雨中行走數(shù)學(xué)建模

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雨中行走問(wèn)題的分析吳珍 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班馮奎艷 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班楊彥云 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班摘 要 本文討論了雨線方向、跑步速度與淋雨量關(guān)系的問(wèn)題.針對(duì)問(wèn)題一，將人視為長(zhǎng)方體，采用物理學(xué)中流體計(jì)算的思想方法計(jì)算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的結(jié)論。針對(duì)問(wèn)題二，首先引入雨滴降落頻率的概念，解決了用雨速來(lái)確定降雨量雨滴降落不連續(xù)的問(wèn)題。然后采用物理學(xué)中流體計(jì)算的思想方法計(jì)算淋雨量，建立跑步速度與淋雨量關(guān)系的優(yōu)化模型，得到速度越大淋雨量越小的結(jié)論。針對(duì)問(wèn)題三，在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上，改變雨線方向，采用物理學(xué)中流體計(jì)算的思想方法，建立與跑步速度與淋雨量關(guān)系的優(yōu)化

2、模型，確定淋雨量最小情況下的跑步速度.針對(duì)問(wèn)題四，綜合雨線方向與跑步方向夾角，跑步速度，淋雨量的關(guān)系，建立幾何模型，采用數(shù)形結(jié)合的方法建立淋雨量模型。關(guān)鍵詞 雨滴降落頻率；優(yōu)化模型；淋雨量一、問(wèn)題重述一般情況下，行人未帶雨具卻突降大雨，都會(huì)選擇加快行走速度以減少淋雨量，但如果考慮風(fēng)速、雨速，就會(huì)發(fā)現(xiàn)淋雨量并不光與淋雨時(shí)間有關(guān)。那么在雨中以何種速度跑，淋雨量最少?，F(xiàn)假設(shè)要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型，討論是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步驟進(jìn)行討論:(1) 不考慮雨的方向,設(shè)降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估計(jì)跑完全程的總淋雨量。(2) 雨從迎面吹來(lái),雨線與

3、跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),且與人體的夾角為,問(wèn)速度多大時(shí),總淋雨量最少。(3) 雨從背面吹來(lái),雨線方向與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),且與人體的夾角為,問(wèn)速度多大時(shí),總淋雨量最少。(4) 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)即異面時(shí),模型會(huì)有什么變化。二、問(wèn)題分析人在雨中行走時(shí)，行走時(shí)間即淋雨時(shí)間。把人看成一個(gè)長(zhǎng)方體，總淋雨量是各個(gè)面淋雨量之和。為解決雨滴不是連續(xù)的，引進(jìn)雨滴頻率(模型建立部分會(huì)做具體闡述)的概念。對(duì)于問(wèn)題一，在不考慮雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及頂部都會(huì)被淋到雨，此時(shí)淋雨量只與行走時(shí)間及單位時(shí)間內(nèi)的降雨量有關(guān)。人以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)位移公式，可計(jì)算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間。對(duì)于問(wèn)

4、題二，當(dāng)雨迎面而來(lái)時(shí)，由于雨速與人行走方向成角且在同一鉛直平面，通過(guò)速度分解，分別考慮人頭頂方向雨的方向、人正面雨速方向，再根據(jù)淋雨面積和淋雨時(shí)間即可確定淋雨量，建立總淋雨量模型，分析淋雨量關(guān)于速度的函數(shù)，得到最優(yōu)解，使淋雨量最小。對(duì)于問(wèn)題三，雨從背面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),且與人體的夾角為,與題二類似，淋雨量從人背面和頭頂兩個(gè)面討論，兩個(gè)面的雨速經(jīng)過(guò)速度分解，雨降在兩個(gè)面的速度是不同的，最終得出兩個(gè)面的淋雨量，建立總淋雨量模型，通過(guò)分析淋雨量關(guān)于速度的函數(shù)，得到最優(yōu)解使淋雨量最小。對(duì)于問(wèn)題四，固定人的行走方向，從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)建立直角坐標(biāo)系，雨斜向下與豎直方向成（）雨向以繞豎直方向

5、旋轉(zhuǎn)一周包含了雨所有的方向，涵蓋了雨的方向與行走方向處于鉛直平面和異面的情況，建立模型，分情況討論即可得出雨向與行走方向異面時(shí)的淋雨量。三、模型假設(shè)1假設(shè)人是一個(gè)長(zhǎng)為,寬為,高為的長(zhǎng)方體，人的各個(gè)面都有被淋到雨的可能；2.假設(shè)人在奔跑過(guò)程中以勻速運(yùn)動(dòng)；3.假設(shè)下雨過(guò)程中，風(fēng)速方向及大小穩(wěn)定；四、符號(hào)表示符號(hào)表示含義雨滴的速度人在雨中的行走速度單位時(shí)間內(nèi)的降雨量即降雨強(qiáng)度不考慮雨的方向的淋雨量淋雨量雨迎面吹來(lái)的淋雨量雨從背面吹來(lái)的淋雨量雨向與行走方向異面時(shí)的淋雨量人在雨中直線行走的距離人的長(zhǎng)度人的寬度人的高度雨迎面吹來(lái)與人體的夾角雨背面吹來(lái)與人體的夾角雨滴降落的頻率雨線方向在xoy面的投影與y軸

6、夾角雨線方向與z軸的夾角五、模型建立與求解冒雨行走是生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，為了被淋濕的最少，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決在雨中如何行走，使淋雨量最少。5.1不考慮雨的方向時(shí)的淋雨量分析在不考慮雨的方向的條件下，設(shè)降雨淋遍全身，則淋雨量包括頂部淋雨量，兩個(gè)側(cè)面淋雨量，迎面和側(cè)面淋雨量。淋雨時(shí)間 淋雨面積（頂部和四個(gè)側(cè)面面積） 淋雨量 5.2雨迎面吹來(lái)的淋雨量分析圖1 雨迎面吹來(lái)時(shí)，雨的速度方向和人體的夾角為，當(dāng)是大暴雨時(shí)，雨像屋檐流水是不間斷的，用雨速就可以確定降雨量，但通常雨都是不連續(xù)下落的，為了描述雨的大小引入降雨頻率的概念。定義為雨下落的頻率用來(lái)描述雨的大小，將單位時(shí)間劃分為個(gè)（盡可能的大）其中有

7、個(gè)的時(shí)間在下雨。（0 1）記為雨的體積則當(dāng)=1時(shí)，雨是大暴雨連續(xù)的下。當(dāng)=0時(shí)，晴天沒(méi)有下雨。前部降雨量 頂部降雨量 總降雨量5.3雨背面吹的淋雨量分析圖2頂部降雨量 背部淋雨量 總淋雨量 當(dāng)時(shí) =當(dāng)時(shí)= 5.4 雨線方向與行走方向異面圖3（n為雨向）把人當(dāng)做長(zhǎng)方體以側(cè)棱AB為Z軸建立圖3所示的直角坐標(biāo)系，確定人的行走方向（如圖3），引入角，是雨線在xoy平面即水平面上的投影與y軸的夾角，是雨線與z軸的夾角（），可以確定：雨線與人頭頂?shù)膴A角為，與人的后面AABB的夾角為，與人的側(cè)面ABCD夾角為。其中：=0時(shí)，雨線垂直下落； =0時(shí)，雨線從背面吹來(lái)； =時(shí)，雨線迎面吹來(lái)。這三種情況的雨線方向與

8、行走方向都在同一鉛直平面內(nèi)，此處不予詳細(xì)討論。即 ，時(shí)，雨線方向與行走方向異面。頂部淋雨量： 背面：（迎面：）淋雨量 ： 側(cè)面淋雨量：總淋雨量：六 、結(jié)果分析與檢驗(yàn)6.1不考慮雨的方向，雨淋遍全身時(shí)的淋雨量為，是關(guān)于的一元函數(shù)，隨增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活實(shí)際。6.2雨迎面吹來(lái)情況淋雨量為，是關(guān)于的一元函數(shù)，隨的增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活實(shí)際。6.3 雨背面吹來(lái)情況總淋雨量 當(dāng)即時(shí)=.是關(guān)于的一元函數(shù)，隨的增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小。當(dāng)時(shí)即時(shí)= = 。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，所以當(dāng)時(shí)取得最小值。即當(dāng)雨從背面吹來(lái)，行走方向和雨的方向的夾角的條件下，行走速度時(shí)，淋雨量最少。6.4 異面情況分析七、模型推廣與評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：(1) 引入降雨頻率來(lái)描述雨的大小，具有合理性和正確性.(2) 模型簡(jiǎn)單易懂