計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第二章

1、第二章 簡單回歸模型 簡單回歸模型的定義 普通最小二乘法的推導(dǎo) OLS的操作技巧 度量單位的函數(shù)形式 OLS估計(jì)量的期望值和方差 過原點(diǎn)回歸計(jì)量12.1 簡單回歸模型的定義 回歸模型的基本形式： 簡單回歸模型的基本形式： 稱為一元線性總體回歸模型。( )yf xuuxy10簡單回歸模型的定義 簡單回歸模型定義的幾個(gè)討論 公式變量與參數(shù)的解釋 用x解釋y時(shí)面臨的三個(gè)問題 該公式的不足 該公式的假設(shè)計(jì)量3簡單回歸模型的定義公式變量與參數(shù)的解釋 Y：被稱為因變量（dependent variable）、被解釋變量、被預(yù)測變量、回歸子 X：被稱為自變量（independent variable）、解釋

2、變量、預(yù)測變量、回歸元、協(xié)變量 u：為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)或隨機(jī)誤差項(xiàng)，表示除x以外其他因素對(duì)y的影響。 0和1為兩個(gè)待定參數(shù)。從幾何意義上講，為直線的截距； 為直線的斜率（又稱斜率系數(shù)）。計(jì)量4簡單回歸模型的定義用x解釋y時(shí)面臨的三個(gè)問題計(jì)量5x能否來解釋y的變化？x和y存在著怎樣的相關(guān)關(guān)系 ?既然兩個(gè)變量間沒有一個(gè)確切的依存關(guān)系，應(yīng)該如何考慮x以外的其他因素對(duì)y的影響？ 如何確定是在其他條件不變的情況下描述x和y的關(guān)系形式？ 簡單回歸模型的定義該公式的不足計(jì)量6簡單回歸模型的定義該公式的假設(shè)spring 2012計(jì)量7( |)( )0iE u xE u1要使得固定，需要施加一個(gè)約束：表明：表明： u

3、中不包含系統(tǒng)性的影響因素，既沒有變量遺漏問題，解釋變量也不存在系統(tǒng)的測量誤差，模型函數(shù)形式設(shè)定正確。u均值獨(dú)立于解釋變量隨機(jī)變量x和u不相關(guān)的三個(gè)層次： “獨(dú)立”：意味著對(duì)于x 、y和的任意可測函數(shù) 和 ，有 “均值獨(dú)立”:意味著 “線性無關(guān)”:意味著 ( )g u( )f xcov ( ), ( )0g uf x =cov ,( )0u f x=cov( , )0u x =spring 2012計(jì)量9簡單回歸模型的定義該公式的假設(shè)計(jì)量10.x1x2E(y|x) = 0 + 1xyf(y) 計(jì)量1111每每 月月 家家 庭庭 可可 支支 配配 收收 入入 X200025003000350040

4、0045005000550060006500131215301631184320372277246929243515352113401619172619742210238828893338372139541400171317862006232525263090365038654108每每1548175018352265241926813156380240264345月月1688181418852367252228873300408741654812家家173819851943248526653050332142984380庭庭1800204120372515279931893654431245

5、80消消19022186207826892887335338424413費(fèi)費(fèi)220021792713291335344074支支231222982898303837104165出出2316292331673834 Y Y238730533310249831873510268932861591191520922586275430393396385340364148()iE Y X假如已知由假如已知由100100個(gè)家庭構(gòu)成的總體的數(shù)個(gè)家庭構(gòu)成的總體的數(shù)據(jù)據(jù) (單位單位:元元) 12消費(fèi)支出的條件期望與收入關(guān)系的圖形消費(fèi)支出的條件期望與收入關(guān)系的圖形)(iXYE2.2 普通最小二乘法的推導(dǎo)計(jì)量13

6、最小二乘法是法國數(shù)學(xué)家勒讓德(A.M.Legendre，1752-1833)于1805正式提出的，但他的研究沒有涉及到誤差分析問題。這一缺陷由德國數(shù)學(xué)家高斯 (C.F.Gauss1777-1855) 于1809年發(fā)布的正態(tài)誤差理論補(bǔ)足，加上高斯宣稱自1799年以來他一直使用在這種方法，許多人將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于高斯。 總體回歸線和總體回歸函數(shù)計(jì)量14E(y|x) = 0 + 1xxy 對(duì)于實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題，通常無法掌握所有總體單位的數(shù)值，總體回歸函數(shù)實(shí)際上是理論上存在，又稱理論回歸方程樣本回歸方程 通過對(duì)樣本觀測獲得的信息去估計(jì)總體回歸函數(shù) 如果變量x和y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，對(duì)于任意抽取

