1.2向量的概念及運算ppt課件

1、高校理科通識教育平臺數(shù)學(xué)課程微積分學(xué)(二)多元微積分學(xué)空間解析幾何空間解析幾何授課教師 孫學(xué)峰向量代數(shù)與空間解析幾何1 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1. 向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 稱為向量稱為向量.(或矢量或矢量)2. 向量的幾何表示法向量的幾何表示法: 用一條有方向的線段來表示向量用一條有方向的線段來表示向量.以線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.ABa以A為起點, B為終點的向量, 記為AB, , a .a向量AB的大小叫做向量的模. 記為 |AB| 或 . |a( 一一 ) 向量的

2、概念向量的概念3. 自由向量自由向量ab自由向量自由向量: 只有大小、方向只有大小、方向, 而無特定起點而無特定起點的向量的向量. 具有在空間中可以任意平具有在空間中可以任意平移的性質(zhì)移的性質(zhì).,ba與當向量 大小相等且方向相同,記作相等與稱 .baba特別特別: 模為模為1的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量.它的方向可以看作是任意的.1. 向量加法向量加法.(1) 平行四邊形法則設(shè)有 (若起點不重合, 可平移至重合). 作以 為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 稱為 的和, 記作ba、ba與.baba、baab(2) 三角形法則baab將 之一平行移動,使 的起點與

3、 的終點重合, 則由 的起點到 的終點所引的向量為ba、aba.bab( 二二 ) 向量的加減法向量的加減法2. 向量加法的運算規(guī)律向量加法的運算規(guī)律.(1) 交換律: abbabaabccbcba(2) 結(jié)合律:)()(cbacba例如例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3. 向量減法向量減法.(1) 負向量: 與 模相同而方向相反的向量, 稱為 的負向量.記作aa. aaa(2) 向量減法.規(guī)定:)( baba 平行四邊形法則平行四邊形法則.將 之一平移, 使起點重合, 作以 為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 為 ba、ba和.ba 三角形法則三角形法則.將 之一平

4、移, 使起點重合, 由 的終點向 的終點作一向量, 即為 ba、.baabbaabbaabbba1. 定義定義實數(shù)與向量 的 為一個向量.aa乘積其中: |aa當 0時, ;同向與 aa當 0時, ;反向與 aa當 = 0時, .,它的方向可以是任意的oa2. 數(shù)與向量的乘積的運算規(guī)律數(shù)與向量的乘積的運算規(guī)律:(1) 結(jié)合律:auauau)()()(2) 分配律:auaau)(baba )(a( 0)( 三三) 數(shù)與向量的乘法數(shù)與向量的乘法結(jié)論結(jié)論: 設(shè)設(shè) 表示與非零向量表示與非零向量 同向的同向的單位向量單位向量.aa那么aaa|或|1aaaaa定理定理1 : 兩個非零向量兩個非零向量 平行

5、平行ba與. ba存在唯一實數(shù)，使得(方向相同或相反)例例1 : 在平行四邊形在平行四邊形ABCD中中, 設(shè)設(shè)AB= , AD =ab試用 表示向量MA, MB, MC 和MD.ba和其中, M是平行四邊形對角線的交點.解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCM1. 點在軸上投影點在軸上投影設(shè)有空間一點A及軸u, 過A作u軸的垂直平面,平面與u軸的交點A叫做點A在軸u上的投影.AAu( 四四 ) 向量在軸上的投影向量在軸上的投影2. 向量在軸上的投影

6、向量在軸上的投影.設(shè)有向線段AB的起點A和終點B在軸u上的投影分別為點A 和B . 定義定義BBAAu向量AB在軸u上的投影向量或射影向量.稱有向線段A B 為如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，xeBA則稱 x 為向量 AB 在軸u上的投影，記作ABjuPr即xABjuPr則向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue顯然；ABjuPrBA| |ABjuPrBA當 與u軸同向時，BA當 與u軸反向時，BA3. 兩向量的夾角兩向量的夾角設(shè)有非零向量ba,(起點同).b) ,(baa規(guī)定：正向間位于0到之間的那個夾角為 的夾角,記為 或) ,(ba) ,(abba,ba,(1) 假設(shè) 同向，

