(3)物體的平衡

1、第三專題 物體的平衡解題知識與方法研究一、兩種重要的約束二、利用對稱性確定力的方向三、多摩擦點何處“打滑”的確定一、兩種重要的約束1、何謂約束作為研究對象的物體的位置所受到的其他物體的限制，稱為約束.繩的約束使球只能沿球面運動斜面和繩的共同約束使球被限制在斜面上的一圓周上.繩子、物面均為普通的約束！v斜面的約束使球只能沿斜面運動v解題知識與方法研究2-1、光滑鉸鏈2-1-1、概念：使物體上的一點保持不動（在物體其他部分運動時）的一種約束. 2-1-2、分類：為柱鉸鏈和球鉸鏈兩種.1