(浙江專用)高考數(shù)學(xué)第八章立體幾何與空間向量7第7講立體幾何中的向量方法1第1課時(shí)空間角教學(xué)案

1、第7講 立體幾何中的向量方法知識(shí),®回顧1.空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線所成角的求法(a, b分別為異面直線11, 12的方向向量)a與b的夾角311與12所成的角e范圍0,兀兀"J求法° a - bcos S =P |a|b|c0soi0sB|Ta| 回1(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線1的方向向量為e,平面a的法向量為n,直線1與平面a所成的角為巾，兩向量e與n的夾角為0 ,則有sin 6 = |cos(3)二面角大小的求法a.如圖，AEB CD是二面角a 1B兩個(gè)半平面內(nèi)與棱1垂直的直線，則二面角的大小0 =虺品. b.如圖，m, n

2、2分別是二面角a 1 B的兩個(gè)半平面 角的大小0滿足cos 0 = cosni,n2或一cosni,n2.2.點(diǎn)到平面的距離的求法如圖，設(shè)AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量,a , 3的法向量，則二面則點(diǎn)B到平面a的距離| AB- n|I n|疑誤辨析判斷正誤(正確的打,錯(cuò)誤的打“X”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.()兀兀 兩異面直線夾角的范圍是0，5，直線與平面所成角的范圍是0，下，二面角的范圍是0,兀.()答案：(1) X (2)

3、X (3) X (4) V教材衍化1 .(選彳2-1 P104練習(xí)T2改編)已知兩平面的法向量分別為m (0, 1, 0), n=(0, 1,1),則兩平面所成的二面角的大小為 解析：cos3n>m- n imi n|.所以兩平面所成二面角為 45° 或 180° 45° = 135答案：45°或135°2 .(選彳2-1 P112A組T6改編)在正方體 ABCDAB1CQ中，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為解析：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，以DA 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz , -1/E0, 2, 1 ,則 AO ( 1,1

4、,0),所成的角為0 ,則cos 0 = |cosDC DD的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，設(shè) DA= 1, A(1 , 0, 0), C(0 , 1, 0),71DE= 0, 2, 1 ,設(shè)異面直線 DE與AC> > x/ToAC DE> 戶2111y.答案:10103 .(選彳2-1P117A組T4改編)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱 )ABG- ABC的底面 邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2啦，則AC與側(cè)面ABBA所成的角為 .解析：以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，得下列坐標(biāo)A(2 , 0, 0), G(0, 0,242).點(diǎn)G在側(cè)面ABEA1內(nèi)的射影為點(diǎn)C2 2, 22 .

5、所以 AC=(2，0，, 212) , AC2= 一1 -2, 212，設(shè)直線 AC與平面ABBAi所成的角為1 + 0+82 3X 3喙又e e 0,兀 _兀萬(wàn),所以0=于八 I AC AC|=I AC|I AC|答案:易錯(cuò)糾偏直線和平面所成的角的取值范圍出錯(cuò)已知向量mj n分別是直線l的方向向量、平面a的法向量，若 cosmi n>12,則l與a所成的角為一，一,1 ,。解析：設(shè)l與a所成的角為。，則sin 0 = |cos口 n> | =-,所以0 = 30答案：30°第1課時(shí)空間角垣度明考向-白市考例考讀考點(diǎn)E1異面直線所成的角例團(tuán) 如圖，在三棱錐 P-ABC中，

6、PAL底面 ABC / BAC= 90° .點(diǎn)D, E, N分別為棱PA PC BC的中點(diǎn)，點(diǎn) M是線段AD的中點(diǎn)，PA = AC= 4, AB= 2.(1)求證：MN/平面BDE(2)已知點(diǎn)H在葭PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為求線段AH的長(zhǎng).【解】 如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB, AC AP方向?yàn)閤軸、y軸、 z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz.依題意可得A(0 , 0, 0), R2, 0, 0), Q0, 4, 0), P(0, 0, 4), 以0, 0, 2), E(0, 2, 2), M(0 , 0, 1), N1 , 2, 0) .證明：DE= (0,

