山東建筑大學(xué)材料力學(xué)第七章~1

1、應(yīng)力和應(yīng)變分析應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論第第 七章七章目錄目錄7. 1 應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)概述構(gòu)件內(nèi)不同的點(diǎn)有不同的應(yīng)力。一點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。構(gòu)件內(nèi)不同的點(diǎn)有不同的應(yīng)力。一點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。通過一點(diǎn)的截面可以有不同的方位，截面上的應(yīng)力又隨截面的通過一點(diǎn)的截面可以有不同的方位，截面上的應(yīng)力又隨截面的方位而變化。方位而變化。例例：軸向拉伸桿：軸向拉伸桿, ,包圍包圍 A 點(diǎn)以縱橫六個(gè)截面從桿內(nèi)截取單元體。點(diǎn)以縱橫六個(gè)截面從桿內(nèi)截取單元體。P PP PAAP PP PA法一法一單元體的左，右兩側(cè)面是桿件橫截面的一部分；上，下，前，單元體的左，右兩側(cè)面是桿件橫截面的一部分；上，

2、下，前，后四個(gè)面都是平行于軸線的縱向面。后四個(gè)面都是平行于軸線的縱向面。AFN AAFN A AAP PP PA法二法二單元體的四個(gè)側(cè)面雖與紙面垂直，但于桿件軸線既不平行也不單元體的四個(gè)側(cè)面雖與紙面垂直，但于桿件軸線既不平行也不垂直。垂直。AP PP PA A cos22sin2 2、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征 一，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)一，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合，稱為，受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合，稱為 一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2）構(gòu)件

3、同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；（3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的。P PAa ab bc cd dA二、原始單元體法二、原始單元體法 從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的單元體，如果各側(cè)面（單元體，如果各側(cè)面（一般為一般為橫截面橫截面）上的應(yīng)力均為已知，）上的應(yīng)力均為已知，則這樣的單元體稱為則這樣的單元體稱為原始單元體法。原始單元體法。 P PA Aa ab bc cd dA 單元體特征單元體特征單元體的尺寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；單元體的尺

4、寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等，等于通過任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等，等于通過 A 點(diǎn)的平行面點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。bISFIyMzzSz* a ab bc cd dA 單元體的應(yīng)力狀態(tài)就可以代表一點(diǎn)的的應(yīng)力狀態(tài)單元體的應(yīng)力狀態(tài)就可以代表一點(diǎn)的的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類三、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體單元體中，有一個(gè)特殊中，有一個(gè)特殊的的單元體，單元體，在這個(gè)在這個(gè)單元體單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。側(cè)面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。這樣的這樣的單元體單元體稱為該點(diǎn)處的稱為該點(diǎn)處的 主主單元體單元

5、體。主主單元體的側(cè)面稱為單元體的側(cè)面稱為 主主平面平面（ 通過該點(diǎn)處所取的諸截面中通過該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的 主主平面平面 ）主主平面上的正應(yīng)力稱為平面上的正應(yīng)力稱為 主主應(yīng)力應(yīng)力主主平面的法線方向叫平面的法線方向叫 主主方向方向，即，即主主應(yīng)力的方向應(yīng)力的方向123321 說明說明: 一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體, 三個(gè)相互垂直三個(gè)相互垂直的面均為主平面的面均為主平面, 三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為 1 , 2 , 3 且規(guī)定按代數(shù)且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列值大小的順

6、序來排列, 即即（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零）單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零（2）二向應(yīng)力狀態(tài)）二向應(yīng)力狀態(tài) ：有個(gè)二主應(yīng)力不等于零。：有個(gè)二主應(yīng)力不等于零。（3）三向應(yīng)力狀態(tài)）三向應(yīng)力狀態(tài) ：主單元體上的三個(gè)應(yīng)力均不等于零：主單元體上的三個(gè)應(yīng)力均不等于零二向和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)稱為簡單稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)例題例題：一蒸汽鍋爐汽包承受最大壓強(qiáng)為：一蒸汽鍋爐汽包承受最大壓強(qiáng)為 p , 汽包圓筒部分汽包圓筒部分的內(nèi)直徑為的內(nèi)直徑為 D ，厚度為，厚度為 t , 且且 t 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于D 。分析。分析 圓筒部分圓

7、筒部分內(nèi)壁內(nèi)壁 的應(yīng)力狀態(tài)。的應(yīng)力狀態(tài)。7. 2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例pDyzt圖為汽包的剖面圖。內(nèi)壁受壓強(qiáng)圖為汽包的剖面圖。內(nèi)壁受壓強(qiáng) p 的作用的作用 。解：解：包圍內(nèi)壁任一點(diǎn)，沿直徑方向取一單元體，單元體的側(cè)面為橫包圍內(nèi)壁任一點(diǎn)，沿直徑方向取一單元體，單元體的側(cè)面為橫截面，上，下面為含直徑的縱向截面，前面為內(nèi)表面。截面，上，下面為含直徑的縱向截面，前面為內(nèi)表面。包含直徑的縱向截面包含直徑的縱向截面橫截面橫截面內(nèi)表面內(nèi)表面（1）橫截面上的應(yīng)力）橫截面上的應(yīng)力假想地，用一垂直于軸線的平面將汽包分成兩部分，取右邊為研假想地，用一垂直于軸線的平面將汽包分成兩部分，取右

