多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用.,空間Euclid維.,1個坐標(biāo)也稱為點(diǎn)的第個分量的第向量中的向量也稱為點(diǎn)按照這個內(nèi)積構(gòu)成一個則的內(nèi)積為與定義ixinnyxinnniiixRRyxyx空間空間EuclidEuclid維維222221122221,nnnnyxyxyxxxxyxyxyxxxxxR定義為之間的與兩點(diǎn)定義為或的中向量距離距離范數(shù)范數(shù)長度長度第1頁/共65頁定義定義1(1(點(diǎn)列的極限點(diǎn)列的極限) ) 收斂于a.收斂于a.極限極限kkkkkkknnnkkkknkk，NkNkaaaxxxxaxaxaxaxNaxRaxRx這時也稱點(diǎn)列或記作為它的且稱的極限存在則稱點(diǎn)列恒

2、有使得即時若當(dāng)點(diǎn)中的一是中的一個點(diǎn)列是設(shè)lim, 0, 0,21,2,1 ,定理定理1 1 .lim, 2 , 1lim,iikkkknnkaxni都有的充要條件是對則點(diǎn)設(shè)點(diǎn)列axRaRx第2頁/共65頁定理定理2 2 ;) 1 (,的極限是唯一的則中的收斂點(diǎn)列是設(shè)knkxRx ;, 0)(,)2(MkMkkxNRx恒有使得即是有界點(diǎn)列;,)3(Rbayxaxbayxbyax其中則若kkkkkkk .,)4(aax斂于則它的任一個子列也收收斂于若k第3頁/共65頁, 2 , 1,2211212121nnniiinnnnnnbababannibxaxxxbbbaaababaRRxRbRa顯然記作

3、維閉區(qū)間中的為稱點(diǎn)集設(shè)定理定理3 3（閉區(qū)間套定理）（閉區(qū)間套定理）,),(,)(,)(, 0|lim)2(,) 1 (,121212111kkknnnk,nk,k,knk,nk,k,kkkkkknkk,b,bba,aabaRRbRaabbabaRba使則存在唯一的其中，即個中的一是設(shè)閉區(qū)間套閉區(qū)間套第4頁/共65頁定理定理4(Bolzano-Weierstrass4(Bolzano-Weierstrass定理定理) ) ).(極限點(diǎn)極限點(diǎn)的限也稱為的收斂子列的極中點(diǎn)列界點(diǎn)列必有收斂子列中的有kknnxxRR .Cauchy, 0,點(diǎn)列點(diǎn)列基本點(diǎn)列基本點(diǎn)列或中的是則稱恒有及使得若中的點(diǎn)列是設(shè)n

4、kkpknkpNkNRxxxNNRx定理定理5(Cauchy5(Cauchy收斂原理收斂原理) ) .Cauchy點(diǎn)列中的是中點(diǎn)的充要條件為收斂于中點(diǎn)列nknknRxRxR第5頁/共65頁定義定義2 2 .,.,.,., 2 , 1,閉集閉集孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)閉包閉包導(dǎo)集導(dǎo)集聚點(diǎn)聚點(diǎn)為則稱若的為則稱但若的稱為集合記作的稱為的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合的一個是則稱使得中的點(diǎn)列若存在中的一個點(diǎn)集是設(shè)AAAAAAAAAAAAAA，kk，A，AkkknnaaaaaxaxxRaR定義定義3 3 ., 0,aaaaaaaaaxRxaRaUUUUUnn與它們分別記為的為點(diǎn)稱的或點(diǎn)為半徑的為中心為以稱點(diǎn)集設(shè)鄰域鄰域去心去心

5、鄰域鄰域開球開球第6頁/共65頁 ., 0,的極限是于收斂則稱點(diǎn)列恒有使得若中的一個點(diǎn)列是設(shè)kkknkUNkNxaaxaxNRx定理定理6 6., 0,之外的點(diǎn)中除鄰域都含有的任何當(dāng)且僅當(dāng)?shù)木埸c(diǎn)為即的充要條件為則中的一個點(diǎn)集是設(shè)aaaaaRaRAAAUAAnn定義定義4 4nnARaR,設(shè);int, 0) 1 (AAAAAAU或記作的為的所有內(nèi)點(diǎn)組成的集稱由的是集則稱使若內(nèi)部內(nèi)部內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)aa第7頁/共65頁;extA, 0)2(記作的為的所有外點(diǎn)組成的集稱的是集則稱點(diǎn)使若外部外部外點(diǎn)外點(diǎn)AAAAUaa.,., 0)3(AAAAAUAUc記作的稱為的所有邊界點(diǎn)組成的集的為集則稱且若對邊界邊界邊界

