數(shù)學(xué)二次函數(shù)中絕對(duì)值問題的求解策略分析

1、WORD二次函數(shù)中絕對(duì)值問題的求解策略二次函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中一顆璀璨的“明珠”，而它與絕對(duì)值知識(shí)的綜合，往往能夠演繹出一曲優(yōu)美的“交響樂”，故成為高考“新寵”。二次函數(shù)和絕對(duì)值所構(gòu)成的綜合題，由于知識(shí)的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性，學(xué)習(xí)解題時(shí)往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對(duì)近年來各類考試中的部分相關(guān)考題，進(jìn)行分類剖析，歸納出一般解題思考方法。一、適時(shí)用分類，討論破定勢(shì)分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想。它往往能把問題化整為零，各個(gè)擊破，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，收到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的功效。例1 已知f(x)=x2+bx+c (b,cR),（1）當(dāng)b<2時(shí)，求證：f(

2、x)在（1，1）單調(diào)遞減。（2）當(dāng)b<2時(shí)，求證：在（1，1）至少存在一個(gè)x0，使得|f(x0)|.分析 （1）當(dāng)b<2時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸在（1，1）的右側(cè)，那么f(x)在（1，1）單調(diào)遞減。（2）這是一個(gè)存在性命題，怎么理解“至少存在一個(gè)x0”呢？其實(shí)質(zhì)是能找到一個(gè)這樣的x0，問題就解決了，不妨用最特殊的值去試一試。當(dāng)x=0時(shí)，|f(0)|=|c|,|c|與的大小關(guān)系如何呢？對(duì)|c|進(jìn)行討論：（i）若|c|,即|f(0)|，命題成立。（ii）若|c|<，取x0=,則.故不論|c|還是|c|<,總存在x0=0或x0=使得|f(x0)|成立。本題除了取x=外，x還可取那

3、些值呢？留給讀者思考。二、合理用公式，靈活換視角公式|a|b|a±b|a|+|b|在處理含絕對(duì)值問題時(shí)的作用有時(shí)是不可替代的，常用于不等式放縮、求最值等，思路簡(jiǎn)潔、明快，解法自然、迅捷。例2 已知f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2若|a|+|b|<1，求證：|x1|<1且|x2|<1.解 由韋達(dá)定理，得代入|a|+|b|<1，得|x1+x2|+|x1x2|<1，又|x1|x2|x1+x2|.即|x1|(1+|x2|)<1+|x2|。又1+|x2|>0，|x1|<1.同理可得|x2|<1。例3 函數(shù)f(x

4、)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x和y=-x均無公共點(diǎn)，求證：（1）4acb2>1.（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有.分析（1）略。（2）由（1）可知與同號(hào)。三、機(jī)智賦特值，巧妙求系數(shù)變量在某一區(qū)域有某種結(jié)論成立時(shí)，可通過對(duì)題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標(biāo)導(dǎo)向，賦予一系列特殊的函數(shù)值來構(gòu)建對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系，使抽象問題具體化，從而獨(dú)辟蹊徑，出奇制勝。例4 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),對(duì)一切x1,1,都有|f(x)|1，且g(x)=cx2+bx+a，求證：（1）x1,1時(shí)，|2ax+b|4.（2）x1,1時(shí)，|g(x)|2.證明 （1）由題設(shè)條件，可得又由題意可知要證

5、明時(shí)，|2ax+b|4，只要證明|±2a+b|4.同理可證|2a+b|4.（2）|g(x)|=|cx2+bx+a|請(qǐng)讀者仿照例4的方法解決下面一題：例5 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，已知|f(0)|1，|f(1)|1,|f(1)|1.求證：對(duì)一切,都有分析 借助恒等式,得|g(x)|=|ax+b|注意到,有,故有|g(x)|1+1=2.五、聯(lián)想反證法，類比創(chuàng)條件對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題，如果從正面思考較難，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維，比如借反證法來找到解決問題的途徑。例7 函數(shù)f(x)=x2+ax+b（a,bR），x1,1,求證：|f(x)|的最大值M.證明 假設(shè)M<

6、，則|f(x)|<,即令x=0,1,1,分別代入上式，得 由+，得,與矛盾。點(diǎn)評(píng) 通過假設(shè)結(jié)論不成立，創(chuàng)設(shè)了時(shí)，|f(x)|<恒成立這一常規(guī)而打開局面的有利條件，可謂“高招”！六、雞尾酒療法，相是益彰好每一種解法都不是萬能的，如果把各種解題方法靈活地相互結(jié)合、滲透，那么不但能解決實(shí)際問題，而且思路開闊，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造能力、提升數(shù)學(xué)品質(zhì)。例8 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0），對(duì)一切，都有f(x)1，求證：對(duì)一切，都有f(x)7.分析 函數(shù)y=|ax2+bx+c| (a0)在區(qū)間p,q上的最大值，由圖象易知只能在x=p或x=q或處取得，于是由題意只需證明|f(2)|7且|f(2