8、邊為研究對(duì)象。究對(duì)象。n n面為橫截面面為橫截面 。pn nn nnnnpnn研究對(duì)象研究對(duì)象nnnpPnn研究對(duì)象研究對(duì)象壓強(qiáng)壓強(qiáng) p的合力為的合力為 P 。則橫截面上只有正應(yīng)力。則橫截面上只有正應(yīng)力 。假設(shè)假設(shè) 。nnnp4-)2(44222DtDpDAPtpD4pDP.42( 因?yàn)橐驗(yàn)?t D , 所以所以 A Dt )nnPD D（2）包含直徑的縱向截面上的應(yīng)力）包含直徑的縱向截面上的應(yīng)力pmmnn1用兩個(gè)橫截面用兩個(gè)橫截面 mm , nn 從圓筒部分從圓筒部分 取出單位長的圓筒研究。取出單位長的圓筒研究。直徑平面直徑平面由截面法，假想地用由截面法，假想地用直徑平面將取出的單直徑平面將

9、取出的單位長度的圓筒分成兩位長度的圓筒分成兩部分部分。取下半部分為取下半部分為研究對(duì)象。研究對(duì)象。包含直徑的縱向平面包含直徑的縱向平面 1tpyO 1tpyO包含直徑的縱截面上的內(nèi)力為軸力包含直徑的縱截面上的內(nèi)力為軸力 FN 。R 是外力在是外力在 y 軸上的投影，軸上的投影，RFNFN 1tp yORFNFN該截面上的應(yīng)力為正應(yīng)力該截面上的應(yīng)力為正應(yīng)力 ”，且，且 假設(shè)為均勻分布假設(shè)為均勻分布。 dDds2 2RFN yORFNFN取圓心角為取圓心角為 d 的微元面積，其弧上為的微元面積，其弧上為 dsd d ds dDds2 2RFN yORFNFNd d ds微元面積為微元面積為dS.1

10、dS.1 dDds2 2RFN yORFNFNd d 微元面積上，壓強(qiáng)的合力為微元面積上，壓強(qiáng)的合力為P.1.dsdS.1dS.1P.1.ds dDds2 2RFN yORFNFNd d dS.1dS.1P.1.ds微元力微元力 P.1.ds 在在 y 方向的投影為方向的投影為 sin) 1( dSp sin) 1( dSp dDds2 2RFN yORFNFNd d P.1.ds sin) 1( dSp 外力在外力在 y 方向的投影為方向的投影為).(sin1 .dspR PDdDp sin21220 sin) 1( dSp2RFN yORFNFNpDR 22pDRFN tpDtFN21 .

11、 tp1 1（3）內(nèi)表面的應(yīng)力）內(nèi)表面的應(yīng)力p 內(nèi)表面只有壓強(qiáng)內(nèi)表面只有壓強(qiáng) p ,且為壓應(yīng)力且為壓應(yīng)力包含直徑的縱向截面包含直徑的縱向截面橫截面橫截面內(nèi)表面內(nèi)表面 包含直徑的縱向截面包含直徑的縱向截面橫截面橫截面內(nèi)表面內(nèi)表面 tpD2 p tpD4= = 1 1= = 2 2= = 3 3= = 1 1= = 2 2= = 3 3tpD21 p 3tpD42 單元體為單元體為 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) ，三個(gè)正應(yīng)力為，三個(gè)正應(yīng)力為 主應(yīng)力主應(yīng)力。 = = 1 1= = 2 2= = 3 3由于內(nèi)壁的壓強(qiáng)由于內(nèi)壁的壓強(qiáng) = = p p 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于 和和 ，所以可忽略不計(jì)。，所以可忽略不計(jì)。單

12、元體看作單元體看作 二二向應(yīng)力狀態(tài)向應(yīng)力狀態(tài) 1 1 2 2 = = 1 1= = 2 2= = 3 3P P例例：分析滾珠軸承中滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。：分析滾珠軸承中滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。A包圍點(diǎn)包圍點(diǎn) A , ,以垂直和平行于壓力以垂直和平行于壓力 P P 的平面截取單元體。的平面截取單元體。AP P單元體三個(gè)互相垂直的面皆為主平面，且三個(gè)主應(yīng)力皆不為零，單元體三個(gè)互相垂直的面皆為主平面，且三個(gè)主應(yīng)力皆不為零，于是得到三向應(yīng)力狀態(tài)。于是得到三向應(yīng)力狀態(tài)。A A 3 3 1 1 2 2MeF主主單元體單元體從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體單元體中，有中，

13、有一個(gè)特殊的一個(gè)特殊的單元體，單元體，在這個(gè)在這個(gè)單元體單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無側(cè)面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。這樣的切應(yīng)力。這樣的單元體單元體稱為該點(diǎn)處的稱為該點(diǎn)處的 主主單元體單元體。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)主主平面平面主主單元體的側(cè)面稱為單元體的側(cè)面稱為 主主平面平面（ 通過該點(diǎn)處所取的通過該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的 主主平面平面 ）主主應(yīng)力應(yīng)力主主平面上的正應(yīng)力稱為平面上的正應(yīng)力稱為 主主應(yīng)力應(yīng)力 321xyzo 7. 3 二向二向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)分析分析解析法解析法一，概念一，概念xyzoxyz x x 是法線與是法線與 x x 軸平行