6、點(diǎn)邊界點(diǎn)aaaextAAAnR且右端三個點(diǎn)集互不相交.AAAAn必有中的任一點(diǎn)集對于,RaxRxanU,記作為稱開球與它的邊界之并特別閉球閉球第8頁/共65頁定義定義5 5開集.開集.為則稱內(nèi)點(diǎn)的中的點(diǎn)全是即若設(shè)AAAAAAn,R定理定理7 7.是閉集是開集的充要條件為cnAAR定理定理8 8.)3(;)2(;) 1 (:,Euclid集有限多個開集的交是開集任意多個開集的并是開是開集空集與全空間開集有如下性質(zhì)中空間維在nnnRR同樣,閉集也有對應(yīng)的三條性質(zhì).)3(;)2(;) 1 (集有限多個閉集的并是閉集任意多個閉集的交是閉是閉集空集與全空間nR第9頁/共65頁., 0,無界集無界集有界集

7、有界集否則稱為是則稱都有使得對于所有的如果存在一個常數(shù)的一個點(diǎn)集是設(shè)AMAMAnxxR定義定義6 6 若A中任何點(diǎn)列都有收斂子列,則稱A是列緊列緊的(或相對緊相對緊的).若A是列緊閉集,則稱A為緊集緊集定義定義7 7.,閉區(qū)域閉區(qū)域區(qū)域區(qū)域連通集連通集它的邊界之并稱為區(qū)域與連通的開集稱為是則稱來的有限個線段聯(lián)結(jié)起都能用完全屬于與兩點(diǎn)中的任意如果是一個點(diǎn)集設(shè)AAAAnyxR.,1,1 , 0,2121凸集凸集中的是則稱則即若于中任意兩點(diǎn)的線段都屬若聯(lián)結(jié)設(shè)nnAAtttAAAARxxxxR第10頁/共65頁定義定義1 值域.值域.因變量因變量定義域定義域自變量自變量元函數(shù)元函數(shù)元數(shù)量值函數(shù)元數(shù)量值

8、函數(shù)的稱為稱為的稱為稱為其中也可記作簡稱上的一個是定義在稱映射是一個點(diǎn)集設(shè)ffDfwwfRwfAfDAxxxxxxffwnnAAfAnnnxxxxRR,:,2121定義定義2 2 mmmnmnfffyyyAxxxAAmAA,2:,212121fRyxxxfynRfR因變量因變量變量變量自自元向量值函數(shù)元向量值函數(shù)是是其中也可寫作上的一個為定義在稱映射是一個點(diǎn)集設(shè)第11頁/共65頁 TmTmTnnmnnmmfffyyyxxxxxxfxxxfxxxfxfxfxfyyynm,:212121212122112121fyxyxfy其中元數(shù)量值函數(shù)個對應(yīng)于第12頁/共65頁定義定義3(3(二重極二重極限限

9、) ).,lim,lim, 0, 0,:,00,0000000020000沒有極限時稱當(dāng)否則這個極限也稱為或記作的時為當(dāng)且稱時則稱當(dāng)恒有使得若常數(shù)是的一個聚點(diǎn)是一個二元數(shù)量值函數(shù)是設(shè)有點(diǎn)集yxfyxyxayxfayxfyxfyxyxayxfyxyxayxfAyxUyxaAyxAfAyyxxyxyx二重極限二重極限極限極限有極限有極限RRR第13頁/共65頁定義定義4(4(二元連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)) ).,lim,:,000000,0000200連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)處間斷.處間斷.在點(diǎn)在點(diǎn)處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)上的是稱此時上在集合則稱中每一點(diǎn)處連續(xù)在若稱否則則稱函數(shù)時有若當(dāng)并且的一個聚點(diǎn)是是一