7、的若干個(gè)觀測（樣本）點(diǎn)（ ）， 有 稱為樣本回歸模型 由兩部分組成 ：系統(tǒng)分量和隨機(jī)分量 系統(tǒng)分量 , iix y01iiiyxeiy01ix樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的區(qū)別 總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的（PRF唯一唯一) ； 樣本回歸線隨抽樣波動(dòng)而變化，每次抽樣都能獲得一個(gè)樣本，就可以擬合一條樣本回歸線，（SRF不唯一）； 樣本回歸線只是樣本條件均值的軌跡，還不是總體回歸線，它至多只是未知的總體回歸線的近似表現(xiàn) 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系 SRF1 * * SRF2 * * * * yxPRF樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一

8、致 如果能夠通過某種方式獲得如果能夠通過某種方式獲得 和和 的數(shù)值，顯然的數(shù)值，顯然: 和和 是對(duì)總體回歸函數(shù)參數(shù)是對(duì)總體回歸函數(shù)參數(shù) 和和 的估計(jì)的估計(jì) 是對(duì)總體條件期望是對(duì)總體條件期望 的估計(jì)的估計(jì) 在概念上類似總體回歸模型中的在概念上類似總體回歸模型中的 ，可視，可視 為對(duì)為對(duì) 的估計(jì)。的估計(jì)。18對(duì)比：對(duì)比： 總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù) 樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)10iyieiuiu10()iE y x1001()iiE y xx01iiiyxu01iiyx01iiiyxe對(duì)樣本回歸的理解對(duì)樣本回歸的理解普通最小二乘法（普通最小二乘法（OLS） （rdinary Least Squares

9、) 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)最常采用的參數(shù)估計(jì)方法 它是建立在一個(gè)簡單的估計(jì)準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則之上的 可以看出 最小二乘準(zhǔn)則是使全部觀測值的殘差平方和為最小，即 01iiiiieyyyxminQ2ie201()iiyx= 由微積分求極值的原理知，要使 達(dá)到最小，必要條件是 對(duì) 和 的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零： Q01Q0100112()02()0iiiiiQyxQyx x 0101()0()0iiiiiyxyx x即 、 應(yīng)滿足下列方程組： 01這兩個(gè)方程分別相當(dāng)于0,0,iiiee x 經(jīng)整理后得正規(guī)方程組 解得： 01201iiiiiiynxx yxx122201()()()()iiiiiiiiinx yxy

10、xxyynxxxxyx 01由此估計(jì)出的 和 稱為參數(shù)的最小二乘估計(jì)量（OLSE）除了OLS以外，參數(shù)估計(jì)的方法還有最大似然估計(jì)（ML）方法、矩估計(jì)方法（MM）等 基于條件期望為0的普通最小二乘法的推導(dǎo) 由由E(u)=0 得得E(y 0 1x) = 0 對(duì)于給定的數(shù)據(jù)樣本，有對(duì)于給定的數(shù)據(jù)樣本，有 可得可得01101niiixynxyxy1010 由cov(x,u)=E(xu)=0 得Ex(y 0 1x) = 0 對(duì)于給定的數(shù)據(jù)樣本，有計(jì)量23niiiniiniiiniiiniiiixxyyxxxxxyyxxxyyx1211111111001101niiiixyxn 計(jì)量24下0 在假設(shè)前提1

11、21211niiniiniiixxxxyyxxxy10易得：2.3 OLS的操作技巧計(jì)量25擬合值與殘差OLSE的代數(shù)性質(zhì)擬合優(yōu)度擬合值和殘差 擬合值：定義y在x= 的擬合值為 殘差：觀察值 與其擬合值的差。 為正，則回歸線低估了 ；為負(fù)則回歸線高估了 ；無數(shù)據(jù)點(diǎn)是必須在回歸線上。ixixy10iiiixyu10iyiyiyOLS統(tǒng)計(jì)量的代數(shù)性質(zhì) OLS殘差和及其樣本均值均為零殘差和及其樣本均值均為零 代數(shù)表示代數(shù)表示 由由OLS的一階條件得出的一階條件得出計(jì)量27 01niiu01101niiixynOLSE的代數(shù)性質(zhì) 回歸元和回歸元和OLS殘差的樣本協(xié)方差為零殘差的樣本協(xié)方差為零 代數(shù)表示

