信號(hào)與系統(tǒng)(第二章)

1、 LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解用用 表示離散時(shí)間信號(hào)表示離散時(shí)間信號(hào)用用 表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào) LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積積分與卷積和卷積積分與卷積和 LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示 奇異函數(shù)奇異函數(shù)( ) t第第2章章 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)基本思想：基本思想：如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到了的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對(duì)任的響應(yīng)，就可

2、以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合應(yīng)的線性組合LTI系統(tǒng)特點(diǎn)系統(tǒng)特點(diǎn): 齊次性齊次性和和可加性可加性，具有時(shí)不變性具有時(shí)不變性信號(hào)與系統(tǒng)分析理論與方法信號(hào)與系統(tǒng)分析理論與方法的的基礎(chǔ)基礎(chǔ)問題的實(shí)質(zhì)：問題的實(shí)質(zhì)：1. 研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)性組合來構(gòu)成任意信號(hào)2. 如何得到如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響

3、應(yīng) 作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：1. 本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)2. LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求得系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求得如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有( )( )iiix ta x t( )( )iix ty t則則( )( )iiiy ta y t將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)

4、的時(shí)域分析法、系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法頻域分析法和變換域分析法分析方法：分析方法： 離散時(shí)間信號(hào)中離散時(shí)間信號(hào)中,最簡單的是最簡單的是 ,可以由它的線性組可以由它的線性組合構(gòu)成合構(gòu)成 ，即：，即：一一. 用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào) 對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào)對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào) ,如果每次從其中取出一個(gè)如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖 （Discrete-Time LTI Systems:The Convolut

5、ion Sum）于是有于是有：上式把任意一個(gè)序列上式把任意一個(gè)序列 表示成一串移位的單位表示成一串移位的單位脈沖序列脈沖序列 的線性組合，其中的線性組合，其中 是權(quán)因子是權(quán)因子二二. 卷積和卷積和（Convolution sum） 定義：定義： 離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)( impulse response ) LTI n h nl 時(shí)不變性時(shí)不變性l齊次性齊次性LTI nnk h nh nkLTI x knk x k h nkl可加性可加性LTI kx knk kx k h nkLTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的響應(yīng)的響應(yīng)：上面這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)

6、算關(guān)系稱為上面這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和卷積和（The convolution sum）這表明：這表明：一個(gè)一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)都可以由它系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)都可以由它的單位脈沖響應(yīng)來表示的單位脈沖響應(yīng)來表示卷積的意義：卷積的意義： 單位脈沖響應(yīng)完全表征單位脈沖響應(yīng)完全表征LTI系統(tǒng)的特性系統(tǒng)的特性三三. 卷積和的計(jì)算卷積和的計(jì)算計(jì)算方法計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）解析法解析法求求( )( )kf ka u k( )( )kh kb u k例：例：( )fyk( )( )* ( )( ) ()fiykf kh k

7、f i h ki( )()ik iia u i bu ki0, ( )0;, ()0iu iik u ki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1001( )( ),( ) ( )( ) ( )1( )(1) ( ),kkkkik ikifiikabbu k abaayka bu kbu kbbbku k ab例：例：求求( )* ( )( )* ()iu ku ku iu ki0( )1(1) ( )kiu kku k( )* ( )u ku k例：例：求求( )(4)ka u ku k( )(4)( )(4)kiia u ku ka u ku ki4240(4)(1.) (4)kikiu kaaaau k41(4)1k

8、au ka10( )( )( )( ) ()( ) ()1( )1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k( )( )kx ku k.01nk()()h nku nk例：例：( )( )nx nu n01( )( )h nu n圖解法圖解法 將一個(gè)信號(hào)將一個(gè)信號(hào) 不動(dòng)不動(dòng)，另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后為另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后為 ,再隨參變量再隨參變量 移位。在每個(gè)移位。在每個(gè) 值的情況下，將值的情況下，將 與與 對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即，即得到得到 時(shí)刻的時(shí)刻的 可分解為四步，對(duì)可分解為四步，對(duì)f (n) =x(n) h(n)