14、面上的正應(yīng)力。軸平行面上的正應(yīng)力。 y y 是法線與是法線與 y y 軸平行面上的正應(yīng)力。軸平行面上的正應(yīng)力。 z z 是法線與是法線與 z z 軸平行面上的正應(yīng)力。軸平行面上的正應(yīng)力。xyzoxyxzyxyzxyzzxzyxyzoxyxzyxyzxyzzxzy第一下標(biāo)第一下標(biāo)第二下標(biāo)第二下標(biāo) xy 表示法線與表示法線與x 軸平行面軸平行面上，沿上，沿 y 方向的切應(yīng)力。方向的切應(yīng)力。第一下標(biāo)表示切應(yīng)力所在第一下標(biāo)表示切應(yīng)力所在平面的法線方向。平面的法線方向。第二下標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。第二下標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。xyzoxyxzyxyzxyzzxzy該單元體稱為一般空間應(yīng)力狀態(tài)。該單元體稱為一般

15、空間應(yīng)力狀態(tài)。如果單元體有一對(duì)平行平面上的應(yīng)力為零則平面應(yīng)力狀態(tài)。如果單元體有一對(duì)平行平面上的應(yīng)力為零則平面應(yīng)力狀態(tài)。xyz xy xyxxyy yx yx平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖 所示所示 。單元體上有單元體上有 x ， xy 和和 y ， yx 。yxxyz xy xyxxyy yx yx x y xy yxyx x y xy yx1 1、斜截面上的應(yīng)力、斜截面上的應(yīng)力（ 1 ） 假想地沿斜截面假想地沿斜截面 ef 將單元體截分為二，留下左邊將單元體截分為二，留下左邊部分的單體元部分的單體元 ebf 作為研究對(duì)象。作為研究對(duì)象。febn yx x y xy yx

16、febn ebf x y xy yx ebf x y xy yx ：從：從x 軸到外法線軸到外法線 n 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。正應(yīng)力正應(yīng)力 ：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力切應(yīng)力 ：對(duì)單元體任一點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。：對(duì)單元體任一點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。xnebf dA cosdAxycosdAx sindAyxsindAy設(shè)斜截面設(shè)斜截面 ef 的面積為的面積為 , eb 的的面積為面積為 ， bf 的的面積為面積為 x xy yxyefb b dAebf dA cosdAxycosdAx sindAyxsindAydA（

17、2 2）平面應(yīng)力狀態(tài)下）平面應(yīng)力狀態(tài)下, , 任一斜截面任一斜截面 ( ( 截面截面 ) ) 上的應(yīng)力上的應(yīng)力對(duì)研究對(duì)象列對(duì)研究對(duì)象列 和和 t t 方向的方向的平衡方程并解之得：平衡方程并解之得： t t 2222 sincosxyyxyx 222cossinxyyx02222 cossinxyyxdd2 2，主應(yīng)力和主平面，主應(yīng)力和主平面 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyx求正應(yīng)力的極值求正應(yīng)力的極值令：令： yxxytg220190012 02222 cossinxyyxdd 1 1 和和 2 2 確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力確定兩個(gè)互相垂直的平面

18、，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。02222 cossinxyyxdd正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零。此平面為正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零。此平面為主平面主平面。正應(yīng)力的極值為主應(yīng)力正應(yīng)力的極值為主應(yīng)力。 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyxyxxytg 220由公式由公式求出求出 0 0 就可確定主平面的位置。就可確定主平面的位置。 2222 sincosxyyxyx將將 0 0 代入公式代入公式得到得到 max 和和 min ( (主應(yīng)力）主應(yīng)力）minmax 2222xyyxyx)

19、( 主應(yīng)力主應(yīng)力 主平面的位置主平面的位置以以 1 1 代表代表 max作用面的方位角，作用面的方位角， 2 2 代表代表 min 作用面的方位角。作用面的方位角。 yxxytg220190012 minmax 2222xyyxyx)( （1 1） 若若 x y ，（ 1 1在在 90900 0 范圍內(nèi)取值范圍內(nèi)取值 ）則則 ，1 1 45 450 0(2) (2) 若若 x y ，則則 ， 1 1 45 450 0(3) (3) 若若 x = y ，則，則， x 0 ， 1 1 = -45= -450 0 x 0 ， 1 1 = 45= 450 0例題例題： 簡支梁如圖所示。已知簡支梁如圖所

20、示。已知 mn 截面上截面上 A 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為力和剪應(yīng)力分別為 = -70= -70MPa ， = = 50MPa 。確定。確定 A 點(diǎn)的主點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。應(yīng)力及主平面的方位。mna aA A A l解：解：50070 xyyx,A A 因?yàn)橐驗(yàn)?x y ，所以，所以 1= -62.50 與與 max （ 1）對(duì)應(yīng)）對(duì)應(yīng)4291070502.)( yxxytg 220 056252700. x x62.562.50 0 x x62.562.50 0MPaMPa96026321 A A13minmax 2222xyyxyx)( 26-96MPa例題例題：圖示