7、 2, 0), DB= (2, 0, 2).設(shè)n=(x, y, z)為平面BDE勺法向量,n - DEE= 0,n Db= 0,2y =0,2x 2z=0.不妨設(shè)z= 1,可得n= (1 , 0, 1).又MlN= (1 , 2, 1),可得 MIN- n=0.因?yàn)镸N平面BDE所以MN/平面BDE(2)依題意，設(shè) AH= h(0<h<4),則 H(0,。，h),進(jìn)而可得 NH= (-1, 2, h) , BE= (2, 2, 2).,./口一一| Nh- be由已知，得 |cos NH BE> | =JI麗BE_|2h-2| 二更一.h2+5X 2A/3- 21，整理得10

8、h2-21h+8=0,解得h = 8或h =! 52 一 ，一 ，8 J 所以，線段AH的長(zhǎng)為/或不.5 2團(tuán)伍國(guó)因用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量;(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.提醒注意向量的夾角與異面直線所成的角的區(qū)別：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線 的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線所成的角.跟蹤訓(xùn)煉1 .長(zhǎng)方體 ABCDA1BCD中，AB= AA=

9、2, AD= 1,點(diǎn)E為CC的中點(diǎn)，則異面直線 BC與AE所成角的余弦值為()A.10而B.30C.21510D.3 1010解析：選B.以D為原點(diǎn)，以DA DC DD的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,如圖.R則 A(1 , 0, 0) , E(0, 2, 1), B(1 , 2, 0), G(0, 2, 2). BC= (-1, 0, 2), AE= ( 1 2, 1),一一 BC AE 、同 cosBC, AE> = =4t-.|BC|AE 10所以異面直線BG與AE所成角的余弦值為2 .如圖，在四棱錐 P-ABC珅，PAL平面 ABCD底面ABC比菱形，A

10、B=2, / BAO 60 .(1)求證：BDL平面PAC(2)若PA= AB,求PB與AC所成角的余弦值.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD1菱形,所以ACL BD因?yàn)镻AL平面 ABCD所以PAL BD又因?yàn)锳S PA= A 所以BDL平面PAC(2)設(shè) AS BD= O因?yàn)? BAD= 60 , PA= AB= 2,所以 BO= 1, AO= CO=木.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz,則 P(0,2) , A(0一.3,所以Pb= (1, "3, 2),AC= (00) , R1 , 0, 0), Q0273, 0).-'3設(shè)pbt ac所成角為e,

11、PB- ACcos e= |1B =2V2W3=.64即叱AC所成角的余弦值為i6考點(diǎn)直線與平面所成的角AA,例ED (2018 高考浙江卷)如圖，已知多面體 ABCAiGH.ftBB, CC均垂直于平面 ABC / ABC= 120 , AA= 4, Cd 1, AB= BC= BB= 2.(1)證明：AB，平面ABC;(2)求直線AC與平面ABB所成的角的正弦值.【解】 法一：(1)由 AB= 2, AA=4, BB=2, AAAR BBL AB 得 AB=AB= 2出,所以 A1E2+AE2 = AA,故 ABAB.由 BC= 2, BB=2, CC= 1, BB± BC CC

12、，BC得 BG = W， 由 AB= BC= 2, /ABC= 120 彳導(dǎo) AC= 2/3,由 CC，AC 彳導(dǎo) AG=13,所以 AE2+BC2 = AC2,故 ABXBiG.因此AB,平面ABC.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作CQ, A Bi,交直線 AB于點(diǎn)D,連接AD由AB,平面ABCi得平面 ABC，平面 ABB,由GD±AB得GDL平面ABB,所以/ CAD是AC與平面ABB所成的角.cos / CAB =,167sin / GABi =1由 BC = 55, ABi = 2yJ2, A C = 21 得cr . 廣拓 / C D、39 所以 GD= 3j 3,故 sin / C

13、AD= AC=毛-.因此，直線 AC與平面ABB所成的角的正弦值是法二：(1)如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線 OB OC 為x, y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：代0, -<3, 0), R1 , 0, 0), A(0, -V3, 4) , B(1 , 0, 2), C(0 , V3, 1).因此AB=(1 , >/3, 2) , AB= (1 , V3, 2),M)=(0 , 2v3, -3).由AB - ABi=0 得 AB± A1B1.由AB - AC=0 得 AB± AC.所以AB,平面ABC.(2)設(shè)直線AC與平

