不規(guī)則物體的質(zhì)心計(jì)算與展示

1、1 質(zhì)心質(zhì)心2 質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理高速閃光燈拍攝的扳手在光滑桌面上作運(yùn)動(dòng)的情況高速閃光燈拍攝的扳手在光滑桌面上作運(yùn)動(dòng)的情況 三三 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1 質(zhì)心質(zhì)心水平上拋三角板水平上拋三角板運(yùn)動(dòng)員跳水運(yùn)動(dòng)員跳水投擲手榴彈投擲手榴彈其中其中 為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量12immmm若令系統(tǒng)總動(dòng)量若令系統(tǒng)總動(dòng)量 ciivmvmp質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng)可以等效為一個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng)可以等效為一個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)C 的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。i icm rrmiicmvvmiidrvdtiiiidrmmdrdtmmdtccdrvdt如何確定這個(gè)如何確定這個(gè)點(diǎn)的位置？點(diǎn)

2、的位置？ niiniiicmrmr11質(zhì)心質(zhì)心(質(zhì)量中心質(zhì)量中心)：質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的質(zhì)量分布的平均位置平均位置。直角坐標(biāo)系中，直角坐標(biāo)系中，各各分量分量的表達(dá)式的表達(dá)式111111, , nnniiiiiiiiicccnnniiiiiim xm ym zxyzmmm點(diǎn)點(diǎn)C的位矢是質(zhì)點(diǎn)系的位矢是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)各質(zhì)點(diǎn)位矢點(diǎn)位矢的質(zhì)量的質(zhì)量加權(quán)平均加權(quán)平均。例：例：任意三角形的每個(gè)頂點(diǎn)有一質(zhì)量任意三角形的每個(gè)頂點(diǎn)有一質(zhì)量m，求質(zhì)心。，求質(zhì)心。xyo（x1, y1）x21212033cmxmxxxxm110033cmyyym對對兩質(zhì)點(diǎn)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，質(zhì)心位系統(tǒng)，質(zhì)心位置總滿足關(guān)系式：置總滿足關(guān)系式：m

3、1d1 = m2d2d1d2Cm1m2o對質(zhì)量對質(zhì)量連續(xù)分布連續(xù)分布的物體，的物體，將其分為將其分為n個(gè)小質(zhì)元個(gè)小質(zhì)元11niiicr mrrdmmm111, , cccxxdmyydmzzdmmmm直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)系中的分量分量表達(dá)式表達(dá)式坐標(biāo)系的選擇不同，質(zhì)心的坐標(biāo)系的選擇不同，質(zhì)心的坐標(biāo)坐標(biāo)也不同；也不同；密度均勻，形狀對稱密度均勻，形狀對稱的物體，其質(zhì)心在物體的的物體，其質(zhì)心在物體的幾何中心幾何中心處；處；質(zhì)心質(zhì)心不一定在物體上不一定在物體上，例如：圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上。，例如：圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上。線分布：線分布：mdmdll面分布：面分布：mdmdSS體分布：體分布：

4、mdmdVV例：例：已知半圓環(huán)質(zhì)量為，已知半圓環(huán)質(zhì)量為，半徑為半徑為求：求：它的質(zhì)心位置？它的質(zhì)心位置？解：解：建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 取取dl dm=l ldldl=Rd 線密度線密度MRlMdmRdRcydmyM0cx 由對稱性由對稱性sinyR0sinsinMRRdRdRM 2( cos )(1 1)0RRR質(zhì)心不在物體上，但質(zhì)心不在物體上，但相對半圓環(huán)位置固定相對半圓環(huán)位置固定orR例：例：求半徑為求半徑為R的半球形球殼的質(zhì)心的半球形球殼的質(zhì)心22dm(r dl)(r Rd ) 22 R sin d 半球殼的總質(zhì)量為半球殼的總質(zhì)量為2220d2sind2mmRR如圖將球殼細(xì)分成