21、單元體：圖示單元體。試求試求 efef 截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位。主單元體的方位。30300 0n ne ef f40MPa50MPa60MPa30300 0n ne ef f40MPa50MPa60MPa x = - 40MPa， y = 60MPa， xy = - 50MPa。 = - 300(1) (1) 求求 efef 截面上的應(yīng)力截面上的應(yīng)力 x = - 40MPa ， y = 60MPa ， xy = - 50MPa ， = - 300 2222300sincosxyyxyx)60sin()50()60cos(2604026040MPa3

22、.58MPa3 .182cos2sin2300 xyxMPa3 .58300 MPa3 .18300 x x y y xy y y30300 0n ne ef f 300 300 (2) (2) 求主應(yīng)力和主單元體的方位求主應(yīng)力和主單元體的方位16040502220 )(yxxytg204501350 因?yàn)橐驗(yàn)?x 0，所以，所以4504500 450 450（2）求主應(yīng)力）求主應(yīng)力minmax 2222xyyxyx)( 1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 1 3三，梁的主應(yīng)力三，梁的主應(yīng)力 主應(yīng)力跡線的概念主應(yīng)力跡線的概念圖示一受任意橫向力作用的矩形截面梁圖示一受任意橫向力作用的矩形截面

23、梁, 在橫截面在橫截面 mm上上, 分別圍繞分別圍繞 1, 2, 3, 4, 5 五點(diǎn)各取出一單元體。假設(shè)該橫截面上五點(diǎn)各取出一單元體。假設(shè)該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。的剪力和彎矩都是正值。12345mmqP1P21 1 112345mmqP1P2 3 35450312345mmqP1P2 1 32 2222xyxx)(minmax12345mmqP1P2013所以在梁的所以在梁的 xyxy 平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組曲線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力曲線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力 1 1 的方向，的方向，而另一組曲線上每一點(diǎn)處切線的方

24、向是該點(diǎn)處主應(yīng)力而另一組曲線上每一點(diǎn)處切線的方向是該點(diǎn)處主應(yīng)力 3 3 的方向的方向, ,這樣的曲線稱為梁的這樣的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線主應(yīng)力跡線 。梁內(nèi)任一點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力必然一個(gè)為梁內(nèi)任一點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力必然一個(gè)為拉應(yīng)力拉應(yīng)力, ,一個(gè)為一個(gè)為 壓應(yīng)力壓應(yīng)力, ,兩者的方向互相垂直。兩者的方向互相垂直。主應(yīng)力跡線的概念主應(yīng)力跡線的概念圖中繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應(yīng)力跡線圖中繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應(yīng)力跡線實(shí)線表示主應(yīng)力實(shí)線表示主應(yīng)力 1 的跡線的跡線, 虛線表示主應(yīng)力虛線表示主應(yīng)力 3 的跡線。的跡線。yx例題：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)例題：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)拉伸試驗(yàn)的示意圖

25、如圖所示。若拉伸試驗(yàn)的示意圖如圖所示。若F = 20KN，Me = 600 N.m ，且，且 d = 50 mm ， = 2 mm ，試求：，試求：（2）A 點(diǎn)主應(yīng)力的大小及方向（用單元體表示）。點(diǎn)主應(yīng)力的大小及方向（用單元體表示）。（1）A 點(diǎn)在指定斜截面上的應(yīng)力；點(diǎn)在指定斜截面上的應(yīng)力；300AdFFMeMe 300AdFFMeMe （1 1）A 點(diǎn)在指定斜截面上的應(yīng)力點(diǎn)在指定斜截面上的應(yīng)力A x xyMPaddFAFNx2612422.)( 300AdFFMeMe A x xyMPadMrMeexy6702222.)( (-)(-)300AdFFMeMe A x xy3001200A x

26、 xy3001200MPaxyyxyx845240670240226122612222001200.sin.cos.sincos MPaxy670. MPax261. 0 y1200 A x xy3001200MPaxyyx2242406702402261222001200.cos.sin.cossin MPaxy670. MPax261. 0 y1200 A x xy3001200MPaxy670. MPax261. 0 y1200 （2 2）A 點(diǎn)主應(yīng)力的大小及方向（用單元體表示）點(diǎn)主應(yīng)力的大小及方向（用單元體表示） max min 2222xyyxyx)(-46.3 MPa108 MPa

27、MPaMPa3460108321., A x xy3001200MPaxy670. MPax261. 0 y1200 312220.tan yxxy 0-56.7033.30 20-113.4066.60因?yàn)橐驗(yàn)?x y y ，所以所以 1=33.30 對(duì)應(yīng)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)主應(yīng)力 1A 1 1 = = 33.30MPaMPa3460108321., 33.30 1 3222222xyyxyx )()(一一, , 應(yīng)力圓的概念應(yīng)力圓的概念 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyx7. 4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法圖解法作作 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系0 0 222222

