan3取得最大值護(hù),tana+tan

16、3此時(shí)，tan(a+3=_2.1tanotan316. (文)(2010江蘇鹽城調(diào)研)如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD,現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C,其中AB=30米，AD=20米.記三角形花園APQ的面積為S.(1)當(dāng)DQ的長度是多少時(shí)，S最??？并求S的最小值.要使S不小于1600平方米，則DQ的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解析設(shè)DQ=x米(x>0)，則AQ=x+20,QD=AQDC=AP，xx+2030=AP，30x+20AP=x1貝yS=扌XAPXAQ=15x+202x解析(1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為

17、(32Q+3)萬元，每萬件銷售價(jià)為=15(x+40)>1200，當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)取等號(hào).xxX150%+-X50%,Q32Q+3x年銷售收入為(一QX150%+QX50%)-Q3 1=2(32Q+3)+2X,3i年利潤W=2(32Q+3)+尹(32Q+3)-x21 x+98x+35=；(32Q+3x)=(x>0).2 2x+1(2)令x+1=t(t>1)，則t1222令y=0，則(xa)+b=a+(b2)，+98t1+35t32W=2!=502+T.t>1,.冷+32>22=8,即卩WW42,t32當(dāng)且僅當(dāng)2=*，即t=8時(shí)，W有最大值42,此時(shí)x=7.即當(dāng)年廣

18、告費(fèi)為7萬元時(shí)，企業(yè)利潤最大，最大值為42萬元.17. (文)(2010廣州市調(diào)研)已知點(diǎn)F(0,1)，直線I:y=1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線I的垂線，垂足為Q，且QpQF=FpFQ.(1) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2) 已知圓M過定點(diǎn)D(0,2)，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，丨1丨2設(shè)|DA|=l1，|DB|=I2,求丁+嚴(yán)的最大值.l2l1解析(1)設(shè)P(x，y)，則Q(x，1)，QPQF=FPFQ，(0，y+1)(x,2)=(x，y1)(x，2).22即2(y+1)=x2(y1)，即x=4y，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=4y.2(2)設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為

19、(a，b)，貝Ua=4b圓M的半徑為|MD=a2+b222222圓M的方程為(xa)+(yb)=a+(b2).整理得，x22ax+4b4=0將代入得x22ax+a24=0,解得x=a±2,不妨設(shè)A(a2,0),B(a+2,0),1=寸(a-24,12=寸(a+24.22211|2li+122a+16+64當(dāng)且僅當(dāng)a=戈.2時(shí),等號(hào)成立.】2+111l12ll12當(dāng)a=0時(shí)，由得，計(jì)孑2.故當(dāng)a=±2.2時(shí)，¥+f的最大值為2,2.222(理)已知橢圓C:字+器=1(a>b>0)以雙曲線xy2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢

20、圓C的方程；若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn). 求證：直線MA,MB的斜率之積為定值； 若直線MA、MB與直線x=4分別交于點(diǎn)P、Q,求線段PQ長度的最小值.分析由兩曲線關(guān)系可求得橢圓方程中的系數(shù)a、b,即可寫出橢圓方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)A,B坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，可列出kMAmb的表達(dá)式，利用M在橢圓上可消元，通過計(jì)算驗(yàn)證結(jié)果為常數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)A、M、P三點(diǎn)共線和M、B、Q三點(diǎn)共線就可以找到點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求出線段PQ長度的最小值.x222解析(1)易知雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)為(一2,0),(2,0)，離心率為禹，故在橢圓C中2a=2,e=2,c=3,b=1,故橢圓C的方程為x+y2=1.設(shè)M(X0,y。)，(x°M戈)，由題易知A(2,0),B(2,0)，貝VkMA=亠,kMB=X0+2X02yoyoyo2故klMAklMB=2,點(diǎn)M在橢圓C上,2則Xr+yc2=1,xo+2xo2xo42yo2xo44直線MA,MB的斜率之積為定2Xo12即yo1"44（Xo4），故klMAklMB