高中數(shù)學(xué)難點解析教案06函數(shù)值域及求法

1、高中數(shù)學(xué)難點解析難點6函數(shù)值域及求法函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題難點磁場221()設(shè)m是實數(shù)，記M=m|m1,f(x)=log3(x4mx+4m+m+).m1(1) 證明：當(dāng)mM時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則mM.(2) 當(dāng)mM時，求函數(shù)f(x)的最小值.求證：對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.案例探究例1設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為入(入1),畫面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與

2、寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求入-3，那么入為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積34最??？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬級題目知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識錯解分析：證明S(入)在區(qū)間2上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化34為函數(shù)的最值問題來解決技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決2222門0代入上式得:S=5000+4410解：設(shè)畫面高為xcm,寬為入xcm,則入x=4840,設(shè)紙張面積為Scm，則S=(x+16)(入x+10)=2入x

3、+(16入+10)x+160,將x=5548405即入=-(-0,又J2-，故838WS(入”7入2)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運算能力，屬級題目知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.技巧與方法：解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.11(1) 解：當(dāng)a=時，f(x)=x+222xf(x)在區(qū)間1,+g)上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1,+g)

4、上的最小值為f(1)=7.22x+2x+a2(2) 解法一：在區(qū)間1,+g)上，f(x)=0恒成立=x+2x+a0恒成立x設(shè)y=x+2x+a,x1,+g)22y=x+2x+a=(x+1)+a-1遞增，當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a-3.解法二：f(x)=x+a+2,x1,+g)x當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a-3.錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：(1) 求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域

5、，都必須考慮函數(shù)的定義域(2) 函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題.此類題要求考此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決生具有較強的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題21y=x+x7.A.(o,一4332C.,+o)1(x)的值域是()27、B.一，+00)433-1D.(o,一一-22y=x+1-2x的值域是(A.(o,1B.(o,-1C.

6、RD.:1,+o)二、填空題3. ()一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于(Y)2千米，那么這批物資全部運20到B市，最快需要小時(不計貨車的車身長)設(shè)X1、X2為方程4x24mx+m+2=0的兩個實根，當(dāng)m=時，x/+x22有最小值.三、解答題5. ()某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x12一一一x(萬兀)(0x1,/(xm)+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R.m1反之，若f(x)對所有實

7、數(shù)x都有意義，貝y只須x24mx+4m2+m+10,令A(yù)vO,即16m2m114(4m+m+)v0,解得m1,故mM.m1221解析：設(shè)u=x4mx+4m+m+,Ty=log3U是增函數(shù)，.當(dāng)u最小時，f(x)最小.m1lUu=(x2m)2+m+一1一,顯然，當(dāng)x=m時，u取最小值為m+1，此時f(2m)=log3(m+1)m-1m1m1為最小值11(3) 證明：當(dāng)mM時，m+=(m1)+13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立.m1m11Iog3(m+)log33=1.m1殲滅難點訓(xùn)練、1.解析：Tm1=x2在(a,1)上是減函數(shù)，m2=丄在(m，1)上是減函數(shù)，2x2y=x2+1在x(a，丄)上為減

8、函數(shù)X2y=x2+11(xw)的值域為7、,+a)X24答案：B2.解析：令-1-2x=t(t0),則x=1-t22.1-t212-y=+t=(t1)+1w122值域為(a,1.答案：A二、3.解析：t-400+16X(V)2/V=400+2、.16=8.V20V400答案：8丄_,、一，m+2222c2m+24. 解析：由韋達定理知：X1+x2=m,X1X2=,X1+X2=(X1+X2)2x1x2=m=(m1、416)217,又X1,X2為實根，二0.mW1或m2,y=(m1)217在區(qū)間(8,1)416上是減函數(shù)，在2,+8)上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸.故m=1時,4_1

9、ymin=答案：112利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)Zx5時，只能銷售500臺，所以三、5.解：差，由題意，當(dāng)1-5x_x_(0.5+0.25x)(0蘭x蘭5)212(5552)-(0.50.25x)(x.5)12-0.25xy=4.75x1x20.5(0Ex蘭5)2(x1)1 2b(2)在05(百臺)時，yv120.25X5=10.75(萬兀h所以當(dāng)生產(chǎn)475臺時，利潤最大.0蘭x蘭5(3)要使企業(yè)不虧本，即要求x4.7521.56250.1(百臺)或5vxv48(百臺)時,即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本.6.解：(1)依題意(a21)

10、x2+(a+1)x+10對一切xR恒成立，當(dāng)a21豐0時，其充要條件是-1，即占=(a+1)2_4(a2-1).又a=1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意35.故a為3所求.(2)依題意只要t=(a21)x2+(a+1)x+1能取到(0,+)上的任何值,則f(x)的值域為R,故有丿a2_105，解得1va03意，1wa0,y0,z60.卷;假定每周總產(chǎn)值為S千元，則S=4x+3y+2z，在限制條件之下，為求目標(biāo)函數(shù)S的最大值，由消去乙得y=3603x.將代入得：x+(3603x)+z=360,z=2x/z60,x30.再將代入S中，得S=4x+3(3603x)+22x,即S=x+1080.由條件及上式知，當(dāng)x=30時，產(chǎn)值S最大，最大值為S=30+1080=1050(千元)得x=30分別代入和得y=36090=270,z=2X30=60.每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元.8解：如圖所示：設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=abab-c2S1=nah+nbh=(ab),S2-(),c2.fg=色=4ab(a巴S2c(a+bc)=120234abx又c=222ab=cab二ex2ab二乞(x21)I2代