5、無數(shù)多細(xì)環(huán)，細(xì)環(huán)如圖將球殼細(xì)分成無數(shù)多細(xì)環(huán)，細(xì)環(huán)半徑記為半徑記為r，設(shè)設(shè)球殼質(zhì)量球殼質(zhì)量面密度面密度為為 ，則其中任一則其中任一細(xì)環(huán)的質(zhì)量細(xì)環(huán)的質(zhì)量為為320212 20 2ccx,yRR sincosdydmmR 解：解：根據(jù)根據(jù)對稱性對稱性，細(xì)環(huán)的質(zhì)心位于，細(xì)環(huán)的質(zhì)心位于y軸。軸。rRsinyRcos半球殼質(zhì)心的位置半球殼質(zhì)心的位置例：例：計(jì)算如圖所示的計(jì)算如圖所示的面密度面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：解：取如圖所示的坐標(biāo)系取如圖所示的坐標(biāo)系取微元取微元ds=dxdy，質(zhì)量為，質(zhì)量為dm=ds=dxdy 質(zhì)心的質(zhì)心的x 坐標(biāo)坐標(biāo)為為cxdmx d

6、xdyxdxdyxdmdxdydxdyxbaay 從圖中看出三角形斜邊的方程為從圖中看出三角形斜邊的方程為 ()xdy dx ()ax ax dxb12ab023222()122()()2333bcax ax dxbxabaabbababbbabab同理同理0023aaxbbcydxdyayab 質(zhì)心的坐標(biāo)為質(zhì)心的坐標(biāo)為 3,3ab例：例：半徑為半徑為R的的大球大球內(nèi)有一個(gè)半徑為內(nèi)有一個(gè)半徑為R/2的的球形空腔球形空腔，空腔的下部，空腔的下部放置了一個(gè)半徑為放置了一個(gè)半徑為R/4的的小球小球。已知大球和小球的。已知大球和小球的質(zhì)量密度相同質(zhì)量密度相同。求：求：系統(tǒng)的質(zhì)心。系統(tǒng)的質(zhì)心。解：解：該

7、系統(tǒng)可看成由該系統(tǒng)可看成由質(zhì)量分布均勻質(zhì)量分布均勻(無空腔無空腔)的的大、中、小大、中、小三個(gè)三個(gè)球體組成，它們各自的球體組成，它們各自的質(zhì)心質(zhì)心分分別處于球心處。別處于球心處。中球的質(zhì)量為負(fù)中球的質(zhì)量為負(fù)。oxy大球：大球：中球：中球：小球：小球：10116400mm , x, y2220082m,xR/ym,303324mm ,xR/ ,yR/設(shè)設(shè)小球小球質(zhì)量為質(zhì)量為m0，則質(zhì)量和質(zhì)心坐標(biāo)分別為：則質(zhì)量和質(zhì)心坐標(biāo)分別為：系統(tǒng)的總質(zhì)量為系統(tǒng)的總質(zhì)量為 032157mmmmm33312312364 8 1V :V :VR : R: R:三個(gè)球體可視為質(zhì)量三個(gè)球體可視為質(zhì)量各自集中在質(zhì)心（球各自

8、集中在質(zhì)心（球心）處的三個(gè)心）處的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)。112233000042577114cm xm xm xm Rm R /Rmxm11223300001228457cm ym ym ym/myRRm 實(shí)例實(shí)例 重心重心是是重力的作用點(diǎn)重力的作用點(diǎn)，質(zhì)心是系統(tǒng)質(zhì)量分布的中心。，質(zhì)心是系統(tǒng)質(zhì)量分布的中心。 當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球而不受重力作用時(shí)，重心這個(gè)概念就當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球而不受重力作用時(shí)，重心這個(gè)概念就失去意義失去意義，但質(zhì)心卻依然存在。但質(zhì)心卻依然存在。 除非除非重力場均勻重力場均勻，否則系統(tǒng)的質(zhì)心與重心通常不，否則系統(tǒng)的質(zhì)心與重心通常不重合。重合。重心重心(Center of Gravity)和質(zhì)心

9、和質(zhì)心( Center-of-Mass)是兩個(gè)是兩個(gè)不同不同的的概念：概念：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表著質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表著質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)整體的運(yùn)動(dòng)，與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同。，與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同。這正是將這正是將實(shí)際物體實(shí)際物體抽象為抽象為質(zhì)點(diǎn)模型質(zhì)點(diǎn)模型的實(shí)質(zhì)。的實(shí)質(zhì)。質(zhì)點(diǎn)系的任何運(yùn)動(dòng)一般都可質(zhì)點(diǎn)系的任何運(yùn)動(dòng)一般都可分解為分解為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和和相對于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)相對于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 小線度物體（其上小線度物體（其上 各處相等），質(zhì)心和重心是重合的。各處相等），質(zhì)心和重心是重合的。 g作用在物體上各部分的重力作用在物體上各部分的重力方向方向平行；重力加速度可以視為平行；重力加速度可以視為常數(shù)常數(shù)。對