10、個二元數(shù)量值函數(shù)設(shè)有點(diǎn)集AfAfAf,yxf，,yxfyxfyxfAyxAyxAyxAfAyxyxRR., 0, 0000000處連續(xù)在點(diǎn)則稱恒有使得若yxfyxfyxfAyxUyx第14頁/共65頁 .,lim,lim,lim, 0, 0,:,2121,00021,.02,01 ,00,01 ,01,02,01 ,0210重極限重極限極限極限naxxxfxxxfafaffaafAUxxxAxxxnAfAnxxxxnxxxxxxnnnnnnn這個極限也稱為也可記作或記作的時為當(dāng)則稱恒有使得若常數(shù)是一個的聚點(diǎn)是函數(shù)元數(shù)量值是一個是一點(diǎn)集設(shè)xxxxxxxxxxRa,xRRxx第15頁/共65頁 0

11、021221102121, 02, 01 , 00210lim, 0, 0,:,xxaxfaxfxfxxaxxaxfaxfxxRaxRfRxx或記作的極限時為當(dāng)則稱其中恒有使得若是一個常向量一個聚點(diǎn)的是元向量值函數(shù)是一個為一點(diǎn)集設(shè)mmnmmnmmnafafAUxxxaaaAxxxnAfffA第16頁/共65頁定理定理1 1則續(xù)函數(shù)上的連是是緊集設(shè),:,AAfAnRR(1)(有界性有界性)f 在A上有界; (2) (最大最小值定理最大最小值定理) f 在A上能取到它的最大值與最小值.定理定理2(2(介值定理介值定理) ).,.,:,00 xxRRfAMmMmAfMmAAfAn使則必之間的任一數(shù)與

12、是介于如果常數(shù)值與最小值上的最大在分別是與上連續(xù)在是一有界連通閉集設(shè)第17頁/共65頁定理定理3(3(一致連續(xù)一致連續(xù)性性) ) 212121, 0, 0,:,xxxxxxRRffAAfAfAn恒有時當(dāng)使得即上一致連續(xù)在則是連續(xù)函數(shù)是一個緊集設(shè)習(xí)題習(xí)題 5.15.1(書 P.10) 1.; 2.(2); 4.(1),(2); 5.(1),(4).習(xí)題習(xí)題 5.2 P.5.2 P.42-44 42-44 1.(2),(7); 2.(2),(4); 3.(2),(5),(7); 5.(3),(4); 6. 7. 8. 10.第18頁/共65頁定義定義1(1(方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)) )tftflflff

13、tftfftftUUftt00000000000000220lim,lim.,:,0 xexxlxxexxexexexxxRxReRxlxllllll記作方向的方向?qū)?shù)沿在點(diǎn)則稱此極限為存在若函數(shù)值有改變量從而對應(yīng)的平行的直線變到沿與由變量內(nèi)讓自在其單位向量為是平面上一向量設(shè)點(diǎn)第19頁/共65頁定義定義2(2(偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)) ).,0000000000000000yxfyxfyyxfxyxfyxyxfyxyxfyxUyxfyx或記作的對處對在點(diǎn)的方向?qū)?shù)稱為正向軸軸處沿在點(diǎn)內(nèi)有定義的鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfxyxfyxfxtxx000000000,lim,0 , 1,le此時

14、記yyxfyyxfyyxfyxfyy000000000,lim,同理第20頁/共65頁定義偏導(dǎo)函數(shù)為yyxfyyxfyyxfxyxfyxxfxyxfyx,lim,lim,00 tftflflffuUftnnnnnnn0000000212221221lim,:,;1 , 0 , 0,0 , 0 , 1 , 0,0 , 0 , 1. 1coscoscos,cos,cos,cos,0 xexxlxxRxRRxReeeeeRelxlll方向的方向?qū)?shù)處沿在點(diǎn)則一個標(biāo)準(zhǔn)正交基的是示為用其方向余弦可表中的一個單位向量是設(shè)第21頁/共65頁 inniiiixiiixiinitiiiixxxxfxxxxxxf

15、xfxfxftxxxxtftfxfxu，nixfuii, 02, 01 , 0, 01, 0, 01, 01 , 000000, 02, 01 , 00000000,limlim,lim, 2 , 10 xexxxxexxexxxx則有記其中即的方向?qū)?shù)沿方向的偏導(dǎo)數(shù)就是它在點(diǎn)處對在點(diǎn)第22頁/共65頁定義定義3(3(全微分全微分) ) xxxxxxxxxxxxxxxxxxRxxx,0,11022111001111000021nnnnnnnnnnnxxL，f，oxxoxxoLffuufxxxxLUUxxxffun且稱在點(diǎn)那么稱階無窮小的高時是當(dāng)其中可以表示成的改變量點(diǎn)在使得函數(shù)無關(guān)的常向量是與

