2022年高考數(shù)學專題--2導數(shù)起源千切線曲切聯(lián)系需熟練

1、專題01導數(shù)起源于切線，曲切聯(lián)系需熟練【題型綜述】導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = /(X)在/=凡處的導數(shù)/'(%)就是曲線丁 = /(x)在點(x()J(x()處的切線的斜率k ,即g r(%)=iim e。+小)一/5). AroAx【注】曲線的切線的求法：假設曲線過點p(xo, yo),求曲線過點尸的切線，那么需分點P(X0,沖)是切 點和不是切點兩種情況求解.1當點P(xo,州)是切點時，切線方程為yyo=f，(xo)(x-xo);2)當點尸(xo,州)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P(X|, f(Xl)；第二步：寫出過尸Q, 7(xi)的切線方程為yy(xi)

2、=/，(xi)(x-xi);第三步：將點P的坐標(xo,%)代入切線方程求出XI；第四步：將X1的值代入方程廣/(X1)寸，(XI)(X-X1),可得過.點P(xo,%)的切線方程.求曲線y=/(x)的切線方程的類型及方法1切點p(xo,yo),求 B(X)過點P的切線方程：求出切線的斜率(切)，由點斜式寫出方程；2切線的斜率為k,求-閆'(x)的切線方程：設切點P(xo, yo),通過方程與"(向)解得沏，再由點斜式 寫出方程；3切線上一點(非切點)，求產(chǎn)/'(x)的切線方程：設切點P(m,加)，利用導數(shù)求得切線斜率/'(xo),再 由斜率公式.求得切線斜率

3、，列方程(組)解得心，最后由點斜式或兩點式寫出方程.4假設曲線的切線與直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜 率，再由 W(xo)求出切點坐標(xo,阿，最后寫出切線方程.5在點P處的切線即是以尸為切點的切線，尸一定在曲線上.過點P的切線即切線過點P, P不一定是切點.因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是 否在.曲線上.【典例指引】例1. (2021全國新課標I卷節(jié)選)函數(shù)f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d)假設曲線y=f(x)和曲線y=g.(x) 都過點P(0, 2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.(I )求 a, b, c, d

4、的值.簡析:(I )由得/(0) = 2,g(0) = 2，r(0) = 4,g'(0) = 4,而/'(x)=2x+b, g'(x)=e*(cx + d + c),二a=4,b=2, c=2, d=2；例2.設函數(shù)/(x) = x2-a .(1)當a = l時，求函數(shù)g(x) = 0Xx)在區(qū)間0,1上的最小值；(2)當a>0時，曲線y = /(x)在點P(x"(*)(X >及)處的切線為/, /與x軸交于點4氏,0),求證：X > x2 > va .簡析： a = l時，g(x) = x3 -x ,由 g，(x)=3x?-1 = 0

5、,解得 x = 士孚.g'(x)的變化情況如下表:X0(0,當皂 3(羋口1g'(x)-0+g(x)0極小值/0所以當x = "時，g(x)有最小值g(*)= 一乎.Q)證明：曲線J = /(x)在點P(xx ,2x J - a)處的切線斜率上=/'&) = 2xx曲線v- /(x)在點P處的切線方程為j - (2x J - a) = 2x1(x-x1)«. Xi > n >- < o,即 x： <*1.所以X >x? >4a .例3.函數(shù)/(力=加+加3x(a8eR)在點(1 J(l)處的切線方程為y +

6、 2 = 0.求函數(shù)/(x)的解析式；假設對于區(qū)間2,2上任意兩個自變量的值入,/都有/(七)一/(七)歸。，求實數(shù)c的最小值: 假設過點M(2,?)(?豐2)可作曲線y = f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.簡析：(0/r(x) = 3ax2 +26x-3 .f(l)=-2, 1a + b3 = 2,a=l . 彳根據(jù)題意，得;.c即 八:；解得，所以x =l-3x./f(l) = 0,3a + 2b-3 = 0,| i = 0令f'(x) = 0,即3/-3 = 0.得*=±1.X-2-1(-1.1)1(L2)2f'(x).一“XI一 2增極大值減極小值增2