7、那么ba ,0) ,(ba(2) 假設(shè) 反向，那么ba ,) ,(ba(3) 假設(shè) 不平行，那么ba ,), 0() ,(ba4. 向量的投影性質(zhì)向量的投影性質(zhì).定理定理 2. (投影定理投影定理) 設(shè)向量設(shè)向量AB與軸與軸u的夾角的夾角為為那么 PrjuAB = | AB |cos BBAAuB1定理定理3 兩個向量的和在軸兩個向量的和在軸u上的投影等于兩個上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和。向量在該軸上的投影的和。推論推論:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定

8、理定理4: 實數(shù)實數(shù)與向量與向量 的乘積在軸的乘積在軸u上的上的投影，等于投影，等于乘以向量乘以向量 在該在該軸上的投影。軸上的投影。aa二二. . 空間直角坐標系與空間向量的坐標表示空間直角坐標系與空間向量的坐標表示1. 空間直角坐標系的建立空間直角坐標系的建立ozxyzxy x軸(橫軸)、 y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個空間直角坐標系, 又稱笛卡爾(Descarstes)坐標系，點O叫做坐標原點.o(一一) 空間直角坐標系空間直角坐標系2. 坐標面坐標面. 由三條坐標軸的任意兩條確定的平面, 稱為坐標面, 分別叫x y面. y z面、z x面, 它們將空間分成八個卦限.zIVVIVV

9、II0 xyVIIIIIIIII1. 點在空間直角坐標系中的坐標表示點在空間直角坐標系中的坐標表示.RQP (x, y, z)記: 點M為M (x, y, z)OxyzMxyz(二二) 空間向量的表示空間向量的表示(1) 若點M在yz面上, 那么 x = 0; 在zx面上, 那么 y = 0; 在xy面上, 那么 z = 0.(2) 若點M在 x 軸上, 那么 y = z = 0在 y 軸上, 那么 x = z = 0在 z 軸上, 那么 x = y = 0特別特別:2. 空間向量的坐標表示空間向量的坐標表示(1). 起點在原點的向量OM設(shè)點 M (x, y, z)以 i, j, k 分別表示

10、沿 x, y, z軸正向的單位向量, 稱為基本單位向量. OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC = xi + yj + zkx, y, z,分別是OM 在三坐標軸上的投影, 稱為OM 的坐標.zijkMoxyCABzyxN簡記為 OM =x, y, z稱為向量OM的坐標表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：22|NMONOM222zyx從而：222|OCOBOA222zyxOM(1)(2). 起點不在原點O的任一向量 a = M1M2設(shè)點 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2

11、 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1為向量a的坐標表示式記 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分別為向量 a 在三個坐標軸上的投影, 稱為a的坐標.zxyM1M2ao22212xyzM Maaa由此得兩點間距離公式：由此得兩點間距離公式：222212121()()()xxyyzz22212212121()()()MMxxyyzz 12,xyzaM Ma aa(3). 運算性質(zhì)設(shè) a =ax , ay , a

12、z, b =bx , by , bz, 且為常數(shù) a b = ax bx , ay by , az bz a = ax , ay , az證明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = ax + bx , ay + by , az + bz (4) 兩向量平行的充要條件.設(shè)非零向量 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 即ax

13、 =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個分母為零相應(yīng)的分子也為零. a / bzzyyxxbababa(*) a / b a = b那么(為常數(shù))例如：4, 0, 6 / 2, 0, 31. 方向角方向角: 非零向量非零向量a 與與x, y, z 軸正軸正向夾角向夾角, , 稱為稱為a 的方向的方向角角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦方向角的余弦 cos, cos, cos 稱為方向余稱為方向余弦弦.3. 向量的模與方向余弦的坐標表達式向量的模與方向余弦的坐標表達式故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a |

14、cosayzx0設(shè)a =ax, ay, az,(三三) 向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式又：222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa(4)(5)由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)設(shè)ao是與a同向的單位向量ao|aa222222222,yxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )(7)例例2. 已知兩點已知兩點M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 計算向量計算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = 1, 1, 2|M1 M2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例3: 在在z軸上求與兩點軸上求與兩點 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距離的點等距離的點.解: 設(shè)該點為M(0, 0, z)由題設(shè) |MA| = |MB|.即:22