12、代數(shù)表示 由由OLS的一階條件得出的一階條件得出計(jì)量2801niiiux01101niiiixyxnOLSE的代數(shù)性質(zhì) OLS回歸線過樣本幾何中心 代數(shù)表示 擬合值的樣本均值與 的均值相等 擬合值與殘差之間的樣本協(xié)方差為0計(jì)量29xy10),(yxiyiiyy 0),cov(iiuy擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度 定義定義 總平方和總平方和SST 解釋平方和解釋平方和SSE 殘差平方和殘差平方和SSR 計(jì)量計(jì)量30 2yyi 2yyi 2iu擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度 SST=SSE+SSR的證明的證明計(jì)量計(jì)量31，所以得證0 又因?yàn)镾SE 2SSR 222222yyuyyuyyyyuuyyuyyyyyyiiiiii

13、iiiiiiii擬合優(yōu)度 擬合優(yōu)度（又稱判定系數(shù)） 我們定義R2 = SSE/SST = 1 SSR/SST為擬合優(yōu)度，又稱判定系數(shù)，總是介于0到1之間 一個(gè)接近于1的判定系數(shù)表明OLS給出了一個(gè)良好的擬合，一個(gè)于0的判定系數(shù)表明OLS給出了一個(gè)糟糕的擬合計(jì)量322.4 度量單位和函數(shù)形式度量單位和函數(shù)形式 改變度量單位對(duì)改變度量單位對(duì)OLS統(tǒng)計(jì)量的影響統(tǒng)計(jì)量的影響 在簡單回歸中加入非線性因素在簡單回歸中加入非線性因素 “線性線性”回歸的含義回歸的含義計(jì)量計(jì)量33改變度量單位對(duì)OLS統(tǒng)計(jì)量的影響 、 的計(jì)量單位 、 的經(jīng)濟(jì)含義是什么？ X單位改變，y不變，影響 ，不影響 y單位改變，不管X是否

14、變化，影響 、 如果定義如果定義roedec = roe/100，那么樣本回歸線將會(huì)從，那么樣本回歸線將會(huì)從(estimated salary)=963.191 + 18.501roe改變到改變到(estimated salary)=963.191 + 1850.1roedec計(jì)量3401010110在簡單回歸中加入非線性因素 非線性因素的必要性：線性關(guān)系并不適合所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用 通過對(duì)因變量和自變量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亩x，我們可以在簡單回歸分析中非常容易地處理許多y和x之間的非線性關(guān)系 例子：工資教育模型，計(jì)量35自然對(duì)數(shù)形式計(jì)量36計(jì)量37變量非線性模型中的斜率： 線性模型 邊際貢獻(xiàn) 線性-對(duì)數(shù)模

15、型 半彈性 對(duì)數(shù)-線性模型 半彈性 對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)模型 彈性經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子（x代表投資，y代表GDP)uxyuxyuxyuxyln3 . 131. 0ln115. 067. 0lnln12029887. 0368OLS估計(jì)量的期望值和方差 OLS的無偏性的無偏性 OLS估計(jì)量的方差估計(jì)量的方差計(jì)量38OLS的無偏性的無偏性 我們首先在一組簡單假定的基礎(chǔ)上構(gòu)建我們首先在一組簡單假定的基礎(chǔ)上構(gòu)建OLS的無偏性。的無偏性。假定假定SLR.1 線性于參數(shù)在總體模型中，因變量y與自變量x的誤差項(xiàng)u的關(guān)系如下： 其中， 和 分別表示總體的截距和斜率參數(shù)。計(jì)量3901yxu01OLS的無偏性的無偏性假定假定SL

16、R.2 隨機(jī)抽樣 我們具有一個(gè)服從從整體模型方程 的隨機(jī)樣本 : i=1,2n，其樣本容量為n.（更強(qiáng)假定：x非隨機(jī)或固定，y獨(dú)立同分布）計(jì)量4001yxu),(iiyxOLS的無偏性的無偏性假定假定SLR.3 解釋變量的樣本有變異x的樣本結(jié)果即 ,i=1,n 不是完全相同的數(shù)值。計(jì)量41ix0)()var(2nxxxOLS的無偏性的無偏性假定假定SLR.4 零條件均值（或稱嚴(yán)格外生假定、均值獨(dú)立假定） 給定解釋變量的任何值，誤差的期望值都是零。換言之,E(u|x)=0恒成立。恒成立。暗含以下兩個(gè)假定：1.隨機(jī)項(xiàng)的條件均值等于無條件均值，隨機(jī)項(xiàng)u均值獨(dú)立于所有解釋變量。2.表明模型函數(shù)形式設(shè)定

