導(dǎo)數(shù)構(gòu)造新函數(shù)——同構(gòu)法

1、課題同構(gòu)新天地，放縮大舞臺(tái)考點(diǎn)分析在成立或恒成立命題中，很有部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來(lái)的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù)），無(wú)疑大大加快解決問(wèn)題的速度找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法.授課內(nèi)容在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來(lái)的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù)），無(wú)疑大大加快解決問(wèn)題的速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法.如，若尸（620能等價(jià)變形為/卜（刈之川？（刈，然后利用/的單調(diào)性，（如遞增，再轉(zhuǎn)化為g（x）zMx），這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式（等號(hào)成立時(shí)，稱為同構(gòu)方程），簡(jiǎn)稱

2、同構(gòu)法當(dāng)然，用同構(gòu)法解題，除了要有同構(gòu)法的思想意識(shí)外，對(duì)觀察能力、對(duì)代數(shù)式的變形能力的要求也是比較高的.正所謂，同構(gòu)解題，觀察第一！同構(gòu)出馬，誰(shuí)與爭(zhēng)鋒！同構(gòu)思想放光芒，轉(zhuǎn)化之后天地寬！、地位同等要同構(gòu)，主要針對(duì)雙變量；方程組上下同構(gòu)，合二為一泰山移.（1）駕*/切二?。??。?。的=/在二）,=/）_乙為增函數(shù)。"止,3""辿<上-(玉v)二fM-/U2)>二fM+</(A)+x,-x2x1x2xx2$x2=y=為減函數(shù)。X含有地位同等的兩個(gè)變量外，巧，或P,9等不等式，進(jìn)行“塵歸塵，上歸土”式的整理，是一種常見(jiàn)變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊

3、具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大?。?、指對(duì)跨階想同構(gòu)，同左同右取對(duì)數(shù).同構(gòu)基本模式：同右：eaInea</？lnb>/(x)=xlnx積型：oe"=(同左：aea<(nb)enbAf(x)=xex取對(duì)：a+Ina<In/？+In(inb)-/(x)=x+Inxntm例：2/Inx>mex<=>x2InA2>exox說(shuō)明：上述三個(gè)方法“取對(duì)”是最快捷和直觀的欣賞您的孩子，其實(shí)天才就在你身邊!(2)商型：<aIn/?同右一<>/(%)=-Ine。nbInxJ-Inx同左£<aIn

4、bx取對(duì)：A-InA<In/?-In(hib)T/(x)=x-lnx(3)和差型：ea±a>1bIIZ?±/?=><同右：ea±nea<b±nhA>/(x)=ex±Inx同左：/土±h】Z?'/(x)=e'土x例：eAx+Ax>hi(x+1)+x+1=*+ax>+In(x+l)oax>ln(x+1)三、無(wú)中生有去同構(gòu)，湊好形式是關(guān)鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量.(1)aeaK>Inx3_>xlnxex>An(Ax-A)-Av>In=e：-

5、InA>In(x-l)-lA二八+x-ln«>ln(x-l)+x-l=*"+ln(x-1)ox-Ina>In(x-l)優(yōu)>log,xoe,>一A(xlna)etina>xlnxIna注意：因?yàn)椤癙ogaX互為反函數(shù)，所以還可以這樣轉(zhuǎn)化優(yōu)>logxo優(yōu)>x=lna>InxX如：-ex+>Ina(x-l)-L"+11x-11>%<=>><=>->aexae-aa四、同構(gòu)放縮、切線放縮.22ex>x+=/T>x=>>ex>ex=>ex

6、>x2,ex>+x+,es<(0<x<2),2-x42ex>ax+x>OA<a<)對(duì)于某些不等式，兩邊互為反函數(shù)比較隱蔽，需要出眾的觀察和做題量。X，=e什必)之x+mx+1，J=ein.”變形:>x-lnx+L=ex*Flnx7+l;xX2靖=*23zx+2InX+Lx2er=ex+2,nr>ex+2Inxx1Inx<x-1=>In<x=>Inx<Jnx<x-1=>Inx<=Ax-2Jnx>1=>xInx>x-1,eIfeInx<x-(x>1).In

