集合論中羅素悖論問題

1、集合論中羅素悖論問題1902年，英國數(shù)學家羅素提出了這樣一個理論：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。然后問N是否為它自身的成員？如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N,也就是說N不是它自身的成員；另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M,也就是說N是它自身的成員。無論出現(xiàn)哪一種情況都將導出矛盾的結論，這就是著名的羅素悖論。平時我們熟悉的大多數(shù)集合都不是自身的成員：例如自然數(shù)集合，有理數(shù)集合，實數(shù)集合，集合1,2,3,4,5,6,N就表示所有這類集合作為元素的新集合.而是自身成員的集合相對少見：例如所有集合的集合.將所有集合分為兩類，第一類中的

2、集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P,第二類所組成的集合為Q,于是有：P=A|AGAQ=A|A年A問,Q$P還是QGQ?若QP,那么根據第一類集合的定義，必有QGQ，但是Q中任何集合都有A年A的性質，因為QGQ,所以QCQ,引出矛盾若QGQ,根據第一類集合的定義，必有QGP,而顯然PGQ=0,所以Q年Q,還是矛盾這就是著名的“羅素悖論”.1有些集合以自己為元素，如“所有集合的集合”，自己是集合，所以也是自己的元素?！?】2可以把集合分為兩類，凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合；凡以自身作為元素的集合稱為第二類集合。顯然每個集合或為第一類集合或為第二

3、類集合。設A為第一類集合的全體組成的集合。如果A是第一類集合，由集合A的定義知：A應該是A的元素，這表明A是第二類集合。如果A是第二類集合，那么A不會是它自身的元素，這表明A是第一類集合。【2】3薩維爾村里有個理發(fā)匠。他給自己立了一條店規(guī)：他只給村子里自己不刮臉的人刮臉。請問：這位理發(fā)師該不該給自己刮臉？【3】以上例子被認為是以自己為元素的集合，由此產生羅素悖論。我們分析一下。1任何事件都發(fā)生在時間軸上，集合的歸納、產生也發(fā)生在時間軸上。在“所有集合的集合”中，前半句“所有集合”中的集合產生的時間在前，后半句“的集合”中的集合產生的時間在后，兩集合產生的時間不同，它們雖然同類、同名但不是同一個

4、集合，所以“所有集合的集合”不是以自己為元素的集合。認為“所有集合的集合”是以自己為元素的集合違反同一律。集合論中沒有時間因素、沒有時間軸，所以不能區(qū)分“所有集合”與“的集合”中兩個集合的不同。同一律、矛盾律、排中律中有時間因素，可以區(qū)分發(fā)生在不同時間的事件。2一個集合是否以自身為元素，需要考察元素與集合在確定環(huán)境（關系、時間）中的實質關系，有實質證據顯示集合與元素在同一環(huán)境內的關系，才能認定集合在此環(huán)境中是哪類集合。例如，有一人a，a相對于子集；兒子時，因a是父親是兒子們的集合，所以a集可稱作“父集”，此“父集”是不以自身為元素的集合，是第一類集合。但當a作a父的子集時，a父是“父集”，這時

5、a以前的所稱“父集”之名對a父就名不副實了，如果在a父的“父集”中仍把a當作“父集”，那么a父的“父集”就可被認為是以自身為元素的集合，是第二類集合，但a父的“父集”實質不以自身為元素，a父的“父集”實質不是第二類集合。同樣，當“第一類集合”成為“第一類集合全體組成的集合”的子集后，它以前的名稱“第一類集合”沒有實質證據顯示此時還是名副其實，不能依據元素在其它環(huán)境的名稱作推論、結論（悖論）。即使有“第一類集合全體組成的第一類集合”，也不是以自己為元素的集合，因為前后兩“集合”生成的時間不同。3理發(fā)師本人與理發(fā)師悖論事件相關的部分是“理發(fā)師的胡須”和“理發(fā)師的刮臉手藝”，與“理發(fā)師的刮臉手藝”相關的是“可被理發(fā)師刮的胡須”，所以理發(fā)師集可以包含“理發(fā)師的胡須”和“可被理發(fā)師刮的胡須”兩個子集。在理發(fā)師悖論中實質的題問是，“可被理發(fā)師刮的胡須”中是否包含“理發(fā)師的胡須”，其中沒有涉及以自身為元素。如果用“理發(fā)師集”替代他自己的兩個子集“理發(fā)師的胡須”和“可被理發(fā)師刮的胡須”，這樣才出現(xiàn)理發(fā)師集是