14、面ABB所成的角為0 .由 可知 AC=(0, 2/，1), AB=(1，/, 0), BB=(0, 0, 2), 設(shè)平面ABB的法向量n=(x, y, z).n AB= 0,x3y=0,由即"可取 n=( -J3, 1,0).n BB=0,2z= 0，所以 sin 0 =|cos AC, n | =ACL=騫.|AC| |n|因此，直線AC與平面ABB所成的角的正弦值是 舞律方法利用向量求線面角的方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾 角(或其補(bǔ)角).(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其跟蹤訓(xùn)練(

15、2020 浙江省高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)如圖，在三棱PA= PC 二面余角就是斜線與平面所成的角.錐P-ABC, ABC是等邊三角形，點(diǎn) D是AC的中點(diǎn),角P-AC B的大小為60°求證：平面PBDL平面PAC(2)求AB與平面PAC所成角的正弦值.BDL AC解：(1)證明：PDL AC? ACL平面 PBDPE BD= D又AC?平面PAC所以平面 PACL平面PBD即平面PBDL平面PAC(2)因?yàn)锳CL BD如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.,工/則 D(0, 0, 0),令 A(1 , 0, 0),息則 B(0, & 0), Q1, 0, 0) .二A又/ PD助二面角P

16、-ACB的平面角，得/ PDB= 60° .4By設(shè)dp=入，則po, -2,乎人,設(shè)n=(x, y, z)為平面PAC勺一個(gè)法向量， 則AC= (2,0, 0) , AP= T，g，呼入，n AC= 0-2x=0由，得 入 市 ,n AP 0-x + Ty+ 2 Xz = 0B y = V3,得 n=(0,小，T).又AB= (-1,4，0),得 cosn, Ab =白=3.2人2 4設(shè) A"平面 PAO成角為 0 ,則 sin e =|cos <n, AB> | =3.考點(diǎn)£1二面角(高頻考點(diǎn))二面角是高考的重點(diǎn)，是考查熱點(diǎn)，題型多以解答題形式出現(xiàn)

17、，一般為中檔題.主要命題角度有：(i)求二面角；(2)由二面角求其他量.角度一求二面角例豆 如圖，在三棱臺(tái) ABCDEF中，平面BCFEL平面AB。/ ACB J=90 , BE= EF= FC= 1, BC= 2, AC= 3.四二一(1)求證：BFL平面 ACFD(2)求二面角B AD F的平面角的余弦值.s【解】(1)證明：延長(zhǎng)AD, BE, CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫?BCFE平面 ABC平面 BCFB平面 ABC= BC且 ACL BC 所以，ACL平面 BCK 因止匕，BFL AC 又 EF/ BC BE= EF = FC= 1, BC= 2,所以 BCK邊三角形，且 F

18、為CK的中點(diǎn)， 則BF± CK又AS C除C,所以BFL平面 ACFD(2)如圖，延長(zhǎng) AD BE CF相交于一點(diǎn) K,則BCK/等邊 三角形.取 BC的中點(diǎn)O,連接KO則KOL BC又平面BCF曰平 面ABC所以，KOL平面ABC以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線 OB OK 的方向?yàn)閤軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz.由題意得 B(1 , 0, 0), C(- 1, 0, 0) , K(0 , 0,小)，A(一1,31,31, 3, 0), E(-, 0, /) , F( -2, 0, 2) 因此，AC= (0 ,3, 0),設(shè)平面ACK勺法向量為m= (X1,z。，平面ABK

19、勺法向量為n=(X2, y2, Z2).Ak= (1 , 3, 43) , AB= (2 , 3, 0).XC, m= 0,3y1= 0由得廣 取m (g 0， 1)；AK- m0x1 + 3yi + V3zi=0,ABn=0,2x2+3y2=0,由得 取 n=(3 , 2, #).AK- n=0X2+ 3y2+FZ2=0,：3所以，二面角B AD F的平面角的余弦值為4.角度二由二面角求其他量例可 如圖，四棱錐P-ABCD,底面ABCM矩形，PAL平面ABCD點(diǎn)E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB/平面AEC(2)設(shè)二面角 DAEC為60° , AP= 1, AD= ® 求三

