2019-2020年中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第三部分專題一代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題

1、2019-2020年中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第三部分專題一代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題課前導(dǎo)學(xué)計算說理是通過計算得到結(jié)論；說理計算側(cè)重說理，說理之后進行代入求值壓軸題中的代數(shù)計算題，主要是函數(shù)類題函數(shù)計算題必考的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設(shè)、列、解、驗、答五步完成一般來說，解析式中待定幾個字母，就要代入幾個點的坐標還有一類計算題，就是從特殊到一般，通過計算尋找規(guī)律代數(shù)計算和說理較多的一類題目，是確定直線與拋物線的交點個數(shù).聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)確定交點的個數(shù).我們介紹一下求函數(shù)圖像交點坐標的幾何方法如圖1,已知直線y=x+l與x軸

2、交于點A,拋物線y=X22x3與直線y=x+l交于A、B兩點，求點B的坐標的代數(shù)方法，就是聯(lián)立方程組，方程組的一個解是點A的坐標，另一個解計算點的坐標幾何法是這樣的：設(shè)直線AB與y軸分別交于C,那么tanZAOC=1.作BE丄x軸于E,那么.設(shè)B(x,X22x3)，于是.請注意，這個分式的分子因式分解后，這個分式能不能約分，為什么？因為x=1的幾何意義是點A,由于點B與點A不重合，所以xM1,因此約分以后就是x3=1.這樣的題目一般都是這樣，已知一個交點求另一個交點，經(jīng)過約分，直接化為一元一次方程，很簡便圖1xx年湖南省長沙市中考第25題在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“

3、夢之點”，例如點(1,1)，(2,2),，都是“夢之點”，顯然“夢之點”有無數(shù)個.(1) 若點P(2,m)是反比例函數(shù)(n為常數(shù)，nMO)的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；(2) 函數(shù)y=3kx+s1(k、s為常數(shù))的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標，若不存在，說明理由；(3) 若二次函數(shù)y=AX2+Bx+1(a、b是常數(shù)，a>0)的圖象上存在兩個“夢之點”A(x,x)、B(x,x)，且滿足一2<x<2，|xx|=2，令，試求t的取值范圍.1122112動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙25”，拖動y軸正半軸上表示實數(shù)a的點，可以體驗到

4、，A、B兩點位于y軸同側(cè)，A、B兩點間的水平距離、豎直距離都是2,并且對于同一個A,有兩個對應(yīng)的b和b,但是t隨b、t隨b變化時對應(yīng)的t的值保持相等.思路點撥1. “夢之點”都在直線y=x上.2. 第(2)題就是討論兩條直線的位置關(guān)系，分重合、平行和相交三種情況.3. 第(3)題放棄了也是明智的選擇.求t關(guān)于b的二次函數(shù)的最值，b的取值范圍由“夢之點”、一2<X<2和|Xxj=2三個條件決定，而且一2<X<2還要分兩段討論.圖文解析(1) 因為點P(2,m)是“夢之點”，所以P(2,2).所以.(2) “夢之點”一定在直線y=x上，直線y=3kx+s1與直線y=x的位置

5、關(guān)系有重s=1. 如圖2,當直線y=3kx+s1與直線y=x平行時，沒有“夢之點”.此時k=,sM1. 如圖3,當直線y=3kx+s1與直線y=x相交時，有1個“夢之點”.此時kM,“夢之點”的坐標為.(3) 因為A(x,x)、B(xx)兩點是拋物線與直線y=x的交點，聯(lián)立y=AX2+bx+1和112,2y=x,消去y,整理，得AX2+(b1)x+1=0.所以XX2=>0.所以A、B兩點在y軸的同側(cè).如圖4,由丨xi-x2|=2,可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離都是2.已知一2<xi<2，我們分兩種情況來探求a的取值范圍： 當A、B兩點在y軸右側(cè)時，0<X<2

6、,2<x2<4.所以0<XX2<8. 當A、B兩點在y軸左側(cè)時，2<xi<0,-4<x2<-2.所以0<XX2<8.綜合、，不論0<X<2或一2<X<0,都有0<XX2<8.所以0<<8.所以a>.由ax2+(bl)x+l=O,得x+x=，xx=.1212由|xx|=2，得(xx)2=4.所以(x+x)24xx=4.12121212所以整理，得所以=如圖5,這條拋物線的開口向上,對稱軸是直線，在對稱軸右側(cè)，t隨a的增大而增大.因此當時，t取得最小值，t=第(3)題我們也可以這樣來討

7、論：一方面，由1xix2|=2,得儀廠篤)4.所以(xi+x2)24xix2=4所以整理，得另一方面，由f(2)>0,f(2)<0,得f(2)f(2)<0.所以4a+2(b-1)+14a-2(b-1)+1<0.所以=<0所以a>例2xx年湖南省懷化市中考第23題設(shè)m是不小于一1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程X2+2(m2)x+m23m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(1) 若，求的值；(2) 求的最大值動感體驗請打開幾何畫板文件名“14懷化23”，拖動x軸上表示實數(shù)m的點運動，可以體驗到,當m小于1時，拋物線與x軸有兩點交點A、B.觀察點D隨m運動變化的圖像

