第二類換元法

1、第二類換元法第1頁，共9頁。第二類換元法第二類換元法思考：思考：求求 dxx11 該不定積分不能直接積分，也不屬于常見的湊微分法的該不定積分不能直接積分，也不屬于常見的湊微分法的類型。類型。 該積分該積分矛盾矛盾在于在于被積函數(shù)含有根式被積函數(shù)含有根式，為了，為了去掉根號去掉根號，我們可以做變量代換，令我們可以做變量代換，令tx 第2頁，共9頁。解解 令令tx 則則2tx tdtdx2 所以所以 dxx11 dttt12 dttt11)1(2 dtt)111(2Ctt )1ln(2上述用的變量代換求積分的方法就是上述用的變量代換求積分的方法就是變量置換法變量置換法。思考：思考：求求 dxx11

2、去根號去根號第二類換元法第二類換元法變量置換法變量置換法也稱為也稱為第二換元法第二換元法第3頁，共9頁。第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法)()(xdxf dxxg )(恒等變形（湊）恒等變形（湊）.)(CxF )(xu 代換代換duuf )(CuF )()(xu 回回代代dxxf )()(ux 令令duuuf)()( CuF )()(1xu 回回代代CxF )(1 第二類換元法第二類換元法 “先湊后換，不如不換先湊后換，不如不換” 一步到位一步到位 但有的問題還得先換但有的問題還得先換. 第4頁，共9頁。. 1nbax 被積函數(shù)含有根式被積函數(shù)含有根式dxx 11. 1求求例例

3、解解，令令ux )0(2 uuxududx2 dxx 11duuu 12duuu 11)1(2)111( 2duu Cuu )1ln(2Cxx )1ln(2回代回代使用第二類換元法的關(guān)鍵是合理地選擇使用第二類換元法的關(guān)鍵是合理地選擇變量代換變量代換：第5頁，共9頁。例例2 2 求求.132dxxx 解解令令6ux ,65duudx dxxx 321 431uuduu56 duuu 162duuu 11162duuu 1116Cuuu |)1|ln21(62Cxxx |1|ln663663nux 可采用令可采用令當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上根式 時，時，. 2lk

4、xx,為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） （其中（其中n回代回代第6頁，共9頁。2222. 3axxa 或或被積函數(shù)含有根式被積函數(shù)含有根式)0(322 adxxa求求例例解解, )2,2(sin uuax，令令 dx 22xauduaua coscosdxxa 22則則duua 22cosduua )2cos1(22Cuua )2sin21(22uax22xa ,sinaxu axau22cos uuucossin22sin 2222xaxa dxxa 22Cxaxaxa 22221arcsin2uacosuduacos第7頁，共9頁。說明：說明：以上三個例子所使用的均為以上三個例子所使用的均為三角代換三角代換. .三角代換的三角代換的目的目的是是化掉根式化掉根式. .一般規(guī)律如下：一般規(guī)律如下：22)1(xa 可令可令,sinuax 22)2(xa 可令可令,tanuax 22)3(ax 可令可令,secuax )2,2( u)2, 0( u)2,2( u當(dāng)被積函數(shù)中含有當(dāng)被積函數(shù)中含有第8頁，共9頁。例例4 4 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln