(完整版)證明不等式的基本方法——比較法

1、第二講證明不等式的基本方法課題：第01課時(shí)不等式的證明方法之一：比較法一教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo)（1）了解不等式的證明方法比較法的基本思想；（2）會(huì)用比較法證明不等式，熟練并靈活地選擇作差或作商法來證明不等式；（3）明確用比較法證明不等式的依據(jù)，以及“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。（二）能力目標(biāo)（1）培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力；（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括的能力；（3）訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性。（三）德育目標(biāo)（1）激發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)；（2）養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。二教學(xué)的重難點(diǎn)及教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)重點(diǎn)不等式證明比較法的基本思想,用作差、作商達(dá)到比較大小的目的（二）教學(xué)難點(diǎn)借助與0或1比較大小轉(zhuǎn)化

2、的數(shù)學(xué)思想，證明不等式的依據(jù)和用途（三）教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)1. 情境設(shè)計(jì)用糖水加糖更甜，實(shí)際是糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大這個(gè)生活常識(shí)設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式大小的比較，引入新課。2. 教學(xué)內(nèi)容的處理（1）補(bǔ)充一系列不同種類的用作差、作商等比較法證明不等式的例題。（2）補(bǔ)充一組證明不等式的變式練習(xí)。（3）在作業(yè)中補(bǔ)充何時(shí)該用作差法，何時(shí)用作商法的習(xí)題，幫助同學(xué)們更好地理解比較法。3. 教學(xué)方法獨(dú)立探究，合作交流與教師引導(dǎo)相結(jié)合。三教具準(zhǔn)備水杯、水、白糖、調(diào)羹、粉筆等四教學(xué)過程（一）、新課學(xué)習(xí)：1.作差比較法的依據(jù)：a>boa-b>0a=boa-b=0a<boa

3、-b<0作差比較法的步驟：作差變形（化簡(jiǎn)）定號(hào)（差值的符號(hào)）得出結(jié)論2.作商比較法的原理和步驟：a,beR+aa>bo>1ba=bo=1baa<bo<1b作商比較法的步驟：作商變形(化簡(jiǎn))判斷(商值與實(shí)數(shù)1的關(guān)系)得出結(jié)論(二) 、典型例題：例1、已知a,b都是正數(shù)，且a豐b，求證：a3+b3>a2b+ab2.證明：采用差值比較法：(a3+b3)一(ab+ab2)=(a3-ab)+(b3一ab)=a2(a-b)+b2(b一a)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b)(因式分解)Qa豐b,a,b>0.(ab)2>0,a+b>0.(a

4、b)2(a+b)>0.a3+b3>a2b+ab2假如沒有已知a,b都是正數(shù)這個(gè)條件，結(jié)論又該分幾種情況進(jìn)行討論？例2、若實(shí)數(shù)x豐1，求證：3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.證明：采用差值比較法：3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)13=2(x一1)2(x+)2+.(配方法)130x豐1,從而(x一1)2>0,且(x+)2+>0,132(x-i)2(X+2)2+4>0,3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.若題設(shè)中去掉xH1

5、這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換?例3如果用akg白糖制出bkg糖溶液，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為ab若在上述溶液中再添加mkg白糖，此時(shí)糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加到將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問題，并給出證明.解：可以把上述事實(shí)抽象成如下不等式問題：已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b,則a十m>b+mb下面給出證明.將不等式兩邊相減，得+m-=“（b一）（通分）b+mbb（b+m）m(b一a)b(b+m)>0即Qa<b,.，.b一a>0;又Qa,b,m都是正數(shù)，所以m（b一a）>0,b（b+m）>0a+ma>b+mba+ma>b+mb例4、已知a,bgR+,求證：

6、aabb>abb證明：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a>b>0差值比較法失效采用商值比較法：a0>1,a一b>0,baabbaaa_bb(ab)()ababbab當(dāng)a=b時(shí)(2)a-b=1b當(dāng)a>b>0時(shí)，>1,a-b>0,(2)>1bb當(dāng)b>a>0時(shí)，0f<1,a-b<0,()a>1bb:.aabb>abba故原不等式得證.a+b+c例5.若a>b>c>0，求證aabbcc>(abc)3.證:Qa>b>c>0貝Uab,b一c,ac>0同時(shí)a

7、,b,a>1bccaabbcc=(a)號(hào)(b片(a)運(yùn)>ia+b+cbcc(abc)3a+b+c即aabbcc>(abc)3(三) 、課堂練習(xí):a1. 已知a豐1.求證：(1)a2>2a一1;(2)<1.1+a22. 已知a,b,c是正數(shù)，求證a2ab2bC2c>ab+cbc+aCa+b五、課時(shí)小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷、得出結(jié)論?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最重要的一步。作差常用的變形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差變形為幾個(gè)因式的乘積，或其它可判斷符號(hào)的形式，作商變形主要判斷商值與1的大小關(guān)系，大多數(shù)情況如上面例4、5最終可化為指數(shù)函數(shù)形式利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與性質(zhì)來進(jìn)行判斷較容易.六、布置作業(yè)：課本23頁第1、2、3題。（要求：按照課堂上老師演示做題的形式和格式，解題過程中做到有邏輯性、條理性、步驟要有理有）據(jù)七. 板書設(shè)計(jì)作差法依據(jù)（見上面）作差變形的方法：因式分解法、通分法、配方法最終比較差與0的大小關(guān)系作商法依據(jù)（見上面）結(jié)果大多數(shù)化成指數(shù)函數(shù)的形式，用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性，比較最終結(jié)果與1的大小關(guān)系比較法證明不等式：作差、作商的基本步驟（見上面）八后記情境創(chuàng)設(shè)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)