28、xyyxyx )()(2yx當(dāng)斜截面隨方位角當(dāng)斜截面隨方位角 變化時(shí)變化時(shí), 其上的應(yīng)力其上的應(yīng)力 ， 在在 直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓圓 。圓心位于橫坐標(biāo)軸圓心位于橫坐標(biāo)軸 ( 軸軸 ) 上，離原點(diǎn)的距離為上，離原點(diǎn)的距離為222222xyyxyx )()(222xyyx )(半徑為半徑為此圓習(xí)慣上稱為此圓習(xí)慣上稱為 應(yīng)力圓應(yīng)力圓 , 或稱為莫爾圓或稱為莫爾圓222222xyyxyx )()( o2yx 222xyyx)(C222222xyyxyx )()(2，應(yīng)力圓作法，應(yīng)力圓作法 x xy y yx（1）在）在 - 坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)系內(nèi) ,選定比例尺選定比例尺 o o

29、 x xy y yxo o D1 xyB1 x（2）量?。┝咳B1 = xB1D1 = xy得得 D1 點(diǎn)。點(diǎn)。 x xy y yxo o D2D1 xyB1 x（3）量?。┝咳B2 = yB2D2= yx得得 D2 點(diǎn)點(diǎn) yB2 x xy y yx yxo o D2 yxD1 xyB1 x yB2（4）連接）連接 D1D2 兩點(diǎn)的直線與兩點(diǎn)的直線與 軸相交于軸相交于 C 點(diǎn)點(diǎn), C x xy y yxo o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx以以 C 為圓心為圓心 , ,CD1 或或 CD2 為半徑作圓為半徑作圓o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x

30、xy y yx該圓的圓心該圓的圓心 C 點(diǎn)到點(diǎn)到 坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 2yx)(2121OBOBOCo o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx222xyyx )(半徑為半徑為)()(DBBCCD111221 o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx該圓就是相應(yīng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。該圓就是相應(yīng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yxD1 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( ( x , , xy ) )( x , xy )因而因而 D1 點(diǎn)的坐標(biāo)代表單元體點(diǎn)的坐標(biāo)代表單元體 x 平面

31、（即橫截面）上的應(yīng)力平面（即橫截面）上的應(yīng)力 。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f3 3，利用應(yīng)力圓求單元體上任一，利用應(yīng)力圓求單元體上任一 截面上的應(yīng)力截面上的應(yīng)力o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f從應(yīng)力圓的半徑從應(yīng)力圓的半徑 CD1 按方位角按方位角 的轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)向 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 2 2 , ,得到得到半徑半徑 CE 。2 o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f2 圓周上圓周上E 點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上

32、的正應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力 ，剪應(yīng)力，剪應(yīng)力 （1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：單元體某一面上的應(yīng)力，必對(duì)：單元體某一面上的應(yīng)力，必對(duì) 應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）夾角關(guān)系夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單 元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。A1B12 AB oc4 4，利用應(yīng)力圓求，利用應(yīng)力圓求 主應(yīng)力主應(yīng)力數(shù)值和數(shù)值和 主平面位置主平面位置（1 1）主應(yīng)力數(shù)值）主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1 和和 A2 兩點(diǎn)為與主平面兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

33、的點(diǎn)，其橫坐標(biāo) 為主應(yīng)力為主應(yīng)力 1 ， 2 。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 ( x , xy )11CAOCOA CAOCOA12 2yxOC 2212xyyxCA)(o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 CAOCOA111 2222xyyxyx)( x , xy )11CAOCOA CAOCOA12 2yxOC 2212xyyxCA)(o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 CAOCOA122 2222xyyxyx)( x , xy )o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0（

34、2）主平面方位）主平面方位由由 CD1 順時(shí)針轉(zhuǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn) 2 0 到到 CA1 。單元體上從單元體上從 x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 0 （負(fù)值）即負(fù)值）即到到 1對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的主平面的外法線。主平面的外法線。( x , xy ) 0 確定后，確定后， 1 1 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定。主平面方位即確定。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0( x , xy )221110 yxxyCBDBtg)()( yxxytg2210由此可定出主應(yīng)力由此可定出主應(yīng)力1 所在所在平面的位置。平面的位置。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0(

35、x , xy )由于由于 A1， A2 為應(yīng)力圓的為應(yīng)力圓的直徑，則直徑，則 2 所在的另一所在的另一主平面與主平面與 1 所在的主平面所在的主平面垂直。垂直。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0( x , xy )012例題例題：單元體如圖所示：單元體如圖所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy = - 0.2MPa （1）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓（2）確定此單元體在）確定此單元體在 =30和和 = - 40兩斜面上的應(yīng)力。兩斜面上的應(yīng)力。x x x y y xy yx1 x20. xy40. y20. yxx x x

36、y y xy yx解解: (1) 畫應(yīng)力圓畫應(yīng)力圓OB2 = y= - 0.4MPa ，B2D2 = yx= 0.2MPa , 定出定出 D2 點(diǎn)點(diǎn) . OB1 = x= - 1MPa , B1D1 = xy= - 0.2MPa , 定出定出 D1點(diǎn)點(diǎn);1 x20. xy40. y20. yx oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2) oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)以以 D1D2 為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓C oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)C將將 半徑半徑 CD1 到半徑到半徑 CE，E 點(diǎn)的坐標(biāo)就點(diǎn)的坐