7、x>(x>)Anx<“(x-l)(x2l,aN1)21X)x+1e變形：x+nx=Inxexyx-nx=lnx例1:對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫(xiě)出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)。(1) log2x-Zr-2A>0，fM=x-22解析：log2x-A2*之0=%log2xNkx2設(shè)乂a(log2%)-r>kx-(2) e2Zx-"-hiVx>02解析；e2Ajc-TIn>0ae2Ax之7-Inxa2Arefx>xnxa2Axe2AjC>(lnx)elnxif(幻二/e.(3) x2Inx-mex>0解析:：箕勺!A一0二箕lux之，e

8、=In%+In(lnx)N:+ln:f(x)二r+Injr.(4) a(e"+l)之彳x+,Inx解析,Q(e"+1)>2(r+A)lnx»axeA¥ax>2r2lnjt+21nx=x2】nr2+lnjt20axe"ax>nx2-e1n"+lnrzFf(x)=xer+x.(5) ciln(x-1)+2(x-1)>ax+2es解析；aln(x-1)+2(x-1)>ax+2ex<=>aln(r1)+20r-1)>alnex+2鏟f(x)二anx+2x(6) x+anx+eA1>xa(x

9、>)解析：x+anx+e"r>xa=x+L*>-nxa«e*x-Ine-y>xa-nxaAf(x)=x-Inx.(7) eAx-2x-nx=0解析；。-*-2x-nx=0=-x=x+lnr«e-x+In。-"=%+In%,/(r)=x+Inr.(8) x2ex+hix=0解析；jv2ex+lnx=0»Aex=-»Aex=-ln-»exlnex=-In-,f(x)=xnx.xXXXX例2：已知不等式/>1。8,吊”>0,。工1),對(duì)立£(0,y)恒成立，貝I。的取值范圍解析：ax&

10、gt;logaAc=>exlnaIna(rlna)ex,na>xnx(rlna)e-r,na>(lnx)elnxtf(x)=xex(1)xlna+ln(AIna)>Inx+ln(lnx)tf(x)=x+Inx(1)(2)(三種模式，只需寫(xiě)一種)由得，xlna>lux,即In”>巫，由導(dǎo)數(shù)法可得Ina>從而a>e?.JCe例3:若對(duì)任意x>0,恒有（6"+1）22X+LbIX,則實(shí)數(shù)。的最小值為解析；a（e"+1）之2十InA<二二ax（e"4-1）>（x2+1）lnA20（e"+1）Ine

11、">（xz+1）ln-v2>【積型同構(gòu)】令/（幻二（義41）In文，則尸（義）=nx+?.f”（犬）二：一_二易知r'a）在（o.i）上遞減在（l+8）上遞增，所以尸（）工尸"（1）=2>o.所以f血）在（0,+8）單調(diào)遞增。貝iJ+1）Ineax>（X2+I）In婷0/（eax）>f（X2）»>r2»ax>2nx«a>由導(dǎo)數(shù)法易證"工；所以口三故答案為答案：xeee例4：已知函數(shù)/(x)二"一ln(ax-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式/(x)>0恒成

12、立，則實(shí)數(shù)。的取值范國(guó)是()A(0,e2B.(0")D.(l,e2)答案；B.解析；/(幻二ex-aln(ar-a)4-a>0<=>A-ex>lna(x1)-1=eina-Ina>ln(x-1)-1a鏟T*a+r-!na>即十ln(x_1)，【和差型同構(gòu)】令g(x)=ex+x,顯然g(x)為增函數(shù).則原命題又等價(jià)于go-Ina)>g(ln(r-1)«r-Ina>ln(A-1)oIna-ln(x-1).由于x-InQ-l)>x-(x-2)=2»所以Ina<2,即得0<a<e2-例5：對(duì)任意x&g

