(完整版)小學(xué)奧數(shù)周期問(wèn)題(五年級(jí))

1、周期問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)周期問(wèn)題是指事物在運(yùn)動(dòng)變化的發(fā)展過(guò)程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問(wèn)題。這些數(shù)學(xué)問(wèn)題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問(wèn)題和某一周期的等式相對(duì)應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅，再4個(gè)黃，再3個(gè)綠，再2個(gè)黑，再1個(gè)白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此涂下去，到2001個(gè)小球該涂什么顏色？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即5+4+3+2+1=15個(gè)球

2、為一個(gè)周期，不斷循環(huán)。因?yàn)?001一15=1336,也就是經(jīng)過(guò)133個(gè)周期還余6個(gè)，每個(gè)周期中第6個(gè)是黃的，所以第2001個(gè)球涂黃色。練習(xí)1：1. 跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏2. 有一串珠子，按4個(gè)紅的，3個(gè)白的，2個(gè)黑的順序重復(fù)排列，第160個(gè)是什么顏色？3.1/7=0.142857142857，小數(shù)點(diǎn)后面第100個(gè)數(shù)字是多少？【例題2】有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們把二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47一9=5（組）2（盞），余

3、下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；（2）由于47一9=5（組）2（盞），所以紅燈共有2X5+2=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍(lán)燈共有4X5=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有3X5=15（盞），占總數(shù)的15/47。練習(xí)2：1. 有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？2黑珠和白珠共2000顆，按規(guī)律排列著，第2000顆珠子是什么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？3. 在100米長(zhǎng)的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個(gè)同學(xué)。這些同學(xué)以一端開(kāi)始，按先兩個(gè)女生，再一個(gè)男生的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個(gè)女生？【例題3】2001年10月

4、1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？【思路導(dǎo)航】一個(gè)星期是7天，因此7天為一個(gè)周期。10月1日是星期一，是第一個(gè)周期的第一天，再過(guò)7天即10月8日也是星期一。計(jì)算天數(shù)時(shí)為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，例如10月8日就用（81）一7=1.沒(méi)有余數(shù)說(shuō)明8號(hào)仍是星期一。題中說(shuō)從2001年10月1日到2002年1月1日，要經(jīng)過(guò)92天，92一7=131.余1天就是從星期一往后數(shù)一天，即星期二。-#-練習(xí)3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2. 如果今天是星期五，再過(guò)80天是星期幾？3. 以今天為標(biāo)準(zhǔn)，算一算今年自己的生日是星期幾？【例題4】將奇數(shù)如下圖排

5、列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問(wèn)：2001所在的列以哪個(gè)字母ABCDE為代表？135715131191719212331292725【思路導(dǎo)航】這列數(shù)按每8個(gè)數(shù)一組有規(guī)律排列著。2001是這一列數(shù)中的第1001個(gè)數(shù)，1001一8=1251.即2001是這列數(shù)中第126組的第一個(gè)數(shù)，所以它所在的那一列是以字母B為代表的。練習(xí)4：1將偶數(shù)2、4、6、8、按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？2.把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？ABCDEABCD8642123101214166542422201878926283032121110-3一【例題5】8888100個(gè)8一7,當(dāng)商是整數(shù)

6、時(shí)，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】從豎式中可以看出，被除數(shù)除以7，每次除得的余數(shù)以1、4、6、5、2、0不斷重復(fù)出現(xiàn)。我們可以用100除以6,觀察余數(shù)就知道所求問(wèn)題了。100一6=164余數(shù)是4說(shuō)明當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是1、4、6、5、2、0中的第4個(gè)數(shù)，即5。練習(xí)5：1.4444100個(gè)4一3當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？2.4444100個(gè)4一6當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾?-9-課后作業(yè)1右同樣小的紅、白，蕙珠it180個(gè)，按5令紅的、4牛白的二牛黒的排列著.問(wèn)：第J5S個(gè)珠妊什么顏色的？黑珠共有多少個(gè)？J2011年的元旦是星期六衛(wèi)013年的元旦是星期幾?3U】：;"討.當(dāng)商是倍數(shù)時(shí).余數(shù)琵幾丫ml

