概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義

1、§2.3連續(xù)型隨機變量及概率密度(一)連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義假設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為I/©出其中f(t)>0o就是說X是連續(xù)型隨機變量,并且非負函數(shù)f(x)是連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.由連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有以下性質(zhì)(Dm=口"二1(3) p"父'小)L(克)(a<b)前面已曾經(jīng)證實,由于連續(xù)型隨機變量是在一個區(qū)間或幾個區(qū)間上連續(xù)取值,所以它在任何一點上取值的概率為零,即假設(shè)X是連續(xù)型隨機變量那么有P(X=x)=0,其中X是任何一個實數(shù).:有P(a<X<b)=P(a&l

2、t;X<b)=P(a<X<b)=p(a(4) f(x)>0證(i)在微積分中積分上限的函數(shù)比對上限x的導數(shù)dxJflax它說明分布函數(shù)是概率密度的原函數(shù),并且證實連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是處處可導函數(shù),所以連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)處處連續(xù).口以-TS=1-0=1(3).P(a<Xwb)=F(b)-F(a)由于F(x)是f(x)的原函數(shù)J：(幻心；二耳*)&二尸g)-斤(編因此,對連續(xù)型隨機變量X在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種:(1)假設(shè)F(x),那么P(a<X<b)=F(b)-F(a)(2)假設(shè)f(x),那么P(a<X&l

3、t;b)=L,a%求(1)cP(-3<X<)(2)2解(1)而時,p(x)=0,二carcsmX11=1.carcsin1一tarcsLii(1)-1.carcsin1-(-arcsuil)-12carcsinl=1-汽一2c一=12x-/a)=(2)產(chǎn)(一34星&=G/必f-二J/心十/石=+-jU=dxn1=UHarcsinx=arcsin-arcsin(-l)注例2.設(shè)連續(xù)函數(shù)變量X的分布函數(shù)為0,A<01F(x)-x2,0<x<11,界之1求：(1)(2)X的概率密度f(x);X落在區(qū)間(0.3,0.7)的概率.0；<0/二以力力*)；0&l

4、t;片<1解:(i)(2)有兩種解法:2/0汗10,其富F0.3<X<0,7)=F(0.7)-F(0,3)=0.7a-0.3?=0.4或者f0.7r01.ATF03星<0-7=麗玉2兀心=/g卜04kF(X)-+arctan羽求正/(x)例21假設(shè)2網(wǎng)解：.x-F(a)=4例2-2假設(shè)x<QXfx求xf(x)/(£)=嚴解：01,乂0(1一屋町0,工0,x0瞬一鍬0三x,*.x<03工尸(工)=?：(齊+以0Wx<2,求兀一/(x)l,2<x例2-3,假設(shè)-/w=Fx)=<i(z:+l)O<A<2=<I,0<

5、;z<2JJ12<0,2Mk解:0A<0;萬一/(五)=,2兀.<x<1,>F(x)小八QI工芯例3.假設(shè)L解：(1)x<0時,f(x)=0,二F(x)=r/力=/0由=0(2)0Vx<1時,產(chǎn)(力=L/出=£%)力+j;/山=Odt+f2成jJo=0+M|"F5)=成=二小池+；加)出+丁成=£°業(yè)+1；Z出+J；Odi=0+人+00,x<0二x-F(jt)-xa,0<x<l1,1<x注2.分段函數(shù)要分段求導數(shù),分段求積分.例4.設(shè)某種型號電子元件的壽命X(以小時計)具有以下的概率

6、密度.1000,彳之1000解：(1)=0-(-1000.2)=一15003.,其他現(xiàn)有一大批此種元件,(設(shè)各元件工作相互獨立),問：(1)任取一只,其壽命大于1500小時的概率是多少(2)任取四只,四只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少(3)任取四只,四只元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少?產(chǎn)你>1500"1二/0沁j+g10001500J15JQ/(2)各元件工作相互獨立,可看作4重貝努利試驗,觀察各元件的壽命是否大于1500小時,2y-鞏4G)表示4個元件中壽命大于1500小時元件個數(shù),那么3,所求概率為尸任=2)=噌)審哈(3)所求概率為9