20、棱錐 EACD勺體積.【解】(1)證明：連接BD設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G則G為AC BD的中點(diǎn)，連接EG在三角形 PB計(jì)，中位線 EG/ PB,且EG平面AECft, PB?平面AEC所以PB/平面AEC(2)設(shè)CD= m以A為原點(diǎn)，分別以Ah Ab AP勺方向?yàn)閄, y, z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz,則 A(0 , 0, 0) , 口0,0 0), E °，乎，：，C(m 木,0) .所以AD= (0, 0 0) , AE= 0,乎,2 , 唇(e ® 0) .設(shè)平面ADE勺法向量為 m = (X1, y1, Z1),n - AD= 0,則解得 m = (1

21、, 0, 0). n AE= 0,同理設(shè)平面ACE勺法向量為n2=(X2, y2, Z2),n2 , AC= 0,n2 , AE= 0解得一個(gè)山=(,rq V3n).因?yàn)?cos 60 ° = |cos .AP 1 一一 .設(shè)F為AD的中點(diǎn)，連接EF,則PA/ EF,且EF= y=-, EFL平面ACD所以EF為三棱錐匚AC而高.所以 Ve-acid= , Skacd EF= x -x x /3x = -.33 2 228所以三棱錐E-ACD勺體積為,138 .求二面角大小的常用方法(1)分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得 到二面角的大小，但要注

22、意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)跟蹤訓(xùn)練向量的夾角的大小就是二面角的大小.(2020 溫州普通高中?？?)如圖，四棱錐 RABCDK / ABC= / BCD=90° , AB= 2, CD= CB= CP= 1,點(diǎn)P在底面上的射影為線段 BD的中點(diǎn) M點(diǎn)F為AB的中點(diǎn). 若點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，求證：CE/平面PAD(2)求二面角A-PBC的平面角的余弦值.解：(1)如圖，由點(diǎn)P在底面上的射影為線段 BD的中點(diǎn)M且MC= MB= MF= MD則PC=PB= PD= BC以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC BA所在直線為x

23、, y軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz ,則R0, 0, 0),收0, 2, 0), C(1 , 0, 0) , D(1 , 1, 0),P1 1 二 E1 1 二 2， 2， 2 '4， 4， 4 'it r -13/2則AD= (1 , - 1, 0), AP= j, -2,占，齊 3 12CE= 4' 4' 4 '所以 t = (1, 1,為平面PAD勺一個(gè)法向量,所以CEt=0,所以CE/平面PAD(2) BA= (0, 2, 0), B> (1 , 0, 0), BP= 1，1,平，設(shè)平面 BPAW一個(gè)法向量為 m= (x, y, z),

24、2y =0BA- m= 0由 BF>. m= 0, 即 $+格=0'B m=(小,0, -1),同理，平面BPC勺一個(gè)法向量為 n = (0, 乖 1),13,設(shè)e是二面角A-PBC的平面角，易見(jiàn) e與m, n>互補(bǔ)，4mn故 cos 0 = - cos < m n> = - I mi n| ，一 _ 1所以二面角A-PBC的平面角的余弦值為一 §.基礎(chǔ)題組練1 .在直三棱柱 ABCABC中，若/ BAC= 90° , AB= AC= AA,則異面直線 BA與AC所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°

25、;D. 90°解析：選C.不妨設(shè)A氏AC= AA= 1,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(0 , - 1, 0),A(0, 0, 1), A(0, 0, 0), G(-1, 0, 1),所以 BA= (0 ,1,1),AC= (-1, 0, 1),所以 cosBA, ACBA . AC 11I BAI . I AC| V2XV2 2所以BA, AC=60° ,所以異面直線 BA與AG所成的角等于60。2 .在三棱錐 P-ABO43, PAL平面 ABC / BAC= 90° ,點(diǎn) D, E, F分別是棱 AR BC CP的中點(diǎn)，A氏AC= 1, PA= 2,則直線

26、PA與平面DEF所成角的正弦值為()15AB2一5D解析：選C.以A為原點(diǎn)，AB, z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0, 0),B(1 ,0,0),a0,1,0),1F 0, 2， 1 .AC AP所在直線分別為x軸，y軸,Axyz,由 AB= AC 1, PA= 2,得11 1p(0,0,2),D2, 0, 0 ,E2, 2, 0 ,所以吼(0, 0, -2) , DE= 0, 1, 0 ,Df=2 2'設(shè)平面DFE的法向量為n=(x, V，z),則由n - DE= 0,n DF= 0,y = 0,-x + y+ 2z= 0.取z = 1,則n=(2, 0, 1),設(shè)直線PA