7、)|7且由已知|f(1)|=|a+bc|,|f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|,|f(2)|=|4a2b+c|=|3f(1)+f(1)3f(0)|3|f(1)|+|f(1)+3|f(0)|=3×1+1+3×1=7同理|f(2)|7.若,則由以上可知命題已證。若，則|c|1,又因此，對(duì)一切,都有|f(x)|7.例9 （1998年“希望杯”高三賽題）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，對(duì)一切x0,1,恒有|f(x)|1.（1）對(duì)所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；（2）試給出一個(gè)這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值

8、。解（1）由解得所以故|a|+|b|+|c|可能最大值為17.（2）取a=8,b=8，c=1，則f(x)=8x28x+1f(x)在0,1上確實(shí)有|f(x)|1，且|a|+|b|+|c|=17.解題思維訓(xùn)練是鞏固所學(xué)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)優(yōu)良教學(xué)素養(yǎng)的有效手段，在學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)思維的“方向感”和思路的“歸屬感”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維空間的拓展，也有助于思維品質(zhì)的提升。例談二次函數(shù)區(qū)間最值的求解策略如何求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問題，影響二次函數(shù)在某區(qū)間上最值的是區(qū)間和對(duì)稱的位置。本文就區(qū)間和對(duì)稱軸動(dòng)與靜的變化進(jìn)行分類，探索求最值的方法。一、定區(qū)間與定軸區(qū)間和對(duì)稱軸都確定時(shí)，

9、則將函數(shù)式配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求最值。例1 已知，求f(x)最值。分析 這2002年高考題的一個(gè)變式題，對(duì)f(x)配方，得，其圖象開口向上，對(duì)稱軸故二、定區(qū)間與動(dòng)軸區(qū)間確定而對(duì)稱軸變化時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分別討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合單調(diào)性求解。例2 已知當(dāng)時(shí)，f(x)最大值為1，求m值。分析 f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=m。（1）當(dāng)m<0時(shí)，f(x)在0，1上遞減，由m1=1，得m=2這與m<0矛盾。（2）當(dāng)0m1時(shí)，由m2+m1=1，得m=1，這與m>1矛盾。或m=-2 ,m=2與0m

10、1矛盾。綜上可知m=1。三、動(dòng)區(qū)間和定軸對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化時(shí)，只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論。例3 已知函數(shù)且b>0，若求b。分析 這是1990年全國(guó)高考題的一道壓軸題中半部分的代數(shù)求值問題。將表達(dá)式配方，得由于xb,b，對(duì)稱軸,所以應(yīng)對(duì)與分類討論。（1）若，即時(shí)，f(x)在b,b上遞減，當(dāng)x=b時(shí)，由f(x)max=7，得，與矛盾。（2）若，即b，則對(duì)稱穿過區(qū)間b，b，那么當(dāng)時(shí)，由f(x)max=7，得b2=1,又>0，b=1。綜上可知b=1.四、動(dòng)區(qū)間與動(dòng)軸當(dāng)區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化時(shí)，亦可根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)與穿過區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合圖形和單

11、調(diào)性處理。例4 已知f(x)=x2+(a1)x+a,x1,a的最大值為100，求a值。分析 由x1,a，可知a>1，f(x)圖象開口向下，對(duì)稱軸為（1）當(dāng),即1<a3時(shí)，f(x)max=f(1)=2a2.由2a2=100,得a=51這與1<a3矛盾。（2）當(dāng),即a>3時(shí)，由,得a=19,或a=21,又a>3，a=19.（3）當(dāng)時(shí)，a1，與a>1矛盾，故對(duì)稱軸不可能在x=a的右側(cè)。抽象函數(shù)常見題型例析這里所謂抽象函數(shù)，是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)，而未給出函數(shù)解析式的一類函數(shù)，抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景背景，且構(gòu)思新穎，條件隱蔽、技巧性強(qiáng)，解法靈活

12、。因此，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。一、求函數(shù)解析式例1 是否存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列3個(gè)條件：（1）f(n)>0，nN*；（2）f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1、n2N*；（3）f(2)=4同時(shí)成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，說明理由。分析 題設(shè)給出了函數(shù)f(x)滿足的3個(gè)條件，探索結(jié)論是否成立。我們可以用不完全歸納法尋找f(x)的解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。解 若存在這樣的函數(shù)f(x)，由條件得f(2)=f(1+1)=f(1)2=4,f(1)=2.又f(2)=22,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23,f