37、標(biāo)就代表代表 = 30斜截面上的應(yīng)力。斜截面上的應(yīng)力。(2) 確定確定 = 30斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力600 MPa680300. MPa360300. oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)(3) 確定確定 = - 40斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力將將 半徑半徑 到半徑到半徑 CF, F 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 = - 40斜截面上的應(yīng)力。斜截面上的應(yīng)力。 800 F CMPa95. 0400MPa26. 0400 xy300 400 MPa95. 0400MPa26. 0400MPa68.0300MPa36.0300例題例題 ： 兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載

38、如圖所示，梁的橫兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出截面尺寸示于圖中。試?yán)L出 C 左左 截面截面 上上 a 點(diǎn)處的應(yīng)力圓，點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這該點(diǎn)處的主應(yīng)力。并用應(yīng)力圓求出這該點(diǎn)處的主應(yīng)力。12015152709za250KN1.6m2mABC+200KN50KN解解: : 首先計(jì)算支反力首先計(jì)算支反力, 并作出并作出 梁的剪力圖和彎矩圖梁的剪力圖和彎矩圖Mmax = MC = 80 kNmFSmax =FC左左 = 200 kN250KN1.6m2mABC+80KM.mIyMzaa dISFzzaSa* mmIZ463310882701113001

39、201212 mmya135mmSza32560005715015120 ).(*1201515270a9z橫截面橫截面 C左左 上上a 點(diǎn)的應(yīng)力為點(diǎn)的應(yīng)力為MPayIMazCa5 .122MPadISFzzaSa6 .64* 12015152709zaIyMzaa dISFzzaSa* a0 y664. yxMPax5 .122MPaxy664 . x xy yx由由 x ， xy 定出定出 D1 點(diǎn)點(diǎn)由由 y ， yx 定出定出 D2 點(diǎn)點(diǎn)以以 D1D2 為直徑作應(yīng)力圓。為直徑作應(yīng)力圓。o CB1D1B20 y664. yxMPax5 .122MPaxy664 . (122.5 , 64.

40、6)(0 , - 64.6)D2A1，A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表 a 點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)31MPaoA15011MPaoA272302o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)31o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)3120A1 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單圓體上點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單圓體上 1 1 所在的主平面。所在的主平面。o CB1B2D1(122.5 , 64.

41、6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)312052200. 45200 x yx xy013MPa1501MPa27352200. 例題例題：單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法求：主應(yīng)力，并在單元體：單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法求：主應(yīng)力，并在單元體中畫出主應(yīng)力方向。中畫出主應(yīng)力方向。50202050 xyx200 yxy 解：解：maxmin22)2(2xyxyx =57-77057321 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 07 .703 .1900 因?yàn)橐驗(yàn)?x x y y ，所以，所以3 .1901 50203 .1900 132050 xyx200 yx

42、y7. 5 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)利用利用 確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力 。已知：已知：受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力 1 1、 2 2、 3 3 。 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1首先研究與其中一個(gè)首先研究與其中一個(gè)主平面主平面垂直的斜截面垂直的斜截面上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。例如：與主應(yīng)力例如：與主應(yīng)力 3所在的平面垂直的所在的平面垂直的斜截面斜截面 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3用截面法，沿求應(yīng)力的截用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對(duì)象取左下部分為研

43、究對(duì)象。 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 33312主應(yīng)力主應(yīng)力 3 所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力，所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力， 因而該斜面因而該斜面上的應(yīng)力上的應(yīng)力 , 與與 3 無關(guān)無關(guān), 只由主應(yīng)力只由主應(yīng)力 1 , 2 決定。決定。3312與與 3 所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由 1 , 2 作出的作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。331212 3312與與 3所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由垂直的斜截面上的應(yīng)力可由 1 , 2 作出的應(yīng)力作出的應(yīng)力圓上的

44、點(diǎn)來表示。圓上的點(diǎn)來表示。 1 1 1 1 2 2 2 212 OA12 1 1 1 1 2 2 2 2OA123312該應(yīng)力圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)該應(yīng)力圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與于與 3所在主平面所在主平面垂直垂直的所有斜截面上的應(yīng)力。的所有斜截面上的應(yīng)力。 OA12與主應(yīng)力與主應(yīng)力 2 所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力垂直的斜截面上的應(yīng)力 , 可用由可用由 1 , 3 作出作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。3OA12與主應(yīng)力與主應(yīng)力 所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力垂直的斜截面上的應(yīng)力 , 可用由可用由 2 , 3 作出的應(yīng)作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。力圓上的點(diǎn)來表示。3abc

45、截面表示與三個(gè)主截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面平面斜交的任意斜截面112233abc112233abc該截面上應(yīng)力該截面上應(yīng)力 和和 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的的 D 點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成力圓所圍成 的陰影內(nèi)。的陰影內(nèi)。OA123OA123三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)及由三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了三向應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo)代表了三向應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。O123該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代指代數(shù)值數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上上 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo) 11maxAO123ABmax最大切