7、1on祝了之1)=1產(chǎn)=0=1武勺勺二3J813.2均勻分布與指數(shù)分布以下介紹三種最常用的連續(xù)型概率分布,均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布,本小節(jié)先介紹前兩種.定義2.假設(shè)隨機變量X的概率密度為一,<<bb00,其他那么稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布,簡記為XU(a,b)容易求得其分布函數(shù)為0,x<ax-ara<x<bb-al,x>b2.3和圖2.4均勻分布的概率密度f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖像分別見圖圖23圖241均勻分布的概率密度f(x)在a,b內(nèi)取常數(shù)S-鼻,即區(qū)間長度的倒數(shù).均勻分布的均勻性是指隨機變量X落在區(qū)間a,b內(nèi)長度相等的子區(qū)間上的概率都是相

8、等的.均勻分布的概率計算中有一個概率公式.設(shè)萬ug,理,.三I力,即匕de.用,那么d匕=b-a使用這個公式計算均勻分布的概率很方便,比方,設(shè)彳5(.,3,那么2-11F"x=2=-3-03例5.公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,乘客在5分鐘內(nèi)任一時刻到達汽車站是等可能的,求乘客候車時間在1到3分鐘內(nèi)的概率.解：設(shè)X表示乘客的侯車時間,那么XU(0,5),其概率密度為/(*)=1,0<a<50,其它所求概率為3-12=-5-05定義3.假設(shè)隨機變量X的概率密度為俳>00,耳W0其中入>0為常數(shù),那么稱x服從參數(shù)為入的指數(shù)分布,簡記為其分布函數(shù)為f(x)和F(

9、x)的圖形分別見圖2.5和圖2.6指數(shù)分布常被用作各種“壽命的分布,如電子元件的使用壽命、動物的壽命、 的通話時間、顧客在某一服和系統(tǒng)接受效勞的時間等都可以假定服從指數(shù)分布,因而指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用.例：假設(shè)某設(shè)備的使用壽命X(小時)E(0.001)求該設(shè)備使用壽命超過1000小時的概率.解：V入=0.001i-H>o0,x<0.P(1000<X)=P(1000<X<+8)=F(+8)F(1000)=11e-1=e-1=-1(三)正態(tài)分布定義4.假設(shè)隨機變量X的概率密度為<x<-kx)其中M,b2為常數(shù),oo<M<+°°

10、;,b>0,那么稱X服從參數(shù)為M,b2的正態(tài)分布,簡記為XN(2、(1,b)f(x)的圖形見圖2.7習慣上,稱服從正態(tài)分布的隨機變量為正態(tài)隨機變量,又稱正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線.設(shè)XN(然,b2),那么X的分布函數(shù)為J2靄療特別地,當m=0,b=1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布N(0,1).為區(qū)別起見,-e工這一co<x<+oa的X的圖象見圖2.83由于中原是X服從標準正態(tài)即XN0,1時的分布函數(shù),所以有當月時,P=®bA以力上面公式中,不等式中是否有等號并不影響公式的正確性,原因是連續(xù)隨機變量X取一個數(shù)的概率為0,即PX=KO=0所以下面的公式同樣成立P

11、a<X<b)=中0)()P(a=P(a<X<b)=學一標準正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記為何立小,即e2T-co<x<+oa通常我們稱一勸二1(D由定積分的幾何意義及的對稱性可得(一電=1-中以0)=1-由1知麗X在x=0處取得最大值=20(0)=1C>(0)=-=0.520為標準正態(tài)分布函數(shù),它有以下性質(zhì):中年的圖象關(guān)于y軸對稱,且<&-x-J吠工否二J血汗服-蟲+00-孰了=1-中其中標準正態(tài)分布函數(shù)取富)的可用教材中的附表1求得,其中同樣有I中(+00)二1取十)二0I例1.假設(shè)XN(0,1)求(1) P(X<2.12)(