7、T1£民氏節(jié)+路旁掛起一排虧燈”小華看到每晦捋門燈之間右紅.黃、綠燈各盞，那么"第80盞燈應(yīng)是什屯感色的？思考題sF宜是一個(gè)隹數(shù)每三個(gè)相罪的敦字之和都卑3你知道冋號(hào)表不的數(shù)字是耳嗎。第12講盈虧問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)盈虧問(wèn)題又叫盈不足問(wèn)題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會(huì)有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題。盈虧問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈+

8、虧）一兩次所分之差二人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題，它們被分為四類：1.兩盈：兩次分配都有多余；2.兩不足：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4，不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題演變過(guò)來(lái)的。解題時(shí)我們可以記?。?“兩虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差一兩次分得的差二參與分配對(duì)象總數(shù)；2“兩盈”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差一兩次分得的差二參與分配對(duì)象總數(shù)；3.“一盈一虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和一兩次分得的差二參與分配對(duì)象總數(shù)。二、精講精練【例題1】某校乒乓球隊(duì)有若干名學(xué)生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數(shù)的一半

9、；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊(duì)共有多少名學(xué)生？【思路導(dǎo)航】（1）由“少一個(gè)女生，增加一個(gè)男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一個(gè)男生，增加一個(gè)女生”后，女生就比男生多2+2=4人，這時(shí)男生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有4X2=8人。原來(lái)女生有81=7人，男生有72=5人，共有7+5=12人。練習(xí)1：1.學(xué)校買來(lái)了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買來(lái)兩種粉筆各多少盒？2.操場(chǎng)上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，則兩堆

10、貨物一樣重；苦甲、乙兩堆各運(yùn)走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少噸？【例題2】幼兒園老師拿出蘋(píng)果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友，則少4個(gè)；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給4個(gè)，則老師自己也能留下4個(gè)。有多少個(gè)小朋友？共有多少個(gè)蘋(píng)果？【思路導(dǎo)航】如果平均分給小朋友，則少4個(gè)，說(shuō)明小朋友人數(shù)大于4；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給4個(gè)，則教師也能留下4個(gè)，說(shuō)明每人少拿若干個(gè)，就少拿44=8個(gè)蘋(píng)果。因?yàn)樾∨笥讶藬?shù)大于4,所以，一定是每人少拿1個(gè)，有8一1=8個(gè)小朋友，有8X4+4=36個(gè)蘋(píng)果。練習(xí)2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個(gè)，則多9個(gè)；如果每人分5個(gè)，則少6個(gè)。有多少個(gè)小朋友？有多少個(gè)梨？2. 老

11、把一些鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎(jiǎng)給多少個(gè)三好學(xué)生？【例題3】幼兒園老師將一筐蘋(píng)果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個(gè)余10個(gè)；如果分給小班的學(xué)生每人8個(gè)缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，這筐蘋(píng)果有多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人5個(gè)就多余3X5+10=25個(gè)。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個(gè)就要多分（25+2）個(gè)蘋(píng)果，用（25+2）一（85）就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是9人，再用9X82就求出了這筐蘋(píng)果有多少個(gè)。練習(xí)3：1. 一些學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒(méi)有磚可

12、搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2. 老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊；如果減少2個(gè)小朋友再分，每人4塊還多7塊。原來(lái)有多少個(gè)小朋友？有多少塊糖？【例題4】幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？【思路導(dǎo)航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說(shuō)明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6一4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6X1.5=9塊，一共可分到6+9=15塊餅干。練習(xí)4：1.老師把一批書(shū)借

13、給甲組同學(xué)，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學(xué)每人可借6本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？2. 甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做8朵，正好送給五年級(jí)每個(gè)同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓甲組同學(xué)單獨(dú)做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨(dú)做，每人要做幾朵？【例題5】全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個(gè)同學(xué)；如果增加一條船，每條船正好坐6個(gè)同學(xué)。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個(gè)同學(xué)；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個(gè)同學(xué)。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐96=15人，15里面包含5個(gè)(96)，說(shuō)明有5條船。知道

14、了有5條船，就可以求全班人數(shù)：9X(51)=36人。練習(xí)5：1.老師把一籃蘋(píng)果分給小班的同學(xué)，如果減少一個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)正好分得5個(gè)；如果增加一個(gè)同學(xué)，正好每人分得4個(gè)。這籃蘋(píng)果一共有多少個(gè)？2. 五年級(jí)同學(xué)去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上價(jià)8人。五年級(jí)共有多少人？課后作業(yè)F測(cè)量水面到橋的豈度把翼別折兩韭到水面余6把繩二折后垂到水止余1求橋的高度和繩忙2獗子分桃子.如杲2只猴子各分，個(gè).梵金各分3千.則還剩余9牛；如黒4只獗子各分3個(gè)其余各分&個(gè)，則剩余K)1問(wèn)：艇子有幾只？桃子有兒??？3臬校安排學(xué)生宿舍，如果每?jī)兆?2人，就會(huì)有34人沒(méi)有宿舍；