13、(4)=f(3+1)=f(3)f(1)=24.由此猜想f(x)=2x(xN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想。（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)猜想成立，即f(k)=2k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，則f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1仍然成立。綜上所述，存在函數(shù)f(x)=2x,對(duì)xN*成立。利用所給條件，通過數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，用不完全歸納法問題出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，是處理抽象函數(shù)遞推型綜合題的常用方法。二、判斷函數(shù)的單調(diào)性例2 設(shè)f(x)是定義在1，1上的函數(shù)，且滿足f(x)=f(x)，對(duì)任意a、b1，1，當(dāng)a+b0時(shí)，都有>0。

14、試判斷f(x)的單調(diào)性。分析 由函數(shù)單調(diào)性的定義，首先問題著f(x2)f(x1)，這里x1，x21,1，且x1<x2，再利用題設(shè)中的條件變形，考察f(x2)(x1)的符號(hào)，就可得出結(jié)論。解 設(shè)x1,x21,1，且x1<x2，由條件，得,又x2x1>0,f(x2)f(x1)>0,f(x2)>f(x1),f(x)在1,1上是增函數(shù)。三、求函數(shù)值或值域例3 已知定義在N*上，且在N*上取值的增函數(shù)y=f(n)。對(duì)任意m，nN*，當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，f(mn)=f(m)f(n).又f(180)=180，求f(2004)值。分析 由f(180)=180與題設(shè)可推出f(1)=1，

15、再利用f(n)N*尋找f(n)與n關(guān)系，然后求值。解 f(180)=f(1×180)=f(1)·f(180)=180，即f(1)f(180)=180,f(1)=1.由f(n)是增函數(shù)與函數(shù)值是自然數(shù)可得，1=f(1)<f(2)<f(3)<f(179)<f(180)=180.f(n)=n(1n180,nN*).f(2004)=f(12×167)=f(12)·f(167)=12×167=2004.注 一般地，抽象函數(shù)求值，要先找自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，根據(jù)找到的關(guān)系再注值。例4 f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：（1）f

16、(x)=f(x)；（2）對(duì)任意x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)；（3）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，且f(1)=2。求函數(shù)f(x)在3，3上的最值。分析 抽象函數(shù)求最值問題，一般是先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再確定其最值。解 設(shè)0x1<x23，則f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)即f(x2x1)=f(x2)f(x1).x2x1>0,f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0，即f(x1)>f(x2).f(x)在0,3上是減函數(shù)。又由f(x)=f(x)，得f(x)在3,0上也是減函數(shù)，從而f(x)在3，3上是減函數(shù)

17、。所以，當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取最大值，其值為f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(1+1)=3f(1)=6.當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取最小值，其值為f(3)=f(3)=6.注 函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在確定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要根據(jù)條件，把定義域分割成若干個(gè)區(qū)間，分別討論其單調(diào)性。四、判斷函數(shù)的周期例5 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)=f(x)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1x20,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).(1)設(shè)f(1)=2，求; (2)證明f(x)是周期函數(shù)。分析 （1）把f(1)用表示，再求,而=，注意開方時(shí)的符號(hào)。（2）由圖象關(guān)于x=1

18、對(duì)稱，可得f(x)=f(2x)，再利用f(x)=f(x)就可確定其周期。解（1）由函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)知，又將上式中x以x代替得，f(x)=f(x+2),xR.故f(x)是以2為一個(gè)周期的周期函數(shù)。注 判斷函數(shù)f(x)的周期性，就是尋找滿足等式f(x+T)=f(x)中的非零常數(shù)T。在解題時(shí)，注意利用題設(shè)中函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)，把這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的等式，再證明f(x+T)=f(x)。五、不等式問題例6 定義在（1，1）上的函數(shù)f(x)滿足：（1）對(duì)任意x、y（1，1）都有（2）當(dāng)x(1，0)時(shí)，有f(x)>0；求證：分析 因?yàn)閤(1,0)時(shí)，有f(x)>0，而結(jié)論中要求x&

19、gt;0時(shí)f(x)的值，故要先判斷f(x)的奇偶性。因?yàn)椴坏仁阶C明時(shí)需放縮，還要判斷f(x)的單調(diào)性。解 在等式中，令x=y=0,得f(0)=0，再令y=x，得f(x)+f(x)=0，即f(x)=f(x)，f(x)在（1，1）上是奇函數(shù)。設(shè)1<x1<x2<0，則1<x1<x2<0,x1x2<0,1x1x2>0.f(x1)>f(x2).故f(x)在x(1,0)上是減函數(shù)。又由奇函數(shù)的性質(zhì)知f(x)在x(0,1)上仍然是減函數(shù)，且f(x)<0.故所證不等式成立。注 本題先確定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用裂項(xiàng)求和進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)條件用放縮法證