12、2) P(X>0.23)(3) P(-0.2<X<2.12)解：(1)P(X<2.12)=P(X<2.12)=O(2.12)(8)=(2.12)=0.9830(2) P(X>0.23)=P(-0.23<X<+)=O(+8)(一0.23)=1(一0.23)由性質(zhì)(x)=1(x)得(0.23)=1-0(0.23)：P(X>0.23):(0.23)=0.5910(3) P(-0.2<X<2.12):(2.12)(-0.2)=0(2.12)1(0.2)=(2.12)+(0.2)-1=0.9830+0.5793-1=0.5623例2.XN

13、(0,1)時,證實a>0時尸(因<a)=21解：.=(a)一(一a)=(a)1(a)=2(a)1例3.假設(shè)XN(0,1),那么a為何值時,期因“)二°-95解：.-1小河因")=095=2力-1=095田一查標準正態(tài)分布函數(shù)值表(附表1)有以196)=0.975：a=1.96下面我們不加證實地介紹正態(tài)分布有下面結(jié)果假設(shè)XN(然,/),那么有孰(1) X的分布函數(shù)F(x)=aP(a<X哂=飄上上)-("當(2) ：一,公式：XN(1,b之)時P(av3)="空與6(二上)提供了XN(-1)時,計算概率P9<x<切的方法.5-3

14、工3-35/、(丁人玄丁)解：P(3<X<5)=.:=0(1)(0)=0.84130.5=0.3413例5.設(shè)XN(1.5,4),求：(1) PX<3.5(2) P1.5<X<3.5(3) P國>3解：然=1.5b=2,記F(x)為X的分布函數(shù).351.5工人-)=(1)=0.3413(1) PX<3.5=P(8Vx<3.5)=235-151575工工小以一-)-0(-一)=6(1)6(2) P1.5<X<3.5=22=0.8413-0.5=0.3413(3) pJ©>3=1P團<3=1P-3<X<3

15、3-15-3-15玄r-)+軟：一)=1-:=1(0.75)+(一2.25)=1(0.75)+1(2.25)=10.7734+10.9878=0.2388例6.設(shè)XN(然,b2)求X落在區(qū)間然一kb,然+kb概率,其中k=1,2,3(史也匕勺_以(#勺解：P(xkb&X<(1+kb=0r仃=(k)-(-k)=2(k)1.(1)=0.8413,(2)=0.9772,(3)=0.99865尸(一仃與£,M+次=26(1)1=06*26P-2a<X<+2a=2(2)-!=0.9544尸"-3b&*十初二26(3)-1=0.9973從此可以看出：盡

16、管正態(tài)分布取值范圍是(8,+8),但它的值落在M3b,+3(r的概率為0.9973,幾乎是肯定的,這個性質(zhì)被稱為正態(tài)分布的“3b規(guī)那么.為了方便今后的應(yīng)用,對于標準正態(tài)隨機變量,我們引入a分位的定義.定義5.設(shè)XN(0,1)假設(shè)Ua滿足條件PX>Ua=a,0<a<1,那么稱點Ua為標準正態(tài)分布的上側(cè)a分位數(shù)(見圖2.12)例7.用上側(cè)分位數(shù)Ua的定義求(1)U0.005(2)U0.025(3)U0.01(4)U0.05(5) U0.1解：由于P(X>Ua)=aP(X>U")=1P(X<U")=1(U")=0C:(U")

17、=1a(2.58)=0.995U0.005=2.58(2) V(U0.025)=1-0.025=0.975v(1.96)=0.975U0.025=1.96(3) v(U0.01)=1-0.01=0.99(2.33)=0.99u0.01=2.33(4) v(U0.5)=1-0.05=0.95(1.64)=0.95u0.05=1.64(5) v(U0.1)=1-0.1=0.9(1.29)=0.9.u0.1=1.29正態(tài)分布是最常見的一種分布,在實際問題中,許多隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布,例如,一個地區(qū)的男性成年人的身高和體重,測量某個物理量所產(chǎn)生的隨機誤差；一批原棉纖維的長度,某地區(qū)的年降水量