8、，可以體驗到，當m=1時，點D到達最高點.思路點撥1. 先確定m的取值范圍，由兩個條件決定.2. 由根與系數(shù)的關(guān)系，把第(1)題的已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程.3. 第(2)題首先是繁瑣的式子變形，把m提取出來，可以使得過程簡便一點.圖文解析(1) 因為方程X2+2(m2)x+m23m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以A>0.由=4(m2)24(m23m+3)=4m+4>0,得mV1.又已知m是不小于一1的實數(shù)，所以一1WmV1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x+x=2(m2)=-2m+4，.12若，那么所以整理，得解得，或(舍去)所以32m=3(15)=:5+2.所以=.(2)=mx(1x)

9、+x(1x)m(1x)(1x)12(2m+4)2(m23m+3)=mm1(2m+4)+m23m+3考點伸展當m變化時，拋物線y=X2+2(m2)x+m23m+3=0的頂點的運動軌跡是什么？因為拋物線的對稱軸是直線x=(m2)，所以拋物線的頂點的縱坐標y=(m2)22(m2)2+m23m+3=m1.因為x+y=(m2)+m1=1為定值，所以y=x+1.也就是說，拋物線的頂點(x,y)的運動軌跡是直線y=x+1(如圖2所示).例3xx年湖南省湘潭市中考第26題如圖1,已知二次函數(shù)y=X2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點，直線AC的解析式為y=kx+4,直線AC與y軸交于點A,與二次函數(shù)的圖象

10、交于B、C兩點.1)求二次函數(shù)解析式；(2) 若，求k的值；(3) 若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，求k的值.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14湘潭26”，拖動點C在拋物線上運動，可以體驗到，當以BC為直徑的圓經(jīng)過原點時，BMOsONC.思路點撥1. 第(2)題先將面積比轉(zhuǎn)化為AB與BC的比，進而轉(zhuǎn)化為B、C兩點的橫坐標的比.2. 第(2)題可以用直線的解析式表示B、C兩點的坐標，再代入拋物線的解析式列方程組；也可以用拋物線的解析式表示B、C兩點的坐標，再代入直線的解析式列方程組.3. 第(3)題先聯(lián)立拋物線與直線，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到B、C兩點的橫坐標的和與積，再構(gòu)造相似三角

11、形列方程.圖文解析(1) 因為原點0關(guān)于直線x=2的對稱點為(4,0),所以拋物線y=x2+bx+c的解析式為y=x(x4)=X2+4x.(2) 如圖2,因為，所以.設(shè)x=m,那么x=4m.BC將點B(m,km+4)、C(4m,4km+4)分別代入y=x(x4)，得km+4=-m(m-4),4km+4=-4m(4m-4).一三4,整理，得m2=1.所以m=1.將m=1代入，得k+4=3.解得k=1.此時點C落在x軸上(如圖3).(3) 因為B、C是直線y=kx+4與拋物線的交點，設(shè)B(X,kX+4),C(X2，kx2+4).聯(lián)立y=X2+4x和y=kx+4,消去y,整理，得X2+(k4)x+4

12、=0.所以x+x=4k,xx=4.1212如圖5,若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，那么ZB0C=90°.作BM丄y軸，CN丄y軸，垂足分別為M、N,那么BMO-ONC.根據(jù)，得所以xx=-(kx+4)(kx+4)=-k2xx+4k(x+x)+16.12121212將X+x2=4k,XX2=4代入，得.解得.圖2圖3圖4考點伸展第(2)題也可以先用拋物線的解析式設(shè)點B、C的坐標，再代入直線的解析式列方程組.將點B(m,m2+4m)、C(4m,16m2+16m)分別代入y=kx+4,得-m2+4m=km+4,-16m2+16m=4km+4.X4，得12m2=12.所以m=l.將m=1代入，得

13、3=k+4.解得k=1.例4xx年湖南省株洲市中考第24題已知拋物線和直線(1) 求證：無論k取何實數(shù)值，拋物線與x軸有兩個不同的交點；(2) 拋物線與x軸交于A、B兩點，直線與x軸交于點C,設(shè)A、B、C三點的橫坐標分別是帚篤、x3,求氣x2的最大值;(3) 如果拋物線與x軸的兩個交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E,直線AD交直線CE于點G(如圖1),且CAGE=CGAB,求拋物線的解析式.i1Aw./cO圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14株洲24”，拖動y軸上表示實數(shù)k的點運動，可以體驗到,拋物線與x軸總是有兩個交點.觀察xxx隨k

14、變化的函數(shù)圖像,可以體驗到,Xxx123123是k的二次函數(shù).還可以體驗到，存在一個正數(shù)k,使得AD與BE平行.思路點撥1. 兩個解析式像龐然大物,其實第(1)題的語境非常熟悉,走走看,豁然開朗.2. 第(2)題xxx的最小值由哪個自變量決定呢？當然是k了.所以先求xxx123123關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，就明白下一步該怎么辦了.xx2由根與系數(shù)的關(guān)系得到，x3就是點C的橫坐標.3. 第(3)題的等積式轉(zhuǎn)化為比例式，就得到AD/BE.由此根據(jù)OD：OA=OE：OB列方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡.還是走走看，柳暗花明.圖文解析(1) 因為A=(k+2)24x(5k+2)=k2-k+2=(k-1)2+7>0,所以無論k取何實424數(shù)值，拋物線與x軸有兩個不同的交點.(2) 由，得C(k+1),0).所以X3=(k+1).由根與系數(shù)的關(guān)系，得xx2=.所以xxx=.123因此當時，Xx2x3取得最大值，最大值=.(3) 如圖2,由CAGE=CGAB，得.所以AG/BE，即AD/B