27、與平面DEFW成的角為 0 ,則sin e =|cos鬲n| =|PA，n| =坐,所以直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 W5|PA| n|55ABCD/f成的銳二3 .在正方體 ABCDABGD中，點(diǎn)E為BB的中點(diǎn)，則平面 AED與平面 面角的余弦值為.解析：以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為1,1則 A(0, 0, 1), E1, 0, 2 ,* 1, 0),所以 AD= (0 , 1, 1),AE= 1, 0, -2 ,設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為 m=(1 , y, z),y-z = 0,y = 2,則 1 所以 所以ni = (1 , 2, 2). 1-2z

28、=0,z = 2.因?yàn)槠矫?ABCM一個(gè)法向量為 n2=(0, 0, 1), 所以 cosm, n2> = f.3 X I 3一，,-2即所成的銳二面角的余弦值為2.32答案：34.在正三棱柱 ABCABG中，AB= 1,點(diǎn)D在BB上，若BD= 1,則AD與平面AACC 所成角的正切值為 .解析：如圖，設(shè) AD與平面AACC所成的角為a，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)， 連接BU則BE± AC所以BE，平面AACC,可得Ab EB=(曲BD EB= Abeb= ix 浮 ¥=3fX 乎 X cos 0 ( 0 為ADfEB勺夾角)，所以cos 0 =X6= sin a ,所以所求角

29、的正切值為 tan a = cos := 25.4sin 055.已知單位正方體ABCEAiBiCiD, E, F分別是棱BG, GD的中點(diǎn).試求:(1) AD與EF所成角的大小;B1- xyz,得 A（1 , 0, 1）,(2) AF與平面BEB所成角的余弦值. 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 R0, 0, 1), D(1 , 1, 0),11E0, 5, 0 , F5,1,0.因?yàn)?AD=(0 , 1, 1),所以 cosAD, EF=1 1（0, 1, 一 1）- 2,0(2) FA；，-1,1,由圖可得,1即AD與EF所成的角為60°BA= (1 , 0, 0)為平面BEB

30、的一個(gè)法向量，設(shè) AF與平面BEB所成的角為 e ,則sin 0 = |cos BA所以 cos e = 2-2 3即AF與平面BEB所成角的余弦值為2 ,23 -6. (2020 寧波市余姚中學(xué)高三期中(2)設(shè)點(diǎn)M是線段PC上的一點(diǎn)，P陣tPC,且PA/平面MQB求實(shí)數(shù)t的值;)如圖，在四棱錐 P-ABCD,底面ABCM菱形,若PA= PD= AD= 2,且平面 PADL平面 ABCD求二面角 MBQC的大小.解：(1)證明：連接BQ因?yàn)樗倪呅?ABC師菱形, /BAD= 60 ,所以 ABD是正三角形，又 Q為AD中點(diǎn),所以ADL BQ因?yàn)镻A= PD, Q為AD中點(diǎn)，所以AD±

31、 PQ又BQ? PQ= Q 所以ADL平面PQB AD?平面PAD所以平面PQBL平面PAD-1 ,_(2)當(dāng)t = 3時(shí)，使得PA/平面MQB連接AC交BQ于N,交BDT Q則O為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)?BQ% ABDfe AD上的中線，所以 N為正三角形 ABD勺重心,令菱形ABCD勺邊長(zhǎng)為a,則AN= a, AC= 1 3a. 3因?yàn)镻A/平面 MQB PA?平面PAC平面PACP平面 MQB MN所以PA/ MNPM ANPCT AC映3因?yàn)镻CX AD又平面 PAD_平面ABCD所以QA QB QP兩兩垂直,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 QA QB QP所在直線為x, v, z軸，建立如圖所示

32、的空間直角坐標(biāo)系Qxyz,由 PA= PD= AD= 2,則 B(0, 43, 0) , Q 2, 3, 0),R0 , 0,姆)，設(shè) Ma, b, c),則 PU (a, b, c>/3),咯(2,小,-p,因?yàn)镻Mk 1pc所以PU 3PC,所以a=-|，b等,。=攣所以M2,里羋， 333333設(shè)平面 MQB勺法向量n=(x, y, z),由 QMh -2,乎，乎，QB= (0, ® 0),2'32_3且n，QM n，QB得一那十3"3 z=0V3y= 0取 z = 1,得 n=(<3, 0, 1),又平面ABCD勺法向量m (0 , 0, 1),