16、其中的線性函數(shù)存在一關(guān)于如果內(nèi)有定義的鄰域在點(diǎn)元函數(shù)設(shè)處可微處可微第23頁/共65頁 x,xxxxxxxLfuf00dd,)(0記作一階的處關(guān)于自變量在點(diǎn)是全微分全微分定理定理1(1(可微的必要條件可微的必要條件) ) niixnxfffffxxffui10000001d,xxxxlxxxx示為表的全微分可用其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)且偏導(dǎo)數(shù)均存在處所有在點(diǎn)特別地的方向?qū)?shù)存在任意方向沿在點(diǎn)那么可微在點(diǎn)如果函數(shù).dd,ufffn或全微分可簡記為內(nèi)的是那么稱的每一點(diǎn)均可微在區(qū)域如果可微函數(shù)可微函數(shù)R第24頁/共65頁 規(guī)定自變量的微分等于自變量的改變量,即nixxii, 2 , 1,d從而全微分方程可寫成ni

17、iixxff1dd定理定理2(2(可微的充分條件可微的充分條件) ) ., 1,00021處可微在點(diǎn)則處連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)均在點(diǎn)且所有的鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)設(shè)xxxxxfnixfxxxffuin定義定義4(4(梯度梯度) ) .,000010021xxgradxxxxxfffxfxfxxxffunn或記為簡稱處的在點(diǎn)為則稱向量處可微在點(diǎn)設(shè)梯度梯度梯度向量梯度向量第25頁/共65頁nxfxfff01000,xxxxgrad其中nxx,1 nllxxfffflfd,dd,d,d,1000 xxxxexexgradx其中;,)2(;,) 1 (,2121212121uvvuuvuvvuuvvCuCvCuCv

18、CuCvCuCC，Cfvu或或?yàn)槌?shù)均可微及設(shè)函數(shù)gradgradgradgradgradgrad第26頁/共65頁 uufufuufufvvuuvvvuvuuvvvu,)4(;0,1,1)3(22gradgradgradgradgrad習(xí)題習(xí)題5.3 1.單號; 2.(2); 3.(1),(3); 4. (1), (3), (5); 5.; 6.; 9.; 11.; 12.第27頁/共65頁 .1 ,1,02002000njniffxfxxxfxxfxxffunijxxijijjijiji其中或或記為的再對變量對變量先在點(diǎn)則稱這個偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)存在變量對在點(diǎn)的偏導(dǎo)函數(shù)元函數(shù)如果xxxxxx

19、xxx二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)第28頁/共65頁.,:,222222二階混合偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)為和并稱的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個二元函數(shù)yxxyyyyxxyxxfffyfyfyfyxfyfxfxyfxfyfxfxfxyxfz.,1,高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)階定義階偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來可由類似nn.,導(dǎo)次序無關(guān)即二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求處有則在點(diǎn)處連續(xù)時都在點(diǎn)和當(dāng)yxxyyxxyffPPff第29頁/共65頁定理定理3 3yywwzyvvzyuuzxxwwzxvvzxuuzzyxyxyxyxfzwvuwvufzyxyxwyxvyxuddd,微分為且其全處也必可微在點(diǎn)數(shù)則復(fù)合函處可微

20、在對應(yīng)的點(diǎn)而處可微均在點(diǎn)設(shè)ywyvyuwvufywwzyvvzyuuzyzxwxvxuwvufxwwzxvvzxuuzxz,第30頁/共65頁 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)的對它稱為復(fù)合函數(shù)于是有的一元函數(shù)復(fù)合以后是則均分別可微設(shè)xzxvvzxuuzxzxxfzxxvxuvufzdddddd,1 zuuwzwyuuwywxuuwxwzyxuufwdd,dd,dd,2則有均可微設(shè) yzzfyfyuxzzfxfxu，yxzzyxfu,3則有均可微設(shè)第31頁/共65頁 nixuxufxuufxFxxFfFyfymiunxximiijmjjinmiinn, 1, 1,11111uxxxuxxxxuuuxxRx且有的偏