13、t;0,不等式2ae"Inx+lnaNO恒成立，則實(shí)數(shù)。的最小值為解析22ae2x-nx+Ina>0«2tze2x>In'oZxe2x>0）【積型同構(gòu)】a2%+In2%N】n；十In（in2）（%>Q,由于叫"x+ln”為增函數(shù),所以由/（次）之廣（訪3,得加2In£即a之恒成立.令g（x）二言則1（乃二螯易得g（%）2c=g（J二會(huì)所以實(shí)數(shù)。的最小值為盤(pán)例6：已知函數(shù)/（x）=？ln（x+l）一3x一3,若關(guān)于x的不等式/（x）>田一3/在（0,2）恒成立，則實(shí)數(shù)？的取值范圍是（）A.0,38.3,）C.（-s,3

14、D（-s,0解析；+1）-3（x+1）>ntx-次，二mine*3e【同構(gòu)】令g（x）=mnx-3K,由g（x+1）>g（ex）,且1<%+1<er,知虱箕）在（1,+8）為減函數(shù).所以g'（x）-Y-3<0=>m<3x=>7n<3.故選C.例7:已知函數(shù)/(x)二ae'-lnx-l,證明：a>-Af(x)>0e證明：當(dāng)QN朋，r«>7-,nx-b所以只需證明？一感-120.由卜八一In*1之Oo之cln改xex>exnexoxex>e,nexInex.【同構(gòu)】e令g(x)=xexf由

15、9(幻二ex(r+1)>。知g(x)為增函數(shù)，又易證>Inex=Inx+1所以gQ)2g(lner),B|Jxex>成立.故當(dāng)QN乎t,fM>0.例8：已知x0是函數(shù)/(工)=/靖-2+仙工一2的零點(diǎn)，則/+1%=答案：2.解析！r2ex-2+lnx-2=0«r2eA2=2-Inx=xex=？n？=nr-¥x=In(in(？)+In仔).所以1!1(亍)=%,即2Inx=%,或e2T=彳.則合-%+Inxg二x0-Flnr0=2.例9：已知函數(shù)7屆)=1!1%一%+1遭(%)=皿”一4蒼其中4>0。求證：g(x)-2f(x)>2(lna-

16、In2)證明；g(r)-2fM=axe"4塞-2(lnr-x+1)=axex-2(nx+jT+1)=axe戈-2luxe”-2.令h«)=cu-21nz-2,則”«)二0-：=等，易知/!(£)'(£)=-21nA=2(lnfl-ln2).故g(-2/GQ>2(lna-In2).例10：已知函數(shù)/(x)=xeai一lnx一ax,其中/(x)20對(duì)任意x>0恒成立，則實(shí)數(shù)n的最小值是.解析：MRUT-Inx-ax二elnx+ax-1-(Inx+g)之(Inx+ax)Qnx+QX)=0(利用了/一】>x)等號(hào)成立的條件是l

17、nx+ax=L即a=乎有解.令gQ)二手，則g(乃二若邦易得ga)min二g(eZ)二-&故a的最小值為一：.例11：已知函數(shù)/(工)二.傘2卜4,若/(x)Nl+x+lnx,求的取值范圍.解析fW>l¥X¥nxo%(e"-Q)>i+%+m%o/x+H"-j-x-nx>ax<=Aa<e2x4,nx-l-jr-lnjr由于2hi'之2=i,當(dāng)且僅當(dāng)2父+加”=0等號(hào)成立，所以awl.例12:f(x)=xex-ax2，g(x)=nx+x-x2+1»當(dāng)a>0時(shí)，若(x)=/(x)-ag(x)之。恒成

18、立,a求實(shí)數(shù)。的取值范圍。解析:f(r)-ag(x)>0<=>xex+e>a(lnx+寅+1)aer+lnr+e>a(lnr+r+1),當(dāng)Inx+%+!_«0,不等式恒成立;+LnxMnxM、Lf,由卜吧絲蛆之當(dāng)lnx+%+l>0時(shí)，x+lnx+3x-blnA+1-當(dāng)且僅當(dāng)x+ln;r=l等號(hào)成立，所以a£e.例13：已知函數(shù)/a)=zdnx,若關(guān)于x的不等式/(x)2xl在(0什8)上恒成立，則實(shí)數(shù)切的取值集合是.答案：!1.解析；mxlnx之x-1恒成立，又等價(jià)于mX即加InxWx-1恒成立，根據(jù)InxWx-l恒成立，可知m=1.例1