15、如屋每聞住14人，就會(huì)空出4間宿仝，同：有多少問(wèn)宿舍。更安排霧少個(gè)學(xué)生”4蘋(píng)黑的個(gè)數(shù)總製的2倍.梨毎人分3亍.余2卜；蘋(píng)果毎人分7牛少已個(gè)丫問(wèn)：冇霧少人：多少蘋(píng)果和塞少梨思考題破五門班同學(xué)左劃船.如果增加一條船那2毎兼貂只耍坐&人匸如果減少一條罷鄴么毎棗罷就坐呂人.這:牛班肓多少名同學(xué)去坤和第13講長(zhǎng)方體和正方體（一）一、知識(shí)要點(diǎn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體的問(wèn)題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問(wèn)題要注意幾點(diǎn)：1. 必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來(lái)；2. 依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過(guò)割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3. 求一些不規(guī)則的物體體積

16、時(shí)，可以通過(guò)變形的方法來(lái)解決。二、精講精練【例題1】一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來(lái)求它的體積，左邊的長(zhǎng)方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長(zhǎng)方.中-:體的體積是10X（62）X2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是:-80X2=160（立方厘米）；（2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10X6+10X4+2X2）X2=232（平方厘米）。想一

17、想：你還能用別的方法來(lái)計(jì)算它的體積嗎？練習(xí)1：1.一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？2. 把一根長(zhǎng)2米的長(zhǎng)方體木料鋸成1米長(zhǎng)的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來(lái)的體積。3. 有一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？例題2】有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）先求出長(zhǎng)方體的體積，8X5X6=240（立方厘米），由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2X2X2=8（立方

18、厘米），這個(gè)零件的體積是2408=232（立方厘米）；（2）長(zhǎng)方體完整的表面積是（8X5+8X6+6X5）X2=236（平方厘米），但由于挖去了一個(gè)孔，它的表面積減少了一個(gè)（2X2）平方厘米的面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2X2）平方厘米的面，因此，這個(gè)零件的表面積是236+2X2X4=252（平方厘米）。練習(xí)2：1.有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2. 有一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3.如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么得到的物體的體積和【例題3】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方

19、體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成新的長(zhǎng)方體，：/'/其表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體增加了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50一4=12.5（平方厘米）。正方體有6個(gè)這樣的面，所以，原來(lái)正方體的表面積是12.5X6=75（平方厘米）。練習(xí)3：1.把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體木塊粘成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方體的2倍。如果拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是24厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2. 一根長(zhǎng)80厘米，寬和高都是

20、12厘米的長(zhǎng)方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3. 把4塊棱長(zhǎng)都是2分米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的表面積最多會(huì)減少多少平方分米？方厘米，求大長(zhǎng)方體的表面積。例題4】把11塊相同的長(zhǎng)方體磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。已知每塊磚的體積是288立【思路導(dǎo)航】要求大長(zhǎng)方體的表面積，必須知道它的長(zhǎng)、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，顯然，a=4h，即h=l/4a,2a=3b即b=2/3a，磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a3。由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=l/4*12=3。大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12X2=24厘米，寬

21、12厘米，高是8+3=11厘米，表面積就不難求了。練習(xí)4：1.一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2. 一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是385立方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。3. 有24個(gè)正方體，每個(gè)正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方體？用圖畫(huà)出來(lái)?！纠}5】一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高二長(zhǎng)X（寬+高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為

22、單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11X19=11X（17+2），即長(zhǎng)、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)5：1.有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？2. 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。3. 一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之長(zhǎng)相等，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是6分米、4分米、25分米，求正方體體積。課后作業(yè)3一垮責(zé)土如圖所示，已知.A的面祝是25卅詔的面積是15處擾#處莉h4m.現(xiàn)把月蚯的I:推向E處.使.4啟兩妊同樣高二A處尸耀了爹少？懇把一個(gè)fc9