10、于地球上體積不太大的物體，重心與質(zhì)心的位置是重合的對于地球上體積不太大的物體，重心與質(zhì)心的位置是重合的。但當(dāng)物體的高度和地球半徑相比較不能忽略時(shí)，兩者就不重合了，但當(dāng)物體的高度和地球半徑相比較不能忽略時(shí)，兩者就不重合了，如高山的重心比質(zhì)心要低一些。如高山的重心比質(zhì)心要低一些。 zrixyxyzmircri011 NiiiNiciirmrrm )(rrriic2 質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系是質(zhì)心參考系是固結(jié)在質(zhì)心上固結(jié)在質(zhì)心上的的平動(dòng)參考系平動(dòng)參考系。質(zhì)心在其中靜止，一般選取質(zhì)心作為質(zhì)心在其中靜止，一般選取質(zhì)心作為坐標(biāo)系坐標(biāo)系的原點(diǎn)。的原點(diǎn)。 i icimrrm質(zhì)心系質(zhì)心系不一定不一定是慣性

11、系，只有是慣性系，只有合外力為零時(shí)合外力為零時(shí)質(zhì)心系才是慣性系。質(zhì)心系才是慣性系。 vvviic質(zhì)心系中的速度質(zhì)心系中的速度求導(dǎo)求導(dǎo)mviiiN10從質(zhì)心系中來看從質(zhì)心系中來看，系統(tǒng)總動(dòng)量，系統(tǒng)總動(dòng)量=0，零動(dòng)量參考系零動(dòng)量參考系 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒在討論碰撞及天體運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常用到質(zhì)心系。在討論碰撞及天體運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常用到質(zhì)心系?？ㄈ挚ㄈ? (冥衛(wèi)一冥衛(wèi)一) )和冥王星組成雙星系統(tǒng)，和冥王星組成雙星系統(tǒng)，它們的共同質(zhì)心在冥王星表面以外。它們的共同質(zhì)心在冥王星表面以外。3 3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1、系統(tǒng)的總動(dòng)量、系統(tǒng)的總動(dòng)量 系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和等于系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速

12、度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積CmivCvirCriz yxOciivmvmp2、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：作用在作用在系統(tǒng)上系統(tǒng)上的的合外力合外力等于系統(tǒng)的等于系統(tǒng)的總質(zhì)量總質(zhì)量與系統(tǒng)與系統(tǒng)質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度的乘積。的乘積。tmmttPFCCdd)(ddddvv 外外CFma外與描述與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律在形式上完全相同。的牛頓第二定律在形式上完全相同。整體的運(yùn)動(dòng)整體的運(yùn)動(dòng)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與與內(nèi)力無關(guān)內(nèi)力無關(guān)，僅取決于外力，如，僅取決于外力，如大力士不能自舉其身。大力士不能自舉其身。 若若質(zhì)點(diǎn)

13、系質(zhì)點(diǎn)系受到的外力的矢量和為零，則受到的外力的矢量和為零，則質(zhì)心質(zhì)心靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)ozllzzm例：例：柔繩下落柔繩下落 一質(zhì)量一質(zhì)量m 長度為長度為 l 均勻柔繩豎直懸掛，其下端均勻柔繩豎直懸掛，其下端剛剛與地面接觸。今使之剛剛與地面接觸。今使之自靜止?fàn)顟B(tài)自靜止?fàn)顟B(tài)下落，下落，求：求：繩下落到所剩的長度為繩下落到所剩的長度為 z 時(shí)，地面對繩的作用力。時(shí)，地面對繩的作用力。設(shè)地面對繩子的作用力設(shè)地面對繩子的作用力N ，繩子的，繩子的質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度 ac ， 建立如圖所示坐標(biāo)系，對建立如圖所示坐標(biāo)系，對整個(gè)繩子整個(gè)繩子：cmamgN未落地部分未落地部分：質(zhì)量：質(zhì)