7、因為/(T) = 2, /=一2,艙、當xeT2時，/(x)aa=2, /(x)aR=-2.則對于區(qū)間-2,2上任意兩個自變量的值項產(chǎn)：,都有|/(七)-/國，(x)x-/(x).= 4,豳CN4.所以c的最小值為4.因為點M (2,m)(mw 2)不在曲線y = / (x)上，所以可設切點為(天,/ ).那么用=- 3x0 .因為/(% ) = 3片一3,所以切線的斜率為3后一 3.那么3：_3=衛(wèi)-3%一%2一2即 2x： 6x(； + 6 + ，= 0 .因為過點M (2,m)(m豐2)可作曲線y = /(x)的三條切線，所以方程2M 6片+ 6 +m=0有三個不同的實數(shù)解.所以函數(shù)且)

8、 = 2/ -6x2 +6 +加有三個不同的零點.那么g'(x)=6f-12x.令g'(x) = O，那么x = 0或x = 2.XF。)0(0,2)2(2,+oo)g'(x)+g(x)增極大值減極小值增g (0) > 06 +w > 0那么4 )： ，即，解得-6<m<2.g <2-2 + w<0【同步訓練】1.設函數(shù)/(x) = alnxZz?(x>0),假設函數(shù)/(x)在x = l處的切線方程為6x2y 7 = 0 .(I )求實數(shù)a,。的值；(II)求函數(shù)/(x)在-,e上的最大值.【思路引導】(I )根據(jù)導數(shù)的幾何意義

9、，可知函數(shù)/(x)在x = l處的導數(shù)即為切線的斜率，又點(1, -；)為切點，列 出方程解出a, b的值：(II)把a, b的值代入解析式，對函數(shù)求導判斷單調性，根據(jù)單調區(qū)間寫出函數(shù)的 最值.試題解析： /'(x) = -2ix,(x>0),X.函數(shù)/(X)在x = l處的切線方程為6x-2j，-7=0 ./'(l) = a-26 = 3,a = 4,解得, 1 ，所以實數(shù)ab的值分別為4和g. b = 一.221 44 (II)由知，/(x) = 41nx-x2, /'(x) = -x =,2 x x當時,令/'(x)>0 ,得1工工二2, ee

10、令尸(x)vO,得2vxWc, 1A f (x)在點，2)上單調遞增，在(2, c上單調遞減，/(x)在x = 2處取得極大值這個極大值也是/(x)的最大值.X/(2) = 41n2-2 ，所以函數(shù)在-,e上的最大值為41n2-2.2 .函數(shù)f(x) = " + mx + n)e*，其導函數(shù)丫 = f'(x)的兩個零點為-3和0.(1)求曲線y = f(x)在點(l,f)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； 求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上的最值.【思路引導】對函數(shù)求導，由于導函數(shù)有兩個零點，所以這兩個零點值滿足f'(x) = 0,解方程組求出m, n；利用導

11、數(shù)的幾何意義求切線方程，先求f(D，求出切點，再求f'(l)得出斜率，利用點斜式寫出切線方程，求單調區(qū)間只需在定義域下解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,求出增區(qū)間和減區(qū)間：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先研究函數(shù)在該區(qū) 間的單調性、極值，求出區(qū)間兩端點的函數(shù)值，比擬后得出最值.試題解析：(1) - f(x) = (x2 + mx + n)e",二f'(x) = (2x + m)e* + (x? mx + n)e, = x2 + (2 + m)x + (m n)e",由- 3) = 0t |9 - 3(m 2) (m + m) =

12、0 觸2 m = 1 I f'(0) = 0 I m + n = 0'肝1 寸從而f(x)=(1 x - l)e”, = (x? 3x)e.所以f(l) = e, ./= 4e,曲線Y = f(x)在點(11)處的切線方程為丫 - e = 4e(x-l),即V = 4ex - 3e .(2)由于eX>0,當x變化時，Hx), f(x)的變化情況如下表：X( 8,. 3)3( 3.0)0(0, + 8)f'(x)0-0.f(x)單調遞熠極大值單調遞減極小值單調遞增故f(x)的單調地區(qū)間是(.8,. 3), 9 + 8),單調遞減區(qū)間是(-3, 0).(3)由于f(2

13、) = 5e: f(O) =-1, f(.2) = e所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為5e2.最小值為-1.3 .設函數(shù)y = f(x)的定義域為O,假設對任意當，x2eD,都有歸1，那么稱函數(shù) y = /(x)為“加"”函數(shù).函數(shù)/()=%3+笈2+5 + 1的圖象為曲線。，直線y =質一 1與曲線。相切 于(1,-10).(1)求“X)的解析式，并求“X)的減區(qū)間;(2)設0<mW2,假設對任意工外加2,1,函數(shù)g(x)=小。為"Momz”函數(shù)，求實數(shù)s的最小值.16/n【思路引導】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，借助切點和斜率列方程求出"C,得出函數(shù)的解

14、析式“利用導數(shù)解了'(力<0求出函 數(shù)的單調減區(qū)間；對任意函數(shù)g(x) = ?為"s/a7""函數(shù)，等價于在上”一2,?上， /(x)mix-/(x)iiin<16/n,根據(jù)函數(shù)的在上一2,向上的單調性，求出力的最值，根據(jù)條件求 出加的范圍，得出結論.礴解析：(D f'(x) = 3x' + 2bx+c,.(f(1) = W b = 0,*'/(1) = -10, , c=-12,.'./(x) =x3 -12x+l y /*(x) = 3x: -12 = 3(x-2)(x+2), 列表可知：X-2(-2.2)2

15、(2,-wo)/1W+00+x)/極大值極小值/所以在(一2,2)上遞減.(2)已知條件等價于在也一2,同上，f(x)aa-f(x) <16m,."(x)在-2,2上為減函數(shù),且0<加2,，加2,何匚卜2,2卜:.在m-2,向上為減函數(shù)，/(力2=/(加一2)=(加-2)3-12(加-2)+1,f=f(W)= W3 12m +1 ./(X) =-6nr 4-12/n+16<16m * 得6 V2 /?> »J /max J /min34又 0 V W 2 , :. ?min = .4 .函數(shù)/(尢)=41一14,不 R.(1)求/(X)的單調區(qū)間;(

16、2)設曲線y = /(x)與x軸正半軸的交點為P,曲線在點尸處的切線方程為y = g(x),求證：對于任意的正實數(shù)x,都有/(x)Wg(x)；(3)假設方程x)=a(a為實數(shù))有兩個正實數(shù)根%，,且看<，求證：x2-x,<-1 + 45.【思路引導】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，根據(jù)導.函數(shù)在各區(qū)間段內的符號得到原函數(shù)的單調性；設出點p的坐標，利用導數(shù)求出切線方程g(x) = /'(毛)(1毛)，構造輔助函數(shù)F(x) = f(x)-g(x),利用導數(shù)得到時于任意實數(shù)x,有尸(x)W/(不)=0,即對任意實數(shù)x,都有 /(x)Wg(x)； 由

17、 知，g(x) = -12 x-4 ,求出方程g(x) = i的根，x2, = - + 43 ,由g(x) 在(9,+8)單調遞減，得到%«七'，同理得到根據(jù)不等式性質那么可證得 x2 - %! < x2 *- Xj 1 =+ 4§試題解析：由/(x) = 4x-f,可得(x) = 4-4x3,當f'(x)>0 ,即x<l時，函數(shù)f(x)單調 遞熠；當/'(x)<0,即x>l時，函數(shù)/'(x)單調遞減.所以函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間是(yo,1),單 調遞減區(qū)間是(L+<»).(2)設尸(20),

18、則q=41,，'()=-12,曲線y = /(x)在點P處的切線方程為y =/(毛)(一天)， 即 g(x) = f,()(x-xc),令 F(x)=/(x)-g(x) 即 F(x)=/(x)-/,(xb)(x_J(b) 則 r(x)=r(x)-r(xo).由于f'(x)=4-4/在(YD,+8)單調遞減，故F(X)在(Y,+8)單調遞減，又因為尸'(毛)=0,所以 當xe(-00,q)時，F(xiàn)(x)>0,所以當xe(如行)時，F(xiàn)(x) <0 ,所以產(chǎn)(x)在(一多)單調遞增, 在(天,*0)單調遞減，所以對任意的實數(shù)a, F(x)<F() = 0 ,對

19、于任意的正實數(shù)x,都有 /(x)<g(x).(口-(3)由(2)知g(尤)=-12 x-43 ,設方程g(x) = a的根為石，可得名=一"巴+ 4§，因為g(x)在 <)12(-00,4-00)單調遞減，乂由(II)知 g(X2)N/(x2)= a = g(x2')，所以 工2 4工2 .類似的，設曲線 y = /(x) 在原點處的切線為y = (x),可得(x) = 4x ,對'任意的xe(-8,+oo),有/(x)-/?(x) = -x4 <0即 /(x)</(%).設方程(x) = a的根為x；,可得x；=?,因為(x) =