23、cm7cm,3cm的從方萍鐵址和一嚇樓誼亍的正方障鐵塊搐鑄威一個(gè)底晚積是20cm2的長(zhǎng)方體求它的高；芟冇一個(gè)恢方賦它的前鬧和上面的面抿之和足156cm井且長(zhǎng)寬、高都是匪敎"求長(zhǎng)方悴的7下團(tuán)妃由棱甚Ium的1E方體木塊堆戲的形弒求它的體積和表面積fV、m思考題哇一塊悵方形鐵皮.四個(gè)猗剪去邊長(zhǎng)為2_&曲1的正方形,埠成一個(gè)技方持錢皮盒.可以盛水5奶升，已知遠(yuǎn)塊長(zhǎng)克珈挾度的低是21.2dmT求原隹方彌鐵皮的面積-13-第14講長(zhǎng)方體和正方體（二）一、知識(shí)要點(diǎn)在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物

24、體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問(wèn)題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1. 將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；2. 兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來(lái)物體體積的和；3. 物體浸入水中，排開(kāi)的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題1】有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長(zhǎng)40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長(zhǎng)30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底

25、面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40X32+30X24=2000（平方厘米），就能得到后來(lái)水面的高度。練習(xí)1：1. 有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長(zhǎng)6分米、寬和高都是4分米?，F(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面同樣高。問(wèn)水面高多少？2. 有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米？3. 一段鋼材長(zhǎng)15分米，橫截面面積是1.2平

26、方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長(zhǎng)。【例題2】將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6X9=6X（3X3）,所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6X（4X4）,棱長(zhǎng)是4厘米；150=6X（5X5）,棱長(zhǎng)是5厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2：1. 有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成

27、一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。2. 將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是13厘米，寬7厘米，求它的高?！纠}3】有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng)5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個(gè)體積除以底面積（5X4）就能得到水上升的高度了。練習(xí)3：1. 有一個(gè)小金魚(yú)缸，長(zhǎng)4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升0.

28、8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？2. 有一個(gè)正方體容器，邊長(zhǎng)是24厘米，里面注滿了水。有一根長(zhǎng)50厘米，橫截面是12平方厘米的長(zhǎng)方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問(wèn)：會(huì)溶出多少立方厘米的水？【例題4】有一個(gè)長(zhǎng)方體容器（如下圖），長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來(lái)以后，水流動(dòng)了，但體積沒(méi)有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是20X10=200平方厘米的長(zhǎng)方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)4：1. 有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸

29、長(zhǎng)3分米，寬和高都是2分米；乙缸長(zhǎng)4分米、寬2分米，里面的水深1.5分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？2. 有一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)方體，這長(zhǎng)方體的截面是一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形，求它的長(zhǎng)?！纠}5】長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別是長(zhǎng)X寬、長(zhǎng)X高、寬X高得來(lái)的。因此，15X10X6=（長(zhǎng)X寬X高）X（長(zhǎng)X寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是30立方厘米。練習(xí)5：1. 一個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是

30、25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？2. 一個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？課后作業(yè)-151把8塊棱氏是3cm的正方聲鐵塊熔鑄磁一個(gè)女正方體.這牛大正右悴的表面積墾多少？2在12cm的正方護(hù)容器里注肅水，投人一塊悵8cm.懂截血積是“叩？的怏方休抉塊-筮出的號(hào)裝人個(gè)底面積層12cm3的隹方怖客器申，氏高毎少哩來(lái)？3iE8dnildn4dm的祝方棒鐵訣鍛迺威-塊正方休、求正方惓的飯長(zhǎng)4塊核長(zhǎng)是石rm的止方體鐵塊浸沒(méi)在任方廉容器的水中，眼曲后.水面下降了0.9cm,

31、求過(guò)亍民方體容器的屁面積匚思考題&葡表血積為24曲cm-和294rmz的匸塊1E方暉跌塊熔轉(zhuǎn)展一嚴(yán)丈長(zhǎng)方庫(kù)巴知怪方佯的橫霰面積是於51',求它的化-21-第15講長(zhǎng)方體和正方體（三）、知識(shí)要點(diǎn)解答有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體的拼、切問(wèn)題，除了要切實(shí)掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。二、精講精練例題1】一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長(zhǎng)為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？【思路導(dǎo)航】把棱長(zhǎng)為6厘米的正方體鋸成棱長(zhǎng)為2厘米