20、明不等式；在解題過程中，利用題設(shè)充分挖掘隱含條件，開拓解題思路，使問題得到解決。六、圖象的對(duì)稱性例7 設(shè)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)對(duì)一切xR都滿足f(ax)=f(a+x)。求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形。證明 對(duì)任意xR都成立，在f(x)的圖象上任取一點(diǎn)（x0,y0），則其關(guān)于（a,0）的對(duì)稱點(diǎn)(2ax0,y0)也在其圖象上。f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）成中心對(duì)稱圖形。注 證明一個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性問題，只需在此函數(shù)圖明上任取一點(diǎn)P1，證明它的對(duì)稱點(diǎn)P2也在其圖象上。七、方程根的問題例8 已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x)=f(12x)，若方程f(x)=0有n個(gè)不同的

21、實(shí)數(shù)根，這個(gè)n人實(shí)根的和是48，求n的值。分析 由方程根的意義與等式f(x)=f(12x)的意義知，方程的根是成對(duì)出現(xiàn)的，且成對(duì)兩根之和是12.解 由方程f(x)=f(12x)知，如果x0是方程f(x)的根，那么12x0也是方程的根，且x012x0,x0+(12x0)=12.由48=12×4可知方程f(x)=0有四對(duì)不同的實(shí)數(shù)根，即方程f(x)=0有8個(gè)不同的實(shí)根，n=8.注 解此題的關(guān)鍵是，理解f(x)=f(12x)的意義，判斷出方程根的性質(zhì)。抽象函數(shù)問題，往往綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)學(xué)思想方法，挖掘隱含條件，探索抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，尋找解題思路。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，大體可

22、分三個(gè)階段，每一個(gè)階段的復(fù)習(xí)方法與側(cè)重點(diǎn)都各不一樣，要求也逐步提高。一、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段系統(tǒng)整理，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)將高中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，進(jìn)行有機(jī)的串聯(lián)，構(gòu)建成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)和把握，以便于知識(shí)的存儲(chǔ)、提取和應(yīng)用，也有利于學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)和提高，這是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。從近幾年來高考試題中我們可以看到：基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想和方法始終是高考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn)?？荚囌f明明確指出：易、中、難題的占分比例控制在3：5：2左右，即中、低檔題占總分的80%左右，這就決定了我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中必須抓基礎(chǔ)，常抓不懈，只有基礎(chǔ)打好了，做中、低檔題才會(huì)概念清楚，

23、得心應(yīng)手，做難題和綜合題才能思路清晰，運(yùn)算準(zhǔn)確。在高考第一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)以夯實(shí)雙基為主，對(duì)構(gòu)建的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要弄清要領(lǐng)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的形成過程以與解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，注重基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，不求高難，應(yīng)為后繼階段的綜合能力提高打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。要貼緊課本，對(duì)課本中的例題、知識(shí)點(diǎn)加以概括和延伸，使之起到舉一反三，觸類旁通的效果。如課本中數(shù)列一章有詳細(xì)推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程，通過復(fù)習(xí)要掌握“倒序相加法”和“錯(cuò)位相加法”兩種不同的方法，為我們?cè)跀?shù)列求和的解題中提供思路和方法。因此在復(fù)習(xí)時(shí)特別要注意課本中例題和習(xí)題所啟示的解題方法，要關(guān)于總結(jié)，豐富解題思路。二、

24、綜合復(fù)習(xí)階段綜合深化，掌握數(shù)學(xué)思想方法第二輪復(fù)習(xí)是在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、完善、綜合、提高的重要階段，是關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)能否迅速提高進(jìn)而適應(yīng)高考中、難度試題的關(guān)鍵。第二物理學(xué)復(fù)習(xí)要加強(qiáng)對(duì)思維品質(zhì)和綜合能力的培養(yǎng)，主要著眼于知識(shí)重組，建立完整的知識(shí)能力結(jié)構(gòu)，包括學(xué)科的方法能力、思維能力、表達(dá)能力，但這都必須建立在知識(shí)的識(shí)記能力基礎(chǔ)之上，理解知識(shí)的來源與其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，把握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)探索研究問題的能力。常用的數(shù)學(xué)思想方法有化歸，函數(shù)與方程的思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想以與配方法、換元法、待定系數(shù)法等等。這些基本思想和方法分散地滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，在高一、高二的學(xué)習(xí)過程中，主要精力集中于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，缺乏對(duì)基本的數(shù)學(xué)思想和方法的歸納和總結(jié)，在高考前的復(fù)習(xí)過程中，要在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，有意識(shí)地掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，只有這樣，在高考中才