18、等,它們都服從正態(tài)分布,本書第五章的中央極限定理說明：一個變量如果大量獨立,微小且均勻的隨機因素的疊加而生成,那么它就近似服從正態(tài)分布,由此可見,在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論研究和實際應(yīng)用中正態(tài)分布都占有十分重要的地位.例8.某機床生產(chǎn)的零件長度X(mmN(20,0.022),工廠規(guī)定該零件長度在區(qū)間(19.96,20.04)內(nèi)為合格品,求該機床產(chǎn)品的合格率.解：v19.96<X<20.04表示產(chǎn)品合格:合格率為20.04-20.95-20、()-9()P(19.96<X<20.04)=Q-020.02=6(2)(一2)=Q)19(2)=2-1=2x0.9772-1=0.9

19、544例9.測量某零件長度時DE誤差X(mmN(2,9)求(1)誤差絕對值小于5的概率(2)測量三次,誤差的絕對值都小于5的概率(3)測量三次,誤差的絕對值至少有一次小于5的概率F=P(|X|<5)=F(-5<JT<5)5-2-5-2二二(1)-(-23333)解：(1二其中P表示誤差絕對值小于5的事件A的概率P(A)(2)用X表示測量三次,事件A發(fā)生次數(shù).XB(3,P),P=0.8314：P(X=3)鏟(1田二尸n0.84133Mo.573在實際應(yīng)用中,我們常常遇到這樣的情況,所關(guān)心的隨機變量不能直接測量得到,而它卻是某個能直X,而關(guān)心的卻是其截面的面積接測量的隨機變量的函

20、數(shù),例如,我們能測量圓軸截面的直徑這里隨機變量Y就是隨機變量X的函數(shù).設(shè)g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù),稱Y=g(X)為隨機變量X的的一個函數(shù),Y也是一個隨機變量,當X取值x時,Y取值y=g(x),本節(jié),我們將討論如何由的隨機變量X的概率分布去求函數(shù)Y=g(x)的概率分布.先討論X為離散型隨機變量的情況.設(shè)X為離散型隨機變量,其分布律為由于X的可能取值為xiX2,xk,所以Y的可能取值為g(xi),g(X2),g(Xk),可見Y只取有限多個值或可列無窮多個值,故Y是一個離散型隨機變量.當g(xi),g(x2),g(xn)互不相等時,Y的分布律為Y氟麴)皮溝)PPiParPk.當g(xi),g(x2

21、),g(xk),有相等的情況時,那么應(yīng)該把使g(xk)相等的那些xi所對應(yīng)的概率相加,作為Y取值g(x.的概率,這樣得到Y(jié)的分布律.例1.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P0.20.10.30.4求：(1) Y=X3的分布律；(2) Z=X2的分布律.解：(1)Y的可能取值為一1,0,1,8.由于=-1=_1=px=1)-0.2PY=0)=PXi=O)=網(wǎng)0)-0.1PY=1=1=1"03Py=3)=pXy=8=2)=0.4從而Y的分布律為Y-1018P0.20?oT0.4(3) Z的可能取值范圍為0,1,4尸億=0)=2)=P(X=0)=0.1=1)=尸-1)+尸(X=1)=02+

22、03=G5P(2=4=P(X2=4)=PX=2)=0.4那么Z的分布律為Z014-幻I-例2.XB(3,0.4)令2,求p丫=1【答疑編號：10020405針對該題提問】解：由于XB(3,0.4)所以X可能取值為0.1.2.3當X=0時,Y=0,X=1時,Y=1;X=2時,Y=1;X=3時,Y=0所以,Y=1為X=1與X=2其實,由等式2中,當Y=1時,可得X(3X)=2./-環(huán)+2=0,X=1或K=2P(Y=1)=P(X=1)+P(X=2)_CCO,4*0.6y+C3CO.4穴0.6)1=0.724.2連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的概率分布我們可以利用設(shè)X為連續(xù)型隨機變量,其概率密度為fx(x),要