21、導(dǎo)數(shù)均存在于各個變量關(guān)從而處也必可微在數(shù)則復(fù)合函處可微應(yīng)的在對而數(shù)量值函數(shù)處可微在元數(shù)量值函數(shù)設(shè)第32頁/共65頁nnmmmnmnmjnjjmjjjxxxuxuxuxuxuxuufufxxuufxxuufydd,ddd1211211111111第33頁/共65頁 mmmmniiimniiimniiimuufuufuuufufxxuxxuufufyfmixxuuunmuuffymdddd,dd,d, 1,1111111111寫成則復(fù)合函數(shù)的全微分可也可微在且微可在若復(fù)合數(shù)元函個與元函數(shù)設(shè)有xuuxu第34頁/共65頁., 1,1一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性這一性質(zhì)稱為一樣分形式完全看

22、作是自變量時的全微變量中的中間這一全微分的形式與把miuuufyim 0,dd1d3ddd2ddd12vvuuvvvuvuuvuvvuvu第35頁/共65頁定理定理4(4(隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理) ) yxyFFxyxyxFxfyxfyyxFyxFyxyxFyxFdd,0,0,.0,3;,2; 0,1,00000000并且及它滿足具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定了一個在的某一鄰域內(nèi)唯一確則方程導(dǎo)數(shù)的某鄰域中有連續(xù)的偏在點(diǎn)滿足如果二元函數(shù)第36頁/共65頁習(xí)題習(xí)題5.3 P.45-47 13.(1),(4); 14.(2); 15.(1),(3); 16.(2) ; 17.; !9.(2); 20.(

23、2); 21.定義定義1 1 .,;,00mmnCfCfmfCfCfCffnf記為上的是則稱數(shù)階偏導(dǎo)內(nèi)有連續(xù)的在若或記為上的是則稱內(nèi)連續(xù)在若元函數(shù)內(nèi)的是定義在區(qū)域設(shè)類函數(shù)類函數(shù)類函數(shù)類函數(shù)Rx定理定理1 1 jininjjiniiixxxxfRRxxfffUUCfn11021110000002! 21,1 , 0,xxxxxxxxxx其中使得則元函數(shù)設(shè)第37頁/共65頁稱為Lagrange余項.上述公式也可寫成xxxHxxxxxx0000! 21,fTfff其中實(shí)對稱矩陣 xxxxxxxxxxxxxxH022221222222122122122120nnnnnfxfxxfxxfxxfxfxxf

24、xxfxxfxf第38頁/共65頁 .Hessian0矩陣的在點(diǎn)稱為xxxf 2000000020000!21,!21,TaylorPeanoxxxxxHxxxxxxxxxxHxxxxxxfTfTffffff公式余項的二階還可得到帶特別對二元函數(shù),上式可寫成第39頁/共65頁2020200000000000000000000,! 21,yyxxyyxxyxfyxfyxfyxfyyxxyyyxfxxyxfyxfyxfyyyxxyxxyx其中定義定義2 2 極值點(diǎn).極值點(diǎn).極值極值大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))極極極大值(極小值)極大值(極小值)極小值)極小值)無約束極大值(無約束無約束極大

25、值(無約束值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極大極大值與極小值統(tǒng)稱為的稱為點(diǎn)簡稱為取得在點(diǎn)則稱成立不等式恒若設(shè),:00000000ffffffffUUfnxxxxxxxxxxRxR第40頁/共65頁定理定理2(2(極值的必要條件極值的必要條件) ).,0000 xxxfffn則必有的極值點(diǎn)為且偏導(dǎo)數(shù)存在的在點(diǎn)元函數(shù)設(shè)定理定理3(3(極值的充分條件極值的充分條件) ) ).(),(,Hessian,0000002極大值極小值的為則負(fù)定正定若矩陣的在點(diǎn)為元函數(shù)設(shè)ffffUCfnffxxHxxH0 xx習(xí)題習(xí)題5.45.4 1.; 4. (1),(4); 5. (2); 6. (2); 7.; 8.; 10.第4

26、1頁/共65頁定理定理1 1處的導(dǎo)數(shù)為在此時處可微在的每個分量處可微的充要條件為在點(diǎn)向量值函數(shù)000, 1:xfxfxRRfmifimnnmmmnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfD0201002202102012011010 xxxxxxxxxxf.,00nmjixfxJacobixf記為處的在這個矩陣稱為矩陣矩陣第42頁/共65頁0,Jacobi,1100 xxfxJxfnnxxffnm記成行列式處的在該方陣的行列式稱為時當(dāng) 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)處的在為數(shù)量值函數(shù)為數(shù)量值函數(shù)時002001000,1) 1 (xxxxxxxxxfDfDfDfxfxfDffmTn第43頁/共65頁Tfnnnn

27、nnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxffD002202102202220221021021202210202xHxxxxxxxxxx 0010200101,1)2(xfxfxDxfxfxDxfxfxxnmmmfffRf為實(shí)變量為一元向量值函數(shù)時第44頁/共65頁定理定理2 2 xDxxxDxDxDuuDuDuDDDDDDuTTgfgfgfgfRRgRRfxxfxfxfxfxfxgxgxfxgfxgxfxgfxgfgfxxgf并且處可微在則向量積若并且處可微在并且處可微在則有處可微的數(shù)量值函數(shù)是在處可微都在點(diǎn)與設(shè)有向量值函數(shù),:,:)3(,)2(,) 1 (,33第45頁/共65頁

28、定理定理3(3(向量值函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t向量值函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t) )0000000010100,xgxgfxgufxwxgfwRxgufRxgxguDDDDDffggpTmnTp并且處可微在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)處可微在對應(yīng)的點(diǎn)向量值函數(shù)處可微在點(diǎn)設(shè)向量值函數(shù)000212221212111212221212111212221212111xxuuxxnpppnnpmmmppnmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgufufufufufufufufufxwxwxwxwxwxwxwxwxw第46頁/共65頁特殊情況:njxgufxwufufufDffwfmpijiijpnp, 2 , 1,:,:, 1) 1

29、(100020100 xuuuuuRRgRRnnnnnnxxxggguuufffxxxwwwpmn,)2(212121212121第47頁/共65頁考慮m個方程,m+n個變量組成的方程組 ., 2 , 1,:.,0,0,0,12111112111函數(shù)函數(shù)由該方程組所確定的隱由該方程組所確定的隱解解 或稱為數(shù)是它的個函那么就稱這個恒等式使其變成述方程組將其代入上函數(shù)個上的如果存在定義在點(diǎn)集變量的方程組個個方程上式就是包含對于給定的mmmixxfymAmmxxxyyxxFyyxxFyyxxFniinnmnmmnmnR第48頁/共65頁 AAffFFyyxxyyxxmnTmTmTmnmTmnTnxx

30、fyRRf0yxFxfy0yxFfFyxRyRx,:,.,111111或所確定的向量值函數(shù)就可看成由向量方程由方程組確定的隱函數(shù)式寫成則方程組可寫成記第49頁/共65頁定理定理4(4(隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理) ) .,:0,Jacobi)2(;,) 1 (,:,000,1100000000 x0 xfxFxfyRfRxyxJ0yxFyxRFRRyxF使向量值函數(shù)及唯一的連續(xù)可微的的區(qū)域則存在一個包含行列式滿足下列條件且數(shù)是連續(xù)可微的向量值函域是一個區(qū)設(shè)mnmmmmnyyFF：GGG第50頁/共65頁若方程組nnnnnxxxfyxxxfyxxxfy,2121222111nxxx,21在點(diǎn)的

31、某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且, 0,2121nnxxxyyy的反函數(shù)導(dǎo)數(shù)組單值連續(xù)且有連續(xù)偏鄰域內(nèi)唯一地確定了一的某相對應(yīng)的點(diǎn)則在與點(diǎn)nnyyyxxx,2121nnnnnyyyxyyyxyyyx,2121222111第51頁/共65頁并且nnnnxxxyyyyyyxxx,1,21212121 .).,(,.,;,.212121有向曲線有向曲線負(fù)向負(fù)向正向正向簡單閉曲線.簡單閉曲線.簡單曲線簡單曲線連續(xù)曲線連續(xù)曲線規(guī)定了正向的曲線稱為的的方向?yàn)闇p小自然的增大的方向?yàn)槲覀円?guī)定曲線的對于選定了參數(shù)為則稱且為簡單曲線如果自身不相交的連續(xù)曲線即簡單曲線就是為則稱為單射上即在均有且續(xù)曲線為連如果為則稱量值

