多元函數(shù)微積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分一、一、 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 E=(x,y)|(x,y)E=(x,y)|(x,y)滿足的條件滿足的條件 鄰域鄰域 U(A,U(A,)=(x,y)|(x-x)=(x,y)|(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 U(A,U(A,)=(x,y)|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0| 空心鄰域空心鄰域 U U0 0(A,(A,)=(x,y)|0(x-x)=(x,y)|0(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 U(A,U(A,)=(x,y)

2、|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0|= 累次極限存在累次極限存在? 重極限存在重極限存在 = 次極限存在且相等次極限存在且相等? 作業(yè)作業(yè)： P99: 1(5)(7),2(4)(5)P99: 1(5)(7),2(4)(5)小結(jié)：小結(jié)：1、掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念；、掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念；2、了解有關(guān)定理和推論；、了解有關(guān)定理和推論；3、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。 第23頁(yè)/共40頁(yè)一、一、 二元函數(shù)的連續(xù)性概念二元函數(shù)的連續(xù)性概念定義定義 設(shè)設(shè)f為定義在為定義在2RD ( (它或者是它或者

3、是的聚點(diǎn)，或者是的聚點(diǎn)，或者是DP 0的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn)).).對(duì)于對(duì)于上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)，只要只要時(shí)，就有時(shí)，就有DPUP);(0D, | )()(|0PfPfD, 0, 0則稱則稱關(guān)于集關(guān)于集合合連續(xù)連續(xù). .fD0P在在點(diǎn)點(diǎn)0P在點(diǎn)在點(diǎn)簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱f連續(xù)連續(xù). .若若在在fD上任何點(diǎn)關(guān)于集合上任何點(diǎn)關(guān)于集合D連續(xù)連續(xù), ,則稱則稱為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .fD上的上的第24頁(yè)/共40頁(yè)若若0P為為D的孤立點(diǎn)，的孤立點(diǎn)，則則必為必為0P關(guān)于關(guān)于fD的連續(xù)點(diǎn)。的連續(xù)點(diǎn)。若若的聚點(diǎn)，則的聚點(diǎn)，則關(guān)于關(guān)于f).()(lim00PfPfDPPP0P為為DD在在0P連續(xù)等價(jià)于連續(xù)等價(jià)于特別地特別地,

4、 ,當(dāng)左邊極限存在但不等于當(dāng)左邊極限存在但不等于的的可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). .)(0Pf時(shí)，時(shí)，為為0Pf一般地一般地, ,當(dāng)當(dāng)?shù)倪B續(xù)性的連續(xù)性. .若上式不成立若上式不成立( (其含義與一元函數(shù)的對(duì)應(yīng)其含義與一元函數(shù)的對(duì)應(yīng)0P為為D情形相同情形相同) )，則稱，則稱為為0Pf的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)( (或或間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)).).的聚點(diǎn)時(shí)，就用上式判斷在該點(diǎn)的的聚點(diǎn)時(shí)，就用上式判斷在該點(diǎn)的第25頁(yè)/共40頁(yè)如上節(jié)例如上節(jié)例1 1給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)；事實(shí)上，給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)；事實(shí)上，注注：若一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，將它看作二元函數(shù)，：若一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，將它看作二元函數(shù)，則在相應(yīng)點(diǎn)仍連續(xù)。則在相

5、應(yīng)點(diǎn)仍連續(xù)。).1 , 2(7)(lim22) 1 , 2(),(fyxyxyx類似地，例類似地，例2 2給出的函數(shù)也在原點(diǎn)連續(xù)（給出的函數(shù)也在原點(diǎn)連續(xù)（P94P94）。）。例例3 3、4 4給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。若把例若把例3 3給出的函數(shù)改為給出的函數(shù)改為 ).0 , 0(),( ,12,0,| ),(),( ,2),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf則它沿直線則它沿直線 在原點(diǎn)連續(xù)。在原點(diǎn)連續(xù)。mxy 第26頁(yè)/共40頁(yè)設(shè)設(shè),),(),(00000yyyxxxDyxPyxP則稱則稱),(),( ),(),(),(00000000yxfyyxxfyxf

6、yxfyxfz為為在點(diǎn)在點(diǎn)f0P的的全增量全增量。可用增量形式描述可用增量形式描述關(guān)于關(guān)于fD在在0P的連續(xù)性：的連續(xù)性：.lim),(),(),(000zDyxyx).,(),(),(),(),(),(000000000000yxfyyxfyxfyxfyxxfyxfyx若在全增量中取若在全增量中取0 x或或, 0y則相應(yīng)的函數(shù)增量稱則相應(yīng)的函數(shù)增量稱為為偏增量偏增量，記為，記為第27頁(yè)/共40頁(yè)注意：偏增量的和不一定等于全增量。注意：偏增量的和不一定等于全增量。.,),(0001xyxyyxf容易證明：若二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)連續(xù)，則對(duì)單個(gè)自變量容易證明：若二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)連續(xù)，則對(duì)單個(gè)自變量都在

7、該點(diǎn)連續(xù)。但是反過(guò)來(lái)，二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)對(duì)單個(gè)都在該點(diǎn)連續(xù)。但是反過(guò)來(lái)，二元函數(shù)在某內(nèi)點(diǎn)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)，并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性。例如，自變量都連續(xù)，并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性。例如，若若),(0yxfx的一元函數(shù)在的一元函數(shù)在時(shí)時(shí),),(lim0000yxfxx則表示當(dāng)則表示當(dāng)0yy 作為作為0 x連續(xù)。連續(xù)。同理同理, ,若若,),(lim0000yxfyy),(yxf0則表示則表示在在0y連續(xù)。連續(xù)。第28頁(yè)/共40頁(yè)定理定理16.716.7( (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在xy的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，),(000yxP平面上點(diǎn)平面上點(diǎn)則復(fù)

