2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理教學(xué)設(shè)計 新人教B版必修5

1、2019-20202019-2020 年高中數(shù)學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1.1.11.1.1 正弦定理教學(xué)設(shè)計新人教正弦定理教學(xué)設(shè)計新人教 B B 版必修版必修 5 5教學(xué)分析教學(xué)分析本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系；這里的一個重要問題是：是否能得到這個邊、角

2、關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)在學(xué)法上主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了若在解題中出現(xiàn)了錯誤，則應(yīng)及時糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費過多的時間本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗證”學(xué)習(xí)正弦定理三維目標(biāo)三維目標(biāo)1通過對任意三角形

3、邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題2通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實際問題的能力通過學(xué)生的積極參與和親身實踐，并成功解決實際問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神重點難點重點難點教學(xué)重點：正弦定理的證明及其基本運用教學(xué)難點：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數(shù)課時安排課時安排1 課時教學(xué)過程教學(xué)過程導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課思路 1.（特例引入）教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如 RtAA

4、BC 中的邊角關(guān)系， 若 ZC 為直角， 則有 a=csinA,b=csinB， 這兩個等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得至匸盍=僉，進一步提問，等式能否與邊 c 和 ZC 建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究思路 2.（情境導(dǎo)入）如圖，某農(nóng)場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個觀測點 A和 B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到 C 處有火情發(fā)生.在 A 處測到火情在北偏西 40。方向，而在 B 處測到火情在北偏西 60。方向，已知 B 在 A 的正東方向 10 千米處.現(xiàn)在要確定火場 C 距 A、B 多遠？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在厶 ABC 中，已知 ZCAB=130，ZCBA=30,AB=10

5、 千米， 求 AC 與 BC 的長這就是一個解三角形的問題.為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí).推進新課推進新課新知探究提出問題1 閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？2 聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系,能否得到直角三角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？3 由 2 得到的數(shù)量關(guān)系式，對一般三角形是否仍然成立？4 正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？廠什么叫做解三角形？5a 利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？0活動：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點出

6、本章數(shù)學(xué)知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學(xué)生初步認識到學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性.如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實際問題的解決需要我們進一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題關(guān)于任意三角形中大邊對大角、 小邊對小角的邊角關(guān)系， 教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系.先觀察特殊的直角三角形.如下圖，在 RtAABC 中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=

7、c，根據(jù)銳rh“rh“角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 C=sinA,C=sinB，又 sinC=l=c，則那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立.教師點出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理正弦定理.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進行證明.教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學(xué)生f 從而在RtABC中，金b如下圖，當(dāng)ABC 是銳角三角形時，

8、設(shè)邊 AB 上的高是 CD,根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，觀察正弦定理的特征它指出了任意三角形中，各邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系.因為如果ZAVZB， 由三角形性質(zhì)， 得aVb.當(dāng) ZA.ZB 都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性，可知 sinAVsinB當(dāng) ZA 是銳角，ZB 是鈍角時，由于 ZA+ZBn，因此 ZBsin(nA)=sinA，所以仍有 sinAVsinB.正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵學(xué)生課下進一步探究正弦定理的其他證明

9、方法討論結(jié)果：略.(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角 A、B、C 和它們的對邊 a、b、c 叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形(6) 應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題： 已知三角形的任意兩個角與一邊， 由三角形內(nèi)角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”.這類問題的解是唯一的.已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對角問題”這類問題的答案有時不是唯一的，需根據(jù)實際情況分類討論應(yīng)用示例例 1 在厶 ABC 中，已知 ZA=32.0,ZB=81.8,a

10、=42.9cm，解此三角形.活動：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解 ZC，b，c.此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題， 直接應(yīng)用正弦定理可求出邊 b， 若求邊 c，則先求 ZC,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得ZC=180(ZAZB)=180(32.081.8)=66.2.根據(jù)正弦定理，得basinB42.9sin81.8sinAsin32.0asinC42.9sin66.2sinAsin32.080.1(cm)；74.1(cm).點評：(1)此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理

11、 180求出第三個角，再利用正弦定理(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練在厶 ABC 中(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字),(1)已知c=p3,A=45,B=60，求 b；已知 b=12,A=30，B=120，求 a.解：(l)TC=180(A+B)=180(45+60)=75,bcsinBsinC，.b=csinB3sin60sinCsin751.6.absinAsinB，bsinAasinB12sin30sinl206.9.例例 2 已知ABC，根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大小(保留根號或精確到 0.1)：(1)ZA60，ZB45，a10；(2)a3，b4，ZA3