32、的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個(gè)6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36X2X6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。練習(xí)1：1. 把27塊棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體堆成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積比原來(lái)所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2. 有一個(gè)棱長(zhǎng)是1米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個(gè)小正方體，表面積增加多少平方米？3. 把一個(gè)正方體的六個(gè)面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個(gè)同樣的小長(zhǎng)方體，沒(méi)有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了24

33、平方厘米，這個(gè)正方體木塊原來(lái)的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】把正方體分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是24一2=12平方厘米，而正方體有6個(gè)這樣的面。所以原正方體的表面積是12X6=72平方厘米。練習(xí)2：1. 把三個(gè)棱長(zhǎng)都是2厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？2. 有一個(gè)正方體木塊，長(zhǎng)4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積最多增加多少平方分米？3. 有三塊完全一樣的長(zhǎng)方體積木，它們的長(zhǎng)是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？【例題3】有一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)是3分米。如果按下圖

34、把它切成棱長(zhǎng)是1分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過(guò)程中，每切一切，就會(huì)增加兩個(gè)3X3平方分米的面，你能用這種思路來(lái)計(jì)算所求問(wèn)題嗎？練習(xí)3：1. 用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體擺成一個(gè)稍大一些的正方體，至少需要多少個(gè)小正方體？如果要擺一個(gè)棱長(zhǎng)是6厘米的正方體，需要多少個(gè)小正方體？2. 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共能鋸多少個(gè)？這些小正方體的表面積和是多少？3. 把24個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積至少是多少平方厘米？例題4】一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開(kāi)，切開(kāi)的小正方體中：(1

35、) 三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)?(2) 二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)?(3) 個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)?4)六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有幾個(gè)？【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個(gè)。1)三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，共有8個(gè)；(2) 二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1X12=12個(gè)；(3) 個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有1X6=6個(gè);4)六個(gè)面都沒(méi)有涂色的在大正方體的中間，有27(8126)=1個(gè)。練習(xí)4：1. 把一個(gè)棱長(zhǎng)是5厘米的正方體的六個(gè)面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及

36、六個(gè)面都沒(méi)有涂色的各有多少個(gè)?2. 把若干個(gè)體積相同的小正方體堆成一個(gè)大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個(gè)，那么，這些小正方體一共有多少個(gè)?3. 把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有多少個(gè)？【例題5】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體，這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】這個(gè)長(zhǎng)方體原來(lái)的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個(gè)面。切成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體要切2刀，一共增加2

37、X2=4個(gè)面。要求表面積和最大，應(yīng)該增加4個(gè)6X5=30平方厘米的面。所以，三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積和最大是148+6X5X4=268平方厘米。練習(xí)5：1. 有三塊完全一樣的長(zhǎng)方體木塊，每塊長(zhǎng)8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2. 把8個(gè)同樣大小的小正方體拼成一個(gè)大正方體，已知每個(gè)小正方體的表面積是72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3. 把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體，截成兩個(gè)長(zhǎng)方體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？課后作業(yè)f下冬是把舊個(gè)棱糙肯1的正

38、方悴堆故扈來(lái).其中冇一些正方體看不見(jiàn)'那么這個(gè)豈體圖形的表面積是參少？?個(gè)長(zhǎng)方休和-個(gè)正幵體的陵辰之和相等"已知艮方體的氏是6血寬是4dm.高圧2鈕1：求正Zf體的表面積和體積：3冇一節(jié)賤長(zhǎng)m的正方體沿長(zhǎng)、寬.高分別切3小、斗刀債刀后戒為120個(gè)小拴方體這120T小氏方體的轟貢積總和是寥少？4把一根悵64加】的粗扶絲截成JL段.焊成一亍長(zhǎng)方體框架.陽(yáng)用鐵皮包匕各個(gè)鹿'要使做成的帶證的長(zhǎng)方體鐵疣輜毘螢?zāi)苎b樓長(zhǎng)為！dm的正右休木塊.蠟這個(gè)長(zhǎng)方休鐵皮箱幡翌勞尢血積的鐵皮。思考題苗把若干體積相甞的小止方體排疚一平大'正方幡丁然而在大正方庫(kù)的展血涂上紅芭，已和一血涂色的