46、應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上 B 點(diǎn)的縱坐標(biāo)。點(diǎn)的縱坐標(biāo)。)(2131maxO123ABmax)(2131max最大切應(yīng)力所在的截面與最大切應(yīng)力所在的截面與 2 所在的主平面垂直，并與所在的主平面垂直，并與 1和和 3 所在的主平面成所在的主平面成 450 角。角。)(max3121 1 max上述兩上述兩 公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單軸應(yīng)力狀態(tài)，公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單軸應(yīng)力狀態(tài)， 只需將具體問題的主應(yīng)力求出，并按代數(shù)值只需將具體問題的主應(yīng)力求出，并按代數(shù)值 1 2 3 的順序排列。的順序排列。例題例題 ：單元體的應(yīng)力如圖所示：單元體的應(yīng)力如圖所示 ,作應(yīng)力

47、圓作應(yīng)力圓, 并求出主應(yīng)力并求出主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力值及其作用面方位。和最大剪應(yīng)力值及其作用面方位。40MPa20MPa20MPazxy20MPa40MPa20MPa20MPazxy20MPaMPaz20 解解: 該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力40MPa20MPa20MPazxy20MPa因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力 z 無關(guān)無關(guān), 依據(jù)依據(jù) x 截面和截面和 y 截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓. 求求另外兩個(gè)另外兩個(gè)主應(yīng)力主應(yīng)力。40MPa20MPa20MPaMPax40 MPax20 MPay20 MPa

48、y20 o MPax40 MPax20 MPay20 MPay20 A11A23量得另外兩個(gè)主應(yīng)力為量得另外兩個(gè)主應(yīng)力為D1D2cMPaz20 o A11A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MPo 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 02 0 = 340 0 = 170o 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 0 0 = 170170 x 1 2 3o 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 0maxBMPa36 max

49、o 1A23D1D2c 2A12 0maxBMPa36 max最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力max 所所在平面與在平面與 2 所在平所在平面垂直面垂直, ,與與 1 1 和和 3 所在主平面各成所在主平面各成 45450 0 夾角。夾角。MPa36 max最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力max 所在平面與所在平面與 2 所在平面垂直所在平面垂直, ,與與 1 1 和和 3 所在主平面各成所在主平面各成 45450 0 夾角。夾角。170 x 1 2 345450 0 max例題例題: : 已知某結(jié)構(gòu)物中一點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài)已知某結(jié)構(gòu)物中一點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài), , x = -180MPa, y = -90MPa, x

50、 = y = 0 , , 試求此點(diǎn)處的最大試求此點(diǎn)處的最大切切應(yīng)力應(yīng)力。MPa90)180(021)(2131max 3 = x = - 180MPa解解: : 主應(yīng)力主應(yīng)力 2 = y = -90MPa 1 1 = = z z = 0= 07. 8 廣義胡克定律廣義胡克定律一、一、 各向同性材料的廣義胡克定律各向同性材料的廣義胡克定律xyzoxxyxzyyxyzzzxzyxzzxzyyzyxxy因而獨(dú)立的應(yīng)力分量是因而獨(dú)立的應(yīng)力分量是 6個(gè)個(gè)xyzxyyzzx根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，在數(shù)值上有在數(shù)值上有xyzoxxyxzyyxyzzzxzy用疊加原理：分別計(jì)算出用疊加原理：分

51、別計(jì)算出 x , y , z 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí), x方向的方向的線應(yīng)變線應(yīng)變 x ，然后代數(shù)相加。得，然后代數(shù)相加。得 x , y , z 同時(shí)存在時(shí)，同時(shí)存在時(shí)，沿沿 x 方向的線應(yīng)變。方向的線應(yīng)變。求求 x , y , z 同時(shí)存在時(shí)，沿同時(shí)存在時(shí)，沿 x ，y y，z z 方向的線應(yīng)變。方向的線應(yīng)變。沿沿 y y，z z 方向的線應(yīng)變方法同上。方向的線應(yīng)變方法同上。yZ ZyZ ZyZ Zx xx xx xExxEyyxEzzx x 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí) y 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí) Z 單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí)一，一，x x 方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變xxyyzz在在 x y z同時(shí)存在時(shí)同

52、時(shí)存在時(shí), x 方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 x為為)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEE在在 x y z同時(shí)存在時(shí)同時(shí)存在時(shí), y , z 方向的線應(yīng)變?yōu)榉较虻木€應(yīng)變?yōu)?)(1zyxxE )(1)(1yxzzxzyyEE 上式稱為上式稱為 廣義胡克定律廣義胡克定律Gyzyz Gxyxy Gzxzx )(13211E)(11322E)(12133E三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律（已知（已知 1， 2， 3 ） 1 1 ， 2 2 ， 3 3 稱為主應(yīng)變稱為主應(yīng)變 。在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的主主應(yīng)力指向與應(yīng)力指向與主應(yīng)變主應(yīng)變方向一致。方向

53、一致。二、二、 各向同性材料的體積應(yīng)變各向同性材料的體積應(yīng)變構(gòu)件每單位體積的體積變化構(gòu)件每單位體積的體積變化, 稱為體積應(yīng)變，變用稱為體積應(yīng)變，變用 表示。表示。各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變。下的體積應(yīng)變。 1 2 3dxdxdydydzdz 1 2 3dxdxdydydzdz變形后的邊長分別為變形后的邊長分別為三個(gè)邊長為三個(gè)邊長為 dx , dy , dzdx , dy , dz單元體的三對(duì)平面為主平面單元體的三對(duì)平面為主平面dxdxdx)1 (11 dydydy)( 221dzdzdz)( 331 1 2 3dxdxdydydzdzdxdxdx)1 (1