9、（1）換元：）換元：n換為換為k得得x(k)，h(k) （2）反轉(zhuǎn)平移：由）反轉(zhuǎn)平移：由h(k)反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)h(k)右移右移n位位 h(n k) （3）乘積：）乘積：x(k) h(n k) （4）求和：）求和：k 從從到到對(duì)乘積項(xiàng)求和對(duì)乘積項(xiàng)求和注意：注意：n 為參變量為參變量( )x k()hknn( )x k()h nkn( )y n例例2：解：解：（1）換元：）換元：k換為換為i得得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)f2(i)，再右移，再右移k f2(k i)（3）乘積：）乘積：f1(i) f2(k i) （4）求和：）求和：i 從從到到對(duì)乘積項(xiàng)求和對(duì)乘

10、積項(xiàng)求和1k0 時(shí)時(shí)，0n 時(shí)時(shí)，所以所以例例3： 時(shí)時(shí)，0n 時(shí)時(shí)，04n 時(shí)時(shí)，46n 時(shí)時(shí)，610n 時(shí)，時(shí)，10n 分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)： 與與 的所有各點(diǎn)都要遍乘一次的所有各點(diǎn)都要遍乘一次 ( )x n( )h n( ) ()kx k h nk 在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù)在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù) ，參與相加的各點(diǎn)都具有參與相加的各點(diǎn)都具有 與與 的宗量之的宗量之和為和為 的特點(diǎn)。的特點(diǎn)。 ( )x k()h nkn列表法列表法10211021204200003063102112031( )h n( )x n(0)x(1)x(2)

11、x(3)x( 1)h (0)h(1)h(2)h(3)h( 1)y (0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y 通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。很有用的。 四四. 卷積和運(yùn)算的性質(zhì)卷積和運(yùn)算的性質(zhì)1. 交換律：交換律：結(jié)論：結(jié)論： 一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是hn的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)號(hào)xn所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是xn的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)hn所產(chǎn)生的響

12、應(yīng)相同。所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2. 結(jié)合律結(jié)合律: 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)可以等效為一個(gè)單一系統(tǒng)，該系系統(tǒng)級(jí)聯(lián)可以等效為一個(gè)單一系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積應(yīng)的卷積兩個(gè)級(jí)聯(lián)的兩個(gè)級(jí)聯(lián)的LTI系統(tǒng)總的單位脈沖響應(yīng)與其中各部系統(tǒng)總的單位脈沖響應(yīng)與其中各部分級(jí)聯(lián)的次序無關(guān)分級(jí)聯(lián)的次序無關(guān)結(jié)論：結(jié)論：3. 分配律：分配律：結(jié)論：結(jié)論： 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)可以用一個(gè)單一的系統(tǒng)并聯(lián)可以用一個(gè)單一的LTI系統(tǒng)來系統(tǒng)來等效，該單個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于并聯(lián)的各個(gè)等效，該單個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于并聯(lián)的各個(gè)子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)之和子系

13、統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)之和4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 一一. 用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)2.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分基本信號(hào)的線性組合基本信號(hào)的線性組合如何分解？如何分解？ 用基本脈沖表示任意位置、高度的脈沖用基本脈沖表示任意位置、高度的脈沖( ) t01t( )f t0At1/0( )0ttotherwise ?( )( )f tt( )()()kx tx ktk 用基本脈沖表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)用基本脈沖表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)l 時(shí)不變性時(shí)不

14、變性l齊次性齊次性LTI ttk h th tkLTIxktkxkh tkl可加性可加性LTIkxktk kxk h tk ( )x t( )y t, ( )0( )? x ty t 當(dāng)當(dāng) LTI系統(tǒng)系統(tǒng)0( )lim ( ) ()kx tx ktkxtd 二二. 卷積積分（卷積積分（The convolution integral）定義：連續(xù)時(shí)間定義：連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)LTI t h t0( )lim ( ) ()ky tx k h tkxh td ( ) t01t10( ) tt0 ( )x t( )y t( )( ) ()( )( )y txh tdx t

15、h t 表明表明:連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)可以完全由它的系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激單位沖激 響應(yīng)響應(yīng) 來表征。來表征。( )h t 卷積積分卷積積分三三. . 卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算 卷積積分的計(jì)算：圖解法、解析法和數(shù)值解法。卷積積分的計(jì)算：圖解法、解析法和數(shù)值解法。 運(yùn)算過程：運(yùn)算過程： 1.1.參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動(dòng)。移動(dòng)。 2 2 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) 的值，將的值，將 和和 對(duì)應(yīng)相乘對(duì)應(yīng)相乘 3 3 再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。 注意：確定積分區(qū)間和積分上下限注意