17、正確，即不存在函數(shù)形式設(shè)定偏誤，內(nèi)有變量遺漏問題，解釋變量也不存在系統(tǒng)的測量誤差。計(jì)量42OLS的無偏性的無偏性 定理定理2.1 在在SLR.1-SLR.4下,對(duì) 的任何值，我們都有 ,換言之公式的推導(dǎo)：引理: 計(jì)量431 10 0 和和0011(),()EE0011,對(duì)而言是無偏的對(duì)而言是無偏的1(1)(- )0niix x1111(2)( - )()( - )()( - )nnnniiiiiiiiiiix xyyx x yxnx yx x y1111(3)()()()()( - )nnnnxiiiiiiiiiiiSSTxxxxxx xxnx xx x xOLS的無偏性的無偏性 計(jì)量4401

18、11111( - )()( - )( - )()()()nnniiiiiiiiiinxxiiix xyyx x yx xxuSSTSSTxx xx0111111111=(- )+(- )+(- )0(- )(- )(- )nnniiiiiiiinniiiiiinxiiix xx xxx x ux x xx x uSSTx x u分子OLS的無偏性的無偏性 于是有計(jì)量451111111( - )1()( - )1()-nxiiniiiixxniiiiixSSTx x ux x uSSTSSTd udx xSST其中1111111111()()()()( )1()*0nniiiiiixxniixE

19、E d ud E uSSTSSTdSSTOLS的無偏性的無偏性計(jì)量46010110110011011011()()()=E()+E()( )()0(.()2.1yxxuxxuExE uEE故有利用至此，定理證畢OLS估計(jì)量的方差估計(jì)量的方差 除了知道 的抽樣分布是以 為中心的以外，知道我們預(yù)期的 究竟離 多遠(yuǎn)也非常重要。在其他條件不變的情況下，這就容許我們從所有的無偏估計(jì)量中選擇一個(gè)最佳估計(jì)量。度量估計(jì)量 分布的分散程度，最容易操作的一個(gè)指標(biāo)就是其方差或者標(biāo)準(zhǔn)差。為了便于表示出估計(jì)量的方差，這里我們加入條假設(shè)SLR.5計(jì)量4711111OLS估計(jì)量的方差估計(jì)量的方差u假定假定SLR.5(同方差

20、性同方差性)給定解釋變量的任何值，誤差都具有相同給定解釋變量的任何值，誤差都具有相同的方差，換言之：的方差，換言之：Var(u|x)=u同方差的假定簡化了同方差的假定簡化了 方差的計(jì)算，而方差的計(jì)算，而且還意味著且還意味著OLS具有某種有效性。然而具有某種有效性。然而當(dāng)當(dāng)Var(u|x)是是x的函數(shù)事，往往就會(huì)出現(xiàn)的函數(shù)事，往往就會(huì)出現(xiàn)異方差的情形。異方差的情形。計(jì)量4821一個(gè)工資方程中的異方差性一個(gè)工資方程中的異方差性 其他條件不變情況下，其他條件不變情況下，educ對(duì)對(duì)wage的影響時(shí)的影響時(shí)無偏估計(jì)量，我們假定無偏估計(jì)量，我們假定E(u|educ)=0,若同時(shí)假若同時(shí)假定定Var(u|x)= ,即工資相對(duì)于其均值的波動(dòng)不即工資相對(duì)于其均值的波動(dòng)不依賴于受教育水平。在現(xiàn)實(shí)中這或許不太可能。依賴于受教育水平。在現(xiàn)實(shí)中這或許不太可能。 這是因?yàn)榻邮芰烁嘟逃娜丝赡苡懈鼜V泛的這是因?yàn)榻邮芰烁嘟逃娜丝赡苡懈鼜V泛的興趣和更多的就業(yè)機(jī)會(huì)，從而導(dǎo)致收教育程度興趣和更多的就業(yè)機(jī)會(huì)，從而導(dǎo)致收教育程度越高，工資變異越大；受教育水平越低，工資越高，工資變異越大；受教育水平越低，工資變異越小。圖形見下張變異越小。圖形見下張PPT 計(jì)量492spring 2012計(jì)量50OLS估計(jì)量的方差估計(jì)量的方差計(jì)量5112122122212221()(