113導數(shù)的幾何意義－公開課

1、Email: 知識回顧知識回顧00( )( ) f xxf xyxx(1) 函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率幾何意義：幾何意義：OABxyy=f(x)x0 x0+xf(x0)f(X0+x)xy00000()( )( )limlimxxf xxf xyf xxx (2) 導數(shù)的定義導數(shù)的定義割線割線AB的斜率的斜率問題探究問題探究PPnoxyy=f(x)割割線線切線切線T當點當點Pn沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P, ,即即 0時時, ,割線割線PPn 趨于趨于確定位置確定位置PT. .則我們把直線則我們把直線PT稱為稱為曲線在點曲線在點P處的切線處的切線. .xyx圖像觀摩圖像觀摩新課探究新

2、課探究 割線割線PPn的斜率的斜率kn與切線與切線PT的斜率的斜率k有什有什么關系么關系?當點當點Pn無限趨近于點無限趨近于點P即即x0時時, kn無無限趨近于切線限趨近于切線PT的斜率的斜率k .0000()( )limlimnxxf xxf xkkx 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義即即: :0000()( )( )limxf xxf xkf xx 切 線提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; ;用途用途: :函數(shù)函數(shù)f(x)在在x=x0處的導數(shù)就是切線處的導數(shù)就是切線PT的斜率的斜率切線斜率的本質切線斜率的本質函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù).通過

3、通過無限無限逼近逼近的方法，將割線的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為趨于的確定位置的直線定義為切線切線（交點可能不惟一）（交點可能不惟一）適用適用于各種曲線。所以，這種定義于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質才真正反映了切線的直觀本質. . 2l1lxyABC問題：問題：1、回顧如何判斷一條直線為、回顧如何判斷一條直線為圓的切線？圓的切線？對比鞏固對比鞏固2、如左圖、如左圖, 直線直線l1,l2是否為切是否為切線？線？例例1:1:如圖如圖, ,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)數(shù) 的圖象的圖象. .根據(jù)圖象根據(jù)圖象, ,請描述、請描述、

4、比較曲線比較曲線h(t)在在t0, t1, t2 附近的變化情況附近的變化情況. .應用應用2( )4.96.510h ttt例題分析例題分析解：解：我們用曲線我們用曲線h(t)在在t0,t1,t2處的切線，刻畫曲線處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況在上述三個時刻附近的變化情況.(1) 當當t=t0時時,曲線曲線h(t)在在t0處的切線處的切線l0平行于平行于x軸軸.所所以以, 在在t=t0附近曲線比較平坦附近曲線比較平坦,幾乎沒有下降幾乎沒有下降. (2) 當當t=t1時時,曲線曲線h(t)在在t1處的切線處的切線l1的斜的斜h(t1)0. 所以所以, 在在t=t1附近曲

5、線下降附近曲線下降, 即函數(shù)即函數(shù)h(t)在在t=t1附附 近單調遞減近單調遞減. (3)當當t=t2時時,曲線曲線h(t)在在t2處的切線處的切線l2的斜率的斜率h(t2)0. 所以所以,在在t=t2附近曲線下降附近曲線下降, 即函數(shù)即函數(shù)h(t)在在t=t2附近附近也單調遞減也單調遞減. 與與t2相比相比, 曲線在曲線在t1附近下降得緩慢些附近下降得緩慢些.如圖如圖, ,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù) 的的 圖象圖象. . 請描述、比較曲線請描述、比較曲線h(t)在在 t3, t4 附近的變化情況？附近的變化情況？練習練習2( )4.96.510h

6、 tttl4l3應用應用例例2:2:求曲線求曲線y=x2+1在點在點P(1,2)處的切線斜率及切線方程處的切線斜率及切線方程.QPxy-111OjMyx0002200()( )lim(1)1 (1 1)2()limlim2.xxxf xxf xkxxxxxx 求曲線上某點處的切線方程的步驟求曲線上某點處的切線方程的步驟: :21yx解：解：切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.因此, 切線的斜率k=2； 求出函數(shù)求出函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)f(x0); 利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.變式訓練變式訓練2、已知曲線、已知曲線 在點在點 處的切線的斜處的切線的斜率為率為16，則點，則點 的坐標為的坐標為_.22+4yxxpp1、曲線、曲線 在點在點 處的切線的處的切線的傾斜角為傾斜角為( )21-62yx11(1)2，-A.90 。 B.45 。 C.135 。 D.60。（3，30）B一個概念：一個概念：曲線在某點的切線曲線在某點的切線 兩種題型兩種題型: :(1)(1)研究函數(shù)圖像的變化趨勢研究函數(shù)圖像