54、1 dydydy)( 221dzdzdz)( 331dxdydzV)1)(1)(1 (3211 變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為3213213211 )1 ( )1)(1)(1 ( dxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzVVV)(21321 E)(13211E)(11322E)(12133E 321 ：xy3102即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。)(21321 E材料的體積應(yīng)變等于零材料的體積應(yīng)變等于零 m m m)(21321 E321)(21mmmmEEKm )21 (3 EK該式

55、稱為體積胡克定律該式稱為體積胡克定律 m 3321321 m m mKm 3321 m單位體積的體積改變單位體積的體積改變 只與三個(gè)只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān)，三個(gè)主應(yīng)力之主應(yīng)力之和有關(guān)，三個(gè)主應(yīng)力之間的比例對(duì)間的比例對(duì)并無影響。并無影響。例題例題: : 邊長邊長 a = 0.1m 的銅立方塊，的銅立方塊， 無間隙地放入體積較大，變無間隙地放入體積較大，變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中形可略去不計(jì)的鋼凹槽中 。已知銅的彈性模量。已知銅的彈性模量E=100GPa ，泊松比泊松比 = 0.34 ，當(dāng)受到當(dāng)受到 P = 300kN 的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，求該銅塊的主應(yīng)力求該銅塊的主應(yīng)力，體積應(yīng)變以及

56、最大切應(yīng)力。體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。MPa301 .01030023APy解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為(a)aaaPzyx z x y0)(1zyxxE0)(1zyzzE解得解得-15.5MPa )30(0.34-10.34)0.34(1 1)1 (22yzx銅塊的主應(yīng)力為銅塊的主應(yīng)力為MPaMPa , .30515321體積應(yīng)變和最大切應(yīng)力分別為體積應(yīng)變和最大切應(yīng)力分別為1095.1)(214321EMPa25.7)(2131max例題例題： 一直徑一直徑 d = 20 mm 的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加轉(zhuǎn)矩的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加轉(zhuǎn)矩 m =126N.m 。在軸的表

57、面上某一點(diǎn)。在軸的表面上某一點(diǎn) A 處用變形儀測出與軸線處用變形儀測出與軸線成成 450 方向的應(yīng)變方向的應(yīng)變 = 5.0 10-4 ，試求此圓軸材料的剪切彈性試求此圓軸材料的剪切彈性模量模量G。mmA450 x解：包圍解：包圍 A 點(diǎn)取一單元體點(diǎn)取一單元體A xy yxmmA450 xmmA450 xminmax 2222xyyxyx)( xy xyxy3210A xy yxA xy yxmmA450 x xyxy3210 yxxytg2204500450145013A xy yxmmA450 x xyxy321045013 xyEE11311450)(dmWmtxy 3161A xy yx

58、mmA450 x45013dmWmtx 3161)1 (2 EG 45011xyxyE453016dm xyE11450GPadmEG2 .808)1 (24503 例題例題： 壁厚壁厚 t =10mm ，外徑外徑 D = 60mm 的薄壁圓筒的薄壁圓筒，表面表面上上 k 點(diǎn)處與其軸線成點(diǎn)處與其軸線成 45 和和 135角，即角，即 x ，y 兩方向分別兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在圓筒兩端作用矩為貼上應(yīng)變片，然后在圓筒兩端作用矩為 m 的扭轉(zhuǎn)力偶的扭轉(zhuǎn)力偶 ，已知，已知圓筒材料的彈性常數(shù)為圓筒材料的彈性常數(shù)為 E = 200GPa 和和 = 0.3 ，若該圓筒的若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且變

59、形在彈性范圍內(nèi)，且 max = 80MPa ，試求試求 k 點(diǎn)處的線應(yīng)變點(diǎn)處的線應(yīng)變 x ， y 以及變形后的筒壁厚度。以及變形后的筒壁厚度。Dtmkx450y900解解: 從圓筒表面從圓筒表面 k 點(diǎn)處取出單元體點(diǎn)處取出單元體xykmaxmax單元體單元體為純剪切應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)Dtmkx450y900 max = 80MPaxyk450maxmaxDtmkx450y900MPa80max1MPa80max3 2 2 = 0= 0= = y y= = x x= = z z 1 3 max = 80MPaDtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= -

60、80 z z = = 0 0K 點(diǎn)處的線應(yīng)變點(diǎn)處的線應(yīng)變 x , y 為為)(1zyxxE)(1yxE= - 5.2 10-4（壓應(yīng)變）（壓應(yīng)變）Dtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= - 80 z z = = 0 0)(1zxyyE)(1xyE= 5.2 10-4（拉應(yīng)變）（拉應(yīng)變）Dtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= - 80 z z = = 0 0圓筒圓筒表面表面上上 k 點(diǎn)處沿點(diǎn)處沿徑向徑向 ( z 軸軸 ) 的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)?(1yxzzE)(yxE= 0Dtmkx450y900 y y = 80 = 80