12、0；(3)b3：6,c6，ZB120.活動：教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強直觀感知，明確解的實際情況，這樣在求解之后無需作進一步的檢驗，使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時，感到目的明確，思路清晰流暢同時體會分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試靠運氣解題解：(1)因為 ZC1806045=75，所以由正弦定理，得asinBsinA10sin45 sin6010 x/6asinC10sin7538.2，csinAsin60(2)由正弦定理，得.bsinA4sin30slnB、a3因此 ZB41.8或ZB138.2 （如圖 2 所示） .當(dāng) ZB41.8。時,當(dāng) ZB138

13、.2。時,ZC18030138.2=11.8,c=asinC=3sln11.81.2（如圖 2 所示）.sinAin30(3)由正弦定理,得cslnB6sin1202 寸 2slnC=丁=3 晶=市=寧因此 ZC=45或 ZC=135.因為 ZB=120，所以 ZCl,則問題無解；如果 sinB=1,則問題有一解；如果求出的 sinBVl,則可得 B 的兩個值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進行判斷2利用正弦定理進行邊角互換對于三角形中的三角函數(shù),在進行恒等變形時,常常將正弦定理寫成接圓半徑)這樣可以很方便地把邊和角的正弦進行轉(zhuǎn)換,我們將在以后具體應(yīng)用3正弦定理的

14、其他幾種證明方法(1)三角形面積法則 RtAADB 中，sinB=AD,AB.AD=ABsinB=csinB.11.Bc=2aAD=2acsinB.同理，可得 Sc=2absinC=2bcsinA.acsinB=absinC=bcsinA.sinBsinCsinAaa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 或 sinA=a2RsinB=2R,csinC=2R(R 為厶 ABC 的外垂足為D.如圖，已知ABC,設(shè) BC=a,12bcasinAsinBsinC(2)平面幾何法如圖，在ABC 中，已知 BC=a,AC=b,AB=c,作厶 ABC 的外接圓，0 為圓心，連結(jié)B0 并延長交圓

15、于 C點，設(shè) BC=2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓abcsinAsinBsinC2R.這就是說，對于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式AsinBcsinC.這種證明方法簡潔明快在鞏固平面幾何知識的同時，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在起，并且引入了外接圓半徑 R R，得到蠢二僉二盍 T2R這一等式，其變式為a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可以更快捷地實現(xiàn)邊角互化.特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利(3)向量法1如圖，AABC 為銳角三角形，過點 A 作單位向量 j j 垂直于

16、疋，則 j j 與 Al 的夾角為90A,j j 與 CB 的夾角為 90C.由向量的加法原則可得 AC+CB=AB,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量 j j 的數(shù)量積運算，得到 j j(AC+CB)=j jAB,o同理，可得贏 A=2Rb=2R-周角相等可以得到 ZBACZc.sinC=sinC=.由分配律可得 j jAC+j jCB=j jAB.|j j|疋|cos90+|j j|Cl|cos(90C)=|j j|AB|cos(90A).ac：asinC=csinA.=sinAsinCcb同理，可得歳=歳.abcsinAsinBsinC2如圖，AABC

17、 為鈍角三角形，不妨設(shè) A90,過點 A 作與 XC 垂直的單位向量 j j,貝Vj j與屈的夾角為 A90,j j 與 C!的夾角為 90C.由AC+(3B=AB，得 j jAC+j jCB=j jAB,即 acos(90C)=ccos(A90),ac：asinC=csinA.=sinAsinCbc同理，可得STB=SLcsinAsinBsinCrh“3當(dāng) AABC 為直角三角形時，藥=荷=贏 C 顯然成立綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立、備用習(xí)題abc等于()A./61A在厶 ABC 中，A=45,B=60,a=10，則 b 等于(C應(yīng)3B.1；22ABC 中

18、，A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,且 sinB=f,D.5/6J3sinC=2， 貝 9a： b：c 等于()AC1：21：2：x/33B.1：1：D.2：1：；3 或 1：1：./3ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,若 c=/2,bh/6,B=120，則 ac，B2b在銳角ABC 中， a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 的對邊， 且 B=2A,貝曠的取值范圍是a()(1)求 sinC 的值；參考答案：參考答案：符合題意，舍去).從而 A=30.于是ABC 是等腰三角形，a=c=/2.4. D 解析：解析：由正弦定理知=喘又A,bsin2A小,2cosA.asinAABC 為銳角三角形,0VBV90.0V2AV90.0VAV45.又.0VCV90,