33、mr n1所以 cosn=|mf =2，由圖知二面角 M BQ C的平面角為銳角,所以二面角 MBQC的大小為60。綜合題組練1. (2020 杭州中學(xué)高三月考)如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABC四平行四邊形，PAL底面ABCD點(diǎn)MPD的中點(diǎn)，且PA= AB= AC= 2, BC= 2 ,：2.(1)求證：CDh平面PAC10 »AN 5 ,求獻(xiàn)值(2)求二面角 MABC的大小;(3)如果N是棱AB上一點(diǎn)，且直線 CN平面MA所成角的正弦值為解：(1)證明：因?yàn)樵?ABO43, AB= AC= 2, BC= 2V2,所以 B(C=A+AC2,所以 ABL AC因?yàn)锳B/ CQ

34、所以AC! CD又因?yàn)镻AL底面ABCD所以PALCQ因?yàn)锳CT PA= A所以CDL平面PAC(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0 ,0,0),P(0 ,0,2) ,R2 ,0,0) ,C(0 ,2, 0), D(-2, 2, 0),因?yàn)辄c(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn)，所以 M1, 1, 1),所以AM= (-1, 1, 1) , AB= (2, 0, 0),設(shè)n=(x, y, z)為平面MA剛法向量，n AM= 0x+y+z = 0所以，即n - ABB= 02x=0x= 0令 y = 1,則 y= 1,z= - 1所以平面MAB勺法向量n= (0 , 1, - 1).因?yàn)镻AL平面A

35、BCD所以AP= (0, 0, 2)是平面 ABCW一個(gè)法向量.所以cosn,Ah =n-AP 2| n| AP 2XV2因?yàn)槎娼荕-ABC為銳二面角,一 一. 一 兀所以二面角MABC的大小為了(3)因?yàn)镹是棱AB上一點(diǎn),所以設(shè) N(x, 0, 0), NC= ( -x, 2, 0),設(shè)直線CN與平面MAB/f成角為a ,因?yàn)槠矫鍹AB勺法向量n= (0 , 1, 1),所以sina = |COSNC n> |210xx2 + 4 5解得 x=1,即 AN= 1, NB= 1,所以 AN= 1. NB2. (2020 惠州市第三次調(diào)研考試 )如圖，四邊形 ABCDI圓柱OQ勺軸截面，

36、點(diǎn) P在圓 柱OQ勺底面圓周上，點(diǎn) G是DP的中點(diǎn)，圓柱 OQ勺底面圓的半徑 OA= 2,側(cè)面積為873% , ZAOP= 120° .(1)求證：AGL BD(2)求二面角P-AG B的平面角的余弦值.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,由題意可知83% =2X2% X AD解得AD= 2m則 A(0, 0, 0), R0, 4, 0), D(0, 0, 2娟)，P(8 3, 0),因?yàn)镚是DP的中點(diǎn)，所以可求得 G3,，3 .(1)證明：BD> (0, 4, 25), AG=乎，|,小.所以Ab BD> g I，木 (0, -4, 273) = 0,所以AGL

37、 BD(2) BP= (V3, - 1, 0) ,AG=乎,3,V3,PG=T，匹-532 ?2 v0 ,因?yàn)锽P-PG= 0, AG-BP= 0,所以BP是平面APG勺法向量.設(shè) n=(x, y, 1)是平面 ABG勺法向量，由 n AG= 0, n BG= 0.解得 n=(-2, 0, 1),BP-n2仙灰cosBP, n> =片=占.155 .| BP I n|2乖5結(jié)合圖形得，二面角 P- AG B的平面角的余弦值為3. (2020 溫州十五校聯(lián)考)已知菱形 ABCDK 對(duì)角線 AC與BD相交于一點(diǎn) O, / BAD = 60° ,將 BDC占著B的起彳# BDC ,連接 AC' .(1)求證：平面 AOC ±平面 ABD(2)若點(diǎn)C在平面ABD上的投影恰好是 ABDW重心，求直線 CD與底面ADC所成角 的正弦值.解：(1)證明：因?yàn)?C O± BQ AOL BQ C On AO= Q所以BDL平面 C OA又因?yàn)?BD?平面ABD所以平面 AOC ±平面 ABD(2)如圖建系 Oxyz,令 AB= a