20、4x在(-00,+oo)單調遞增， 且(玉)=/(玉)力(王)，因此，Xj < Xj,所以2%_王=h43 .A5 .函數(shù)/(x) = ov+ 4(4£凡4.0)在1 = 3處的切線方程為(2-1)尤一2丁+3 = 0.X 1假設g(x)= /(x+1),求證：曲線g(x)上的任意一點處的切線與直線x = 0和直線y = or圍成的三 角形面積為定值；【思路引導】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，/'(3)為切線的斜率，解出，寫出g(x)的切線方程求出三角形的面積為定值.試題解析：證明：(I)因為f (x) = aJ,所以f (3) =。-2 =三，b = 2 (if422又 g (

21、x) =f (x+1) =ax+,x2設g (x)圖象上任意一點P (x()» yo)因為g* (x) =a,廠22所以切線方程為 y- (ax()+- ) = (a ) (x-x0)4.令 x=0 得 y=一； 再令 y=ax 得 x=2x(), %4故三角形面積S= 2| 一 |2x()|=4,即三角形面積為定值. /6 .函數(shù)/(同=/+皿？+nx ( m,neR )(1)假設/(x)在x = l處取得極大值，求實數(shù)加的取值范圍；(2)假設/'(1) = 0,且過點P(0,l)有且只有兩條直線與曲線y = /(x)相切，求實數(shù)m的值.【思路引導】(1)根據(jù)條件得'

22、;(1) = 0,化簡得3+2m+n=0,再根據(jù)有極值得3x?+2mx+n=0中判別式大于零，進 而得m#-3,最后列表分析極大值條件得-1 +號>1,解得實數(shù)團的取值范圍；(2)切線條數(shù)確實定決 定于切點個數(shù)，所以設切點，轉化為關于切點橫坐標的方程2/3+ ?% + 1 = 0,再利用導數(shù).研究函數(shù) h(x) = 2x3 + mx2+1有兩零點，即極值為零，解得實數(shù)加的值.試題解析：( I ) f'(x) = 3x，+2mx+n由”)= 0#3 + 2m+n =0 A = 4m2 -12n >0./.(m+3)* >0,得到m 工一3,.f (x) = 3x，+2m

23、x (2m + 3) = (x -l)(3x + 2m + 3 I、 (、.'.r(x)= 0,得x=l或x=l + ；. J Jz ) 、由題一;1 +二J > L 解得m < 3由得m < -3(II )由1) = M導 3 + 2m + n =0所以 r(x) = 3x，+2mx-(3 + 2m)因為過點(0)且與曲線V = /(X)相切的直線有目僅有兩條,令切點是尸(天,打)，則切線方程為y-j0 =-七)由切線過點(0，所以有"尤= /'&)(-七)1-j3 -mx +(3 + 2w)Xj =3xJ +2wx -(3 + 2m)(一

24、a)整理得2/3 +暉2 + 1 = 0所以，關于X然)方程2x/ + mxJ+1 =。有兩個不同的實根.令h (x) = 2x 3 + mx' +1,貝ijh (x)需有兩個零點h'(x)= 6x* +2mx所以mwO,且'(x) = %導x =0或x =-巴3由題，h(0)=05ogh, -y=0又因為h(O) = L所以h？； = 0所以4-5) +m| -yj +1=0解得m = -3 ,即為所求.點評：函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側的導數(shù)符號.函數(shù)求極值.求/' (x) 一

25、求方程/' (x) = 0的根一列表檢驗/' (x)在/' (x) = 0的根的附近兩側的符號一 下結論.(3)極值求參數(shù).假設函數(shù)J(x)在點(七,)處取得極值，那么/'(毛) = 0,且在該點左、右兩側的導數(shù)值 符號相反.7 .函數(shù)/(x) = e*, g(x) = lnx+2.(1)假設直線歹=履+是曲線y = x)與曲線y = g(x)的公切線，求k,b；【思路引導】(1)設宜線丁 =辰+人與y = e'切于點與y = hu: + 2切于。(占叱+2), P處的切線方程 為y = e&x+（l-xje'1 .。處的切線方程為y =