19、4:已知函數(shù)f(x)=一+6/(lnx-x),求證：0voJ(x)+/>0ox證明，/(x)=+a(Inx-x)+e2=-a(r-lnr)+e2=-aln+e2=r-alnt+e2(t=>e),令g(t)=t-e2Int+e2(t>e),則g'(t)=1易知gto>g(e2)=e2-2e2+e2=0.又0<a<一時(shí),t-flInt+e2>t-e2In14-e2=g(t).所以O(shè)va至e2時(shí)，/(r)>0.例15:證明：_£_hl(r+x)丄+i>0oex+A+1證三+iOuMn-in(M+幻+無(wú)一1N0.exx41x+1即

20、''因?yàn)閍_111a2+X)+無(wú)_1=1武式")711a2+%)+%一i>ln(x2+x)-x+1-ln(jr2+x)+%-1=0.所以t-史*2-二十1N0e"/c¥ix+1例16：已知a>0,函數(shù)/6)=。1：一11】(工+4)-1(工>0)的最小值為。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()IH心)嗯D。答案：C.解析？f(x)=ex-°-ln(jr+a)-1>r-a+1-(r+a-1)-1=1-2a=0,當(dāng)且僅當(dāng)仁二"心即尤=”=*時(shí)等號(hào)成立，所以"今I不十僅=1ZZ2例17：完成下列各問(wèn)(1) 已知

21、/(x)=lnx+xxeZ,則函數(shù)/(x)的最大值為；(2) 函數(shù)f(x)=ex-小上的最小值是；X函數(shù)/(x)=(%+Inx+1卜工一x的最大值是；(4)函數(shù)力="¥的最小值是一答案：(1)-2：(2>1：(3)0：(4)1解析：(1)f(x)=Inx+x-xeA*i=x+Inr-ex*inx*由F«r+Inxex+lnx4-i=久+gx-(%+nx+2)=2,當(dāng)且僅當(dāng)+lnx+l=0時(shí)等號(hào)成立，所以f(x)W-2.(2) f(為二"-F二士曰二my-=1.當(dāng)且僅當(dāng)*+In乂=0時(shí)等號(hào)成立.(3) fW=e"+Inx+l)-x.4-y-

22、=Qe*e*當(dāng)且僅當(dāng)戈+lnx=0時(shí)等號(hào)成立.(4) 外幻二在上皿二二BX三£1迎山*=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+21n%=0時(shí)等號(hào)成立.'x+1X4-2X+1例18：完成下列各問(wèn)已知函數(shù)/(x)=W"(x+lnx),若/之。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；已知函數(shù)/(x)=x"“(x+lnx+1),若“"之。恒成立，則正數(shù)。的取值范圍是；已知函數(shù)/(x)=x/+e一“(x+lnx+1),若/(x)NO恒成立，則正數(shù)的取值范圍是；(4) 已知函數(shù)M-a(x+l)21nx對(duì)任意正數(shù)工恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；(5) 已知函數(shù)alnxx-l(x>l),

23、其中>0,若/(x)20恒成立，則實(shí)數(shù)“淮的大小關(guān)系是;已知函數(shù)/(x)=a/Inx1,若/(五)20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；(7)已知函數(shù)/(6二。一11工一1,若/(x)20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；已知不等式心+Inx,對(duì)Vxt(O,“)恒成立，貝必的最大值為；(9)若不等式ax+xeinx120對(duì)x>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是答案；CI0WaWe；(2)0<a<1；(3)0<a<e；(4)a<l；(5)a<b,(6)a/(7)a.；<8>k>e-1；W(一喝.解析；Cl)/a)±0彳針一認(rèn)才+人幻之。oeXfAaa+lnx)u>et>ar(t=x+lnx)a>(t<0)c；0廿一0«aMe.【或通過(guò)數(shù)形結(jié)合，得OMaWe.】”1a>0)QWe(2)f(x)>0e=>xer-Inje+1)20ex+lnx>a(x+Injt+1),當(dāng)x+lnx+lWO時(shí)，原不等式恒成立;業(yè)工+11)%、>0八八注工a一；由于二=1»X+1HX+1x+