32、函數(shù)如果向的方程為設(shè)空間曲線tttttttttCtttrrrrrrrr第52頁/共65頁 .,:0000為參數(shù)的向徑的動點(diǎn)為切線上其中可寫為處切線的向量方程在點(diǎn)曲線RrrrrrtzyxMzyxttttPt對稱式方程(標(biāo)準(zhǔn)方程) 000000tztzztytyytxtxx .,.,分段光滑曲線分段光滑曲線光滑曲線光滑曲線為則稱段都是光滑曲線每分成若干有限段后但將不是光滑曲線果曲線如為曲線時且上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)在當(dāng)函數(shù)tttttrr0rr第53頁/共65頁 .,00,.000000000000的向徑是法平面上點(diǎn)其中或法平面方程是的在點(diǎn)此平面稱為平面內(nèi)這些法線顯然位于同一處的在線稱為此曲線處的切線垂直的

33、任一直且與點(diǎn)上點(diǎn)過曲線zyxzyxtzztztyytytxxtxttPPPPrr法平面.法平面.法線法線 01,00000000000 xzzxzxyyxyxxxzxzzxyxyyxxxxbxaxzzxyy法平面方程分別為程與相對應(yīng)的點(diǎn)處的切線方上與參數(shù)那么的方程為如曲線第54頁/共65頁 曲面的參數(shù)方程.曲面的參數(shù)方程.稱為或?qū)憺橄蛄啃问绞緸榈姆匠炭捎么擞成浔淼哪骋贿B續(xù)映射的象到空間一區(qū)域可以看作是由平面上某曲面DvuvuzvuyvuxvuDvuvuzzvuyyvuxxSOxyzDS,.rr 100000,.,IuvuzvuyvuxvuSSuvvDrrr其方程為上的稱為曲面曲線上的一條下象點(diǎn)

34、的集合應(yīng)是曲面則此時在映射化變讓中固定若在對于曲面的參數(shù)方程u曲線u曲線第55頁/共65頁 .,2120000所允許的變化區(qū)間與分別為與其中曲線的方程為上的同理可得曲面vuIIIvvuzvuyvuxvuvS rr.,參數(shù)曲線網(wǎng)參數(shù)曲線網(wǎng)的上曲線族構(gòu)成曲面曲線族和它們的交點(diǎn)就是線曲曲線和一條就有一條上的每一點(diǎn)過曲面SvuPvuPS IttvtuztvtuytvtuxtvtuIttvvtuuDS,rrr的方程為因而它下的象點(diǎn)集合在映射內(nèi)某一平面曲線上任一條曲線必是區(qū)域曲面第56頁/共65頁 正則點(diǎn).正則點(diǎn).為曲面的此時稱點(diǎn)且導(dǎo)數(shù)存在偏在點(diǎn)內(nèi)連續(xù)在其中對于曲面000000,00,00002,0000

35、vuvuvuvzvyvxvuuzuyuxvuDvuDDvuvuzvuyvuxvuvuvuvvuu0rrrrrRrr法向量可取為法線的方向向量稱為處的在點(diǎn)的直線稱為此曲面垂直于切平面且過點(diǎn)是此切空間的一組基它是一個線性空間的在點(diǎn)也稱為的在點(diǎn)稱為曲面所確定的平面與曲線的切向量曲線和把由.,.,000000000000法向量法向量法線法線二維切空間,二維切空間,切平面切平面rr0rrrrrrrrSvuvuSSvuvuvuvuvuvu第57頁/共65頁0000000000000000,0,0.000vuzzvuyyvuxxCzzByyAxxzzCyyBxxASCBAvuyxvuxzvuzyvuvuvu其中法線方程為的切平面方程為在點(diǎn)rrr光滑曲面.光滑曲面.是一則稱曲面內(nèi)連續(xù)區(qū)域均在若偏導(dǎo)數(shù)SDvzvyvxuzuyuxvu,rr第58頁/共65頁00000000000000000, 0,PFzzPFyyPFxxzzPFyyPFxxPFzyxPzyxFSzyxzyx法線方程為的切平面方程為在點(diǎn)的方程為若曲面.,1,000