26、'-* + 1m2+1.根據(jù)這兩條直線為同一條宜線，可得關于X和*2，解得X和Z的值，從而可得結果；試題解析：對函數(shù)求導，得N =。3對函數(shù)y = lnx+2求導，得y =-.x設直線J = H+b與y = /切于點P（馬右）,與y=lnx+2切于0（巧,Inx, +2）.則在點尸處的切線方程為：丁一。三=>（一內），即y = /x+（l-再）/ .在點。處的切線方程為：y-nx,-2 = -（x-x2）,即丁 =24+1皿+1. X>X, =11）這兩條直線為同一條直線，所以有J（1-再）/：=，叫+ 1（2）由（1）有演= -lnw ,代入（2）中,有）七"1

27、.=0,則演=1或七=1.Jr p當演=1時，切線方程為女，所以,八，6 = 0左=1當電=1時，切線方程為y = x+l,所以 一 .0 = 1點評：此題主要考查利用導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬，于難題.應用導數(shù)的幾何意義 求切點處切線的斜率，主要表達在以下幾個方面：（1）切點A（Xo，/（x。）求斜率攵，即求該點處的導數(shù) 左= /'（%）： （2）己知斜率上求切點A& J（xj）,即解方程廣（5）=攵：（3）巳知切線過某點 用（3"（玉）（不是切點）求切點,設出切點A（x。J（Xo）,利用左/三/=/'（/）求解.X -X。8.函數(shù)/(x)

28、 = Y+gx2+ar + b (a,b為常數(shù))，其圖像是曲線C.(1)設函數(shù)/(x)的導函數(shù)為f'(x),假設存在三個實數(shù)%,使得/) =/與/'(%) = 0同時成立，求 實數(shù)。的取值范圍；(2)點A為曲線C上的動點，在點A處作曲線。的切線4與曲線。交于另一點8,在點8處作曲線。的切線設切線的斜率分別為仁«2,問：是否存在常數(shù)丸，使得& =義勺？假設存在，求出之的值； 假設不存在，請說明理由.【思路引導】丫3 + 5 x? + / a) x + b 0由于存在唯一的實數(shù)%,使得/(%) =/與/'(%)=0同時成立，那么2'， 一 ，3x2

29、 +5x+a = 0存在唯一的實數(shù)根%,即b = 2Y+gx2+x存在唯一的實數(shù)根與，就把問題轉化為求函數(shù)最值問題：(2) 假設存在常數(shù)丸，依據(jù)曲線C在點A處的切線人與曲線C交于另一點3,曲線。在點B處的切線4,得到 關于;I的方程，有解那么存在，無解那么不存在.3 君 +。= 0試題解析:/'(x) = 3£+5x+a,由題意知 3 5 ,，消去a,得2*+三石+升一方=0不+蒼+axo+b=O2一有三解.令g(x)=2f +彳/ + x,則/(工)=(2工+1)(3工+1),分析單調性,可知且；一 j 方 gj -1 ',(2)設,4(XoJ(Xo),則點X處切線

30、方程為=-引，與曲線c ：)1=f(x)聯(lián)立方程組，得“x)-/(七)=/'()(一出),即(x-天y所以B點的橫坐標出 = 一毛+.由題意知，,525k、= f Ax0) = 3k： + 5x0 +a, kt= / (-2x0 -) =+ 2Oxo +- + a,若存在常數(shù) A ,使得七=超，24則 12工：+20% +g +。= A (3x； + 5x0 + a),即常數(shù)人使得(3x： +5x0)(4-A) = (2-1Rj- 所以 444-A = 0，25»解得2 = 4," = .故當。=時,存在常數(shù)a=4，使得k,=森；當時,= 0121221124不存在

31、常數(shù)/使得為 =9.函數(shù)/(x) = nr, (x) = ax2-x(«e/?).(1)假設曲線x)與g(x)在公共點A(l,0)處有相同的切線，求實數(shù)a,b的值；(2)當 =1時，假設曲線/(x)與g(x)在公共點P處有相同的切線，求證：點P唯一：(3)假設>0, b = ,且曲線/(x)與g(x)總存在公切線，求：正實數(shù)a的最小值.【思路引導】"1) = 0.曲線“X)與g(x)在公共點4(1,0)處有相同的切線，g=0,解出即可：設八 l) = gQ2(七,%)，由題設得/(毛)=8(/),/'(%)=8(玉)，轉化為關于司的方程只有一解，進而構造函數(shù)轉化為函數(shù)只有一個零點，利用導數(shù)即