23、求Y=g(x)的概率密度fy(y)如下定理的結(jié)論.定理1.設(shè)X為連續(xù)型隨機變量,其概率密度為fx(x),設(shè)g(x)是一嚴格單調(diào)的可導函數(shù),其值域為(a,0),且g'(x)W0,記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù),由Y=g(x)的概率密度fy(y)為：I的唯其它|特別地,當a=°°0=+°0時,I一)百綺)|A10)1,-8<y<+00例3.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為fx(x),令Y=ax+b其中a,b為常數(shù),aw0解：y=g(x)=ax+b,a=00兒T)=+°°由y=ax+b得x=ak二卜.)=匕上,/?3)aa,由

24、定理1得%(y)0力上)|二七2.例4.XN(然,b),求：一I-(1) 0r的概率密度.(2) Y=aX+b的概率密度.I_式一苦產(chǎn),工營、解：.XN(M,b2)：Xfx(x)后oF=時,第=au刃)=母丸(y)心+)同仃竺吆=,=.e2cr鏡后b=h'(y)=-(2)Y=ax+b時,由y=ax+b得反函數(shù)x=h(y)a口/3)=戶M11133p=e高(ad).y=(以+切N(afi-braa)例4.說明兩個重要結(jié)論；當XN(標準化,另外,正態(tài)隨機變量的線性變換個結(jié)論必須記?。XXfI)時,0rN(0,1)且隨機變量療稱為X的Y=aX+b仍是正態(tài)隨機變量,即aX+N(a(1+b,a

25、%2),這兩例5.設(shè)XU(22),令Y=tanx,求Y的概率密度fY(y).力O)=12解：y=g(x)=tanx,值域為(°°,+°°),反函數(shù)x=h(x)=arctany,十丁記X的概率密度為fx(x),時,6(幻=工/冤力力(M»)|權(quán)8卜工00<y<+0°冗i+y這一概率分布稱為柯西(Cauchy)分布.例6.隨機變量X的概率密度為一,0<480,其他求Y=2X+8的概率密度.解：記Y的分布函數(shù)為Fy(y),那么Y的分布函數(shù)F,(y)=PtrMy)=+8MM=PXM)=居(.其他v8-陰*16,132Q其他例

26、6中求隨機變量函數(shù)的概率密度的方法稱為“直接變換法例6也可用定理一的公式求解x-y-4:用)=-y-Ath'(y)-、=2x+8由y=2x+8得反函數(shù)222由于x的取值范圍為0Vx<4,所以y的取值范圍為8<y<16.當8<y<16時,*"加(加4=4)W=O引當y<8或y>16時,入)二°.一*),8<F<1632以其他例7.假設(shè)XN(30,4)求Y=2x的分布.解：由公式XNI(乩,=竟工+?耿津+瓦,.).YNI(60,16).本章考核內(nèi)容小結(jié)(一)知道隨機變量的概念,會用分布函數(shù)求概率(1)假設(shè)X是離散型隨機變量,那么P(a<x<b)=F(b)-F(a)(2)假設(shè)X是連續(xù)型隨機變量,那么P(a<x<b)=F(b)-F(a)P(awxwb)=F(b)-F(a)P(a<x<b)=F(b)-F(a)P(a<x<b)=F(b)-F(a)(二)知道離散型隨機變量的分布律會求簡單離散型隨機變量的分布律和分布函數(shù),且假設(shè)IXX1應(yīng)Kj,.4PPlP2P3PnQxFplrx1<x<x2;P=產(chǎn)+0工產(chǎn)2為+戶口+用,/工兀0那么(三)掌握三種常用的離散型隨機變量的分布律