39、小正方體有964那么.兩而滌色的小正方陣冇亭少卒夕第16講組合圖形面積（一）、知識(shí)要點(diǎn)組合圖形是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合，二是重疊組合。由于組合圖形具有條件相等的特點(diǎn)，往往使得問(wèn)題的解決無(wú)從下手。要正確解答組合圖形的面積，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1. 切實(shí)掌握有關(guān)簡(jiǎn)單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；2. 仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清所求圖形是由哪幾個(gè)基本圖形組合而成的；3. 適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題；4，采用割、補(bǔ)、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。二、精講精練【例題1】一個(gè)等腰直角三角形，最長(zhǎng)的邊是12厘米，這個(gè)三角形的面積是多少平

40、方厘米？【思路導(dǎo)航】由于此三角形中只知道最長(zhǎng)的邊是12厘米，所以，不能用三角形的面積公式來(lái)計(jì)算它的面積。我們可以假設(shè)有4個(gè)這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個(gè)正方形的面積是12X12那么，一個(gè)三角形的面積就是12X12一4=36平方厘米。練習(xí)1:1求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）2.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是7厘米，求正方形EFGH的面積。3. 有一個(gè)梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面積就增加4.5平方厘米。求原來(lái)梯形的面積。【例題2】正圖正方形中套著一個(gè)長(zhǎng)方形，正方形的邊長(zhǎng)是12厘米，長(zhǎng)方形的四個(gè)角的頂點(diǎn)把正方形的四條邊各分成兩段，其中長(zhǎng)的一段是

41、短的2倍。求中間長(zhǎng)方形的面積。思路導(dǎo)航】圖中的兩個(gè)小三角形平移后可拼得一個(gè)小正方形，兩個(gè)大三角形平移后4X2=8（厘米）。中間長(zhǎng)方形的面積只要用總面積減去這兩個(gè)拼起來(lái)的正方形的面積就可以得到。即：12X12（4X4+8X8）=64（平方厘米）可拼得一個(gè)大正方形。這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是12一練習(xí)2：1.（如下圖）已知大正方形的邊長(zhǎng)是12厘米，求中間最小正方形的面積。2正圖長(zhǎng)方形ABCD的面積是16平方厘米，E、F都是所在邊的中點(diǎn)，求三角形AEF的面積。3求下圖（上右圖）長(zhǎng)方形ABCD的面積（單位：厘米）。【例題3】四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方厘米。三

42、角形CDH的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)是a,小正方形的邊長(zhǎng)是b。（1）梯形EFAD的面積是（a+b）Xb一2三角形EFC的面積也是（a+b）Xb一2。所以，兩者的面積相等。（2）因?yàn)槿切蜛FH的面積二梯形EFAD的面積一梯形EFHD的面積，而三角形CDH的面積二三角形EFC的面積一梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。練習(xí)3：1. 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，求陰影部分的面積。2.下圖中兩個(gè)完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）3.下圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？【

43、思路導(dǎo)航】要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底FD的長(zhǎng)度。連接FC后就能得到一個(gè)三角形EFC，用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積：8X20一28X8一2=48平方厘米。FD=48X2一20=4.8厘米，所求梯形的面積就是（4.8+8）X8一2=51.2平方厘米。練習(xí)4：1如下圖，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求陰影部分的面積。2. 在一個(gè)直角三角形鐵皮上剪下一塊正方形，并使正方形面積盡可能大，正方形的面積是多少？（單位：厘米）3. 圖中BC=10厘米，EC=8厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。求平行四邊形的面積。【例題5】圖

44、中ABCD是長(zhǎng)方形，三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，求ED的長(zhǎng)?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)槿切蜤FD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以，三角形BCE的面積比長(zhǎng)方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形BCE的面積是6X4+6=30平方厘米，EC的長(zhǎng)則是30X2一6=10厘米。D因此，ED的長(zhǎng)是104=6厘米。練習(xí)5：1如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米。求AH長(zhǎng)多少厘米?2.圖中三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是1厘米、2厘米和3厘米，求圖中陰影部分的面積。3正方形的邊長(zhǎng)是2（a+b）,已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和是多少平方厘米?-25-29-第17講組合圖形的面積（二）一、知識(shí)要點(diǎn)在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機(jī)會(huì)很多，解題時(shí)我們還可以記住下面三點(diǎn)1.兩個(gè)三角形等底、等高，其面積相等；2.兩個(gè)三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系；3. 兩個(gè)三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系。二、精講精練【例題1】如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的面積和。（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】按照一般解法，首先要求出梯形的面積，然后減去空白部分的面積即得所求面積。其實(shí)，只要連接AC，顯然三角形AEC與三角形DEC同底等