14、量 ，質(zhì)心的坐標(biāo)為，質(zhì)心的坐標(biāo)為 ，zlmz2121122cmzz(zz)m ll解：解：取取整條繩子整條繩子為研究對象，為研究對象，將柔繩視為將柔繩視為質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系，采用采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。求解。質(zhì)心的坐標(biāo)：質(zhì)心的坐標(biāo)：未落地部分未落地部分+已落地部分已落地部分整條繩整條繩的質(zhì)心坐標(biāo)為的質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心的速度為質(zhì)心的速度為ccdzz dzzvvdtl dtl)(2zlgv質(zhì)心的加速度為質(zhì)心的加速度為2ccdvd zvzdva( v)dtdt lll dtgtvd/d2123czzzag()ggglll31zNmg()l例：例：車在船上的運(yùn)動(dòng)車在船上的運(yùn)動(dòng) 船長船長l1，質(zhì)量，質(zhì)

15、量m1；汽車長；汽車長l2 ，質(zhì)量，質(zhì)量m 2 。汽車。汽車從船尾由從船尾由靜止開始靜止開始向船頭運(yùn)動(dòng)，到達(dá)船頭時(shí)恰好向船頭運(yùn)動(dòng)，到達(dá)船頭時(shí)恰好相對船靜止相對船靜止，求：求：由于汽車的運(yùn)動(dòng)而使由于汽車的運(yùn)動(dòng)而使船移動(dòng)的距離船移動(dòng)的距離。解：解：在在水平方向上水平方向上，車和船組成的，車和船組成的系統(tǒng)所受外力為零，系統(tǒng)所受外力為零，動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒。方法方法1 用動(dòng)量守恒定律（略）用動(dòng)量守恒定律（略）外力外力=0，系統(tǒng)質(zhì)心保持靜止，系統(tǒng)質(zhì)心保持靜止1 1022012()cm xm xmm x1101220212()()()cm xxmxxmmx方法方法2 用質(zhì)心的概念用質(zhì)心的概念ox10 x20

16、 xm1m2設(shè)初始船和車的坐標(biāo)分別為設(shè)初始船和車的坐標(biāo)分別為x10和和x20， 根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)的定義得根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)的定義得t0時(shí)刻時(shí)刻t 時(shí)刻時(shí)刻兩式相減得兩式相減得11220mxmx車的絕對位移為：車的絕對位移為：212112()xxxxll 船移動(dòng)的距離船移動(dòng)的距離111212()mxllmm車的相對位移車的相對位移212()xll 解：解：考慮彈丸為一系統(tǒng)；考慮彈丸為一系統(tǒng)；爆炸爆炸前后系統(tǒng)所受外力沒變，前后系統(tǒng)所受外力沒變，彈丸的彈丸的質(zhì)心質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡都在同的運(yùn)動(dòng)軌跡都在同一拋物線上。一拋物線上。取第一塊碎片的落地點(diǎn)為坐標(biāo)取第一塊碎片的落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正方向，原點(diǎn)，水平向右為正方向，設(shè)設(shè)m1和和m2為兩個(gè)碎片的質(zhì)量；為兩個(gè)碎片的質(zhì)量；設(shè)設(shè)x1和和x2為兩塊碎片落地點(diǎn)距為兩塊碎片落地點(diǎn)距原點(diǎn)的距離；原點(diǎn)的距離；xc為彈丸質(zhì)心距原點(diǎn)的距離。為彈丸質(zhì)心距原點(diǎn)的距離。212211mmxmxmxC 由于由于x1=0 ， m1=m2=mCxx22 即第二塊碎片的落地點(diǎn)的水即第二塊碎片的落地點(diǎn)的水平距離為碎片質(zhì)心與第一塊平距離為碎片質(zhì)心與第一塊碎片水平距離的兩倍。碎片水平距離的兩倍。例：例：設(shè)一個(gè)質(zhì)量為設(shè)一個(gè)質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，到的彈丸，從地面斜拋出去，到最高點(diǎn)最高點(diǎn)處爆炸處爆炸成成質(zhì)量相等質(zhì)量相等的兩塊碎片。其中一塊碎片的兩塊碎片。其中一塊碎片豎直自由