8、合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)).,(000yxv),(yxu和和),(yxv連續(xù)；函數(shù)連續(xù)；函數(shù)0P并在點(diǎn)并在點(diǎn)在在uv),(000vuQ),(vuf平面上點(diǎn)平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, ,并在點(diǎn)并在點(diǎn)0Q連續(xù)連續(xù), ,其中其中),(000yxu),(),(),(yxyxfyxg也連續(xù)。也連續(xù)。0P在點(diǎn)在點(diǎn)若二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明若二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明它在這點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性以及有理運(yùn)它在這點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性以及有理運(yùn)算的各個(gè)法則。下面僅證明二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理算的各個(gè)法則。下面僅證明二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理.

9、 .練習(xí)練習(xí): :說(shuō)明下列函數(shù)的連續(xù)性說(shuō)明下列函數(shù)的連續(xù)性.)sin(3sin),(223yxexxyxfy第29頁(yè)/共40頁(yè)二、二、 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。它們可以本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。它們可以看作是閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣?？醋魇情]區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣。定理定理16.816.8( (有界性與最大、最小值定理有界性與最大、最小值定理) ) 若函若函數(shù)數(shù)2RD 上連續(xù)，則上連續(xù)，則有界閉域有界閉域最大值與最小值。最大值與最小值。f在在f在在D上有界，且能取得上有界，且能取得定理定理16.916.9(

10、(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 若函數(shù)若函數(shù)2RD 上連續(xù)，則上連續(xù)，則f在有界閉域在有界閉域f在在D上一致連續(xù)。即對(duì)上一致連續(xù)。即對(duì)只只要要就就有有,),(QP. | )()(|QfPf, 0, 0第30頁(yè)/共40頁(yè)實(shí)際上，定理實(shí)際上，定理16.816.8與與16.916.9中的有界閉域可改為有界閉中的有界閉域可改為有界閉集集( (證明過(guò)程無(wú)原則性變化證明過(guò)程無(wú)原則性變化) )。定理。定理16.1016.10中的有界閉域中的有界閉域( (它保證連通性它保證連通性) )不可改為有界閉集不可改為有界閉集( (開(kāi)集、閉集不一定開(kāi)集、閉集不一定具有連通性具有連通性) )。此外，定理。此外，定理

11、16.1016.10中的連續(xù)函數(shù)的值域中的連續(xù)函數(shù)的值域必定是一個(gè)區(qū)間。必定是一個(gè)區(qū)間。的實(shí)的實(shí)數(shù)數(shù)定理定理16.1016.10( (介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)上連續(xù)，若上連續(xù)，若f在有界閉域在有界閉域21PP,為為D中任意兩點(diǎn)，且中任意兩點(diǎn)，且則對(duì)任何滿足不等式則對(duì)任何滿足不等式)()(21PfPf),()(21PfPf2RD , ,DP 0使得使得必存在點(diǎn)必存在點(diǎn).)(0Pf第31頁(yè)/共40頁(yè)2 2、考察下列函數(shù)的連續(xù)性：、考察下列函數(shù)的連續(xù)性：作業(yè)作業(yè): P105: 1(1)(3)(5), 3.那么它在那么它在練習(xí)練習(xí)： 1 1、若函數(shù)、若函數(shù)1| ),(22yxyxD上具有哪

12、些性質(zhì)？上具有哪些性質(zhì)？),0 , 0(),(, 0),0 , 0(),(,1),(22yxyxyxyxf . 0 , 0, 0 ,),( )2( ;)cos(1),( ) 1 ()sin(22yyyxfyxyxfyxy第32頁(yè)/共40頁(yè)小結(jié)：小結(jié)：1、掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念、掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念 ；2、了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。、了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第33頁(yè)/共40頁(yè)一、一、 基本內(nèi)容和要求基本內(nèi)容和要求1、了解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，了解平面上的完備、了解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，了解平面上的完備 性定理，了解多元函數(shù)的概念。性定理，了解多元函數(shù)的概念。2、理解二元函數(shù)的極限和累

13、次極限的概念，并會(huì)、理解二元函數(shù)的極限和累次極限的概念，并會(huì)計(jì)算，知道它們之間的聯(lián)系。計(jì)算，知道它們之間的聯(lián)系。3、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)。第34頁(yè)/共40頁(yè)二、二、 作業(yè)問(wèn)題作業(yè)問(wèn)題P92, 3,5.P99, 1(5)(7)，2(4).P104, 1(3).三、三、 練習(xí)題練習(xí)題.1 )3();ln( )2();21ln( )1( .122222yxzwxyxzyxz求下列函數(shù)的定義域第35頁(yè)/共40頁(yè).nm,|n)(m,E )4;| ),(3,r , 10 , 1r0| ),rE )2;10|,E ) 1. . 21121212122為整數(shù)）；為無(wú)理數(shù)（）（的聚點(diǎn)集合求下列平面點(diǎn)集NnErrryxyxEEnn.),(lim . 3的定義敘述yxfyax第36頁(yè)/共40頁(yè).)0 , 0(),(|),( . 4的極限在和研究yxxyyxgyxxyyxf.)0 , 0( 1sin1sin)3(),( . 5的累次極限和全面極限在研究yxyxyxf. ,0y: . 0,cos1),( . 62在全平面上連續(xù)使得的值上定義能否在直線問(wèn)設(shè)ffyyxyyxf第37頁(yè)