16、：確定積分區(qū)間和積分上下限tt( )x()h t01( )x例例1: ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，所以：所以：例例2 : 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd02T2T( )h()x t01tTt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0tT 201( )2ty tdt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，23T tT 2221( )

17、2()2Tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )y t四四. 卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)1. 交換律：交換律：結(jié)論：結(jié)論： 一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h(t)的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)號(hào)x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x(t)的的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2. 分配律：分配律：結(jié)論：結(jié)論：兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和

18、。3. 結(jié)合律結(jié)合律: 兩個(gè)兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。 由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。次序可以調(diào)換。結(jié)論：結(jié)論：4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：若若 ，則，則( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )(

19、)( )( ) ( )( )tttx th tx th ty txdh tx thdyd若若 ，則，則將將 微分一次有微分一次有:( )x t( )( )()x tttT( )x ttT0(1)( 1)( )( )( ) ( )()( )( )()y tx th tttTh th th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根據(jù)微分特性有根據(jù)微分特性有:02T2Tt( )h t*0Tt102( )0ttTh totherwise T2TT2T( )y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t( )y t( )( )ty tyd利用積分特性即可得利用積分特性即可得: :2.3 線性時(shí)不變系

20、統(tǒng)的性質(zhì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1. 無記憶性和記憶性：無記憶性和記憶性： LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。因此必須有：因此必須有：即：即：（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：沖激響應(yīng)為： 如果如果LTI系統(tǒng)的單位沖激系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，脈沖響應(yīng)

21、不滿足上述要求，則系統(tǒng)是則系統(tǒng)是記憶的記憶的。2. 可逆性：可逆性： 如果如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。統(tǒng)。( )x t( )x t( )h t( )g t h nkn因此有：因此有：例如：例如：延時(shí)器是可逆的延時(shí)器是可逆的LTILTI系統(tǒng)，系統(tǒng)， ，其，其逆系統(tǒng)是逆系統(tǒng)是 ，顯然有：，顯然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTILTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，

22、其逆，其逆系統(tǒng)是系統(tǒng)是 ，顯然也有：，顯然也有：3. 因果性：因果性：對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有:這是這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。( )0,0h tt因此必須有：因此必須有：即：即： 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由 ，若若 有界，則有界，則 ;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求要求 必有界，由必有界，由對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有: ( )h t dt 這是這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件4. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：可知，必須有可知，必須有:5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 在工程實(shí)際中，

23、也常用單位階躍響應(yīng)來描述在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì) 或或 所產(chǎn)生所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有的響應(yīng)。因此有:( )u tLTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。 在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。分方程或差分方程。 ( Causa

24、l LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )回顧：分析動(dòng)態(tài)電路的過渡過程回顧：分析動(dòng)態(tài)電路的過渡過程例例：求：求uc根據(jù)根據(jù) KVL 列出回路方程為：列出回路方程為： 由于電容的由于電容的 VCR 為：為： 得到以電容電壓為變量得到以電容電壓為變量的電路方程：的電路方程： 解解：一階一階RC串聯(lián)電路串聯(lián)電路系統(tǒng)分析：根據(jù)系統(tǒng)分析：根據(jù)KCL、KVL和和VCR關(guān)系關(guān)系建立電路方程來描述電路系統(tǒng)建立電路方程來描述電路系統(tǒng)回顧：一階微分方程的求解回顧：一階微分方程的求解)()()(twtKxdttdx 解的結(jié)構(gòu)：

25、解的結(jié)構(gòu)：齊次通解齊次通解特解特解)()()(txtxtxph( )KKthx tAe通通解解： 由由特特征征方方程程求求得得( )( )pxtw t特特解解：形形式式由由的的形形式式確確定定)cos(cos)1(10btQbtPQePetQQPtQPttl特解中的系數(shù)，由特解中的系數(shù)，由特解代入方程特解代入方程求出求出l通解中的系數(shù)由通解中的系數(shù)由初始條件初始條件求出求出二階系統(tǒng)的二階系統(tǒng)的微分方程描述微分方程描述(1)以以 iL為變量為變量(2)以以u(píng)c為變量為變量 回顧：二階回顧：二階RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)串聯(lián)電路系統(tǒng) 求解該微分方程，通常是求出求解該微分方程，通常是求出通解通解 和和一個(gè)特

26、一個(gè)特解解 ，則，則 。( )pyt( )hy t( )( )( )phy tyty t一一.線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程(LCCDE)（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均為常數(shù)均為常數(shù)例：已知例：已知LTI系統(tǒng)系統(tǒng) ， )()()(txtydttdy 2)()(tuetxt 3且系統(tǒng)滿足初始松弛條件，即且系統(tǒng)滿足初始松弛條件，即 if t0，x(t)0 then t0，y(t)0 零狀態(tài)零狀態(tài)數(shù)字系統(tǒng)描述：數(shù)字系統(tǒng)描述：三階數(shù)字回聲系統(tǒng)三

27、階數(shù)字回聲系統(tǒng)延時(shí)延時(shí)p p1 1p p0 0數(shù)字?jǐn)?shù)字語音語音信號(hào)信號(hào)xn延時(shí)延時(shí)延時(shí)延時(shí)p p2 2p p3 3延時(shí)延時(shí)- -d d2 2- -d d1 1延時(shí)延時(shí)- -d d3 3有回有回聲的聲的數(shù)字?jǐn)?shù)字語音語音yn延時(shí)延時(shí) 3130llkklnydknxpny二二. 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程(LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：可以將其改寫為：可以將其改寫為：若要求若要求 除了要知道所有的輸入外，還必須知道除了要知道所有的輸入外，還

28、必須知道 。由于這種差分方程可以通過遞推。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為求解，因而稱為遞歸方程（遞歸方程（recursive equation）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，差分方程變?yōu)椋簳r(shí)，差分方程變?yōu)椋?,0kak求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程非遞歸方程（nonrecursive equation），其系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為：），其系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為：系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的LTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為 FIR（Finite Impulse Response）系統(tǒng)）系統(tǒng)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，為時(shí)，為遞歸方程遞歸方程描述描述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一

29、個(gè)無限長的序列，稱該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長的序列，稱該LTI系統(tǒng)為系統(tǒng)為IIR（Infinite Impulse Response)系統(tǒng)系統(tǒng)0, 0 kakFIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類重要系統(tǒng)系統(tǒng)中兩類重要系統(tǒng)1. 離散時(shí)間系統(tǒng)的三種基本網(wǎng)絡(luò)單元：離散時(shí)間系統(tǒng)的三種基本網(wǎng)絡(luò)單元：相加器相加器單位延遲單位延遲乘以系數(shù)乘以系數(shù)例：因果系統(tǒng)例：因果系統(tǒng) ，建立該系統(tǒng)的，建立該系統(tǒng)的方框圖表示方框圖表示nbxnayny1三三.系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示 2. 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)單元連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)單元相加器相加器乘以系數(shù)乘以系數(shù)微分器微分

30、器積分器積分器 但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。器而不用微分器。tdaybxty)()()()()()(tbxtaydttdy例：已知因果例：已知因果LTI系統(tǒng)：系統(tǒng)： 在第一章介紹單位沖激時(shí)，采用極限的觀點(diǎn)，在第一章介紹單位沖激時(shí)，采用極限的觀點(diǎn)，將將 視為視為 在在 時(shí)的極限。這種定義或描時(shí)的極限。這種定義或描述述 的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢缘姆椒ㄔ跀?shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在有許多不同函數(shù)在 時(shí)都表現(xiàn)為與

31、時(shí)都表現(xiàn)為與 有相同有相同的特性。的特性。( ) t( ) t0( ) t0( ) t 例如例如: :以下信號(hào)的面積都等于以下信號(hào)的面積都等于1 1，而且在，而且在 時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。0 2.5 2.5 奇異函數(shù)奇異函數(shù)01t( ) t021t( )( )( )r ttt0241t( )( )r tr t 之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)橹援a(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)?是一個(gè)理想化是一個(gè)理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱為的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)。通常采用在卷積。通常采用在卷積或積分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)?；蚍e分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。( ) t一一. . 通過卷積定義通過卷積定義( ) t( ) t 根據(jù)定義可以得出根據(jù)定義可以得出 的如下性質(zhì)：的如下性質(zhì)： 定義定義 為一個(gè)信號(hào)，對(duì)任何為一個(gè)信號(hào)，對(duì)任何 信號(hào)有：信號(hào)有： ( ) t( )( )( )x tx tt00( )( )( )( )( )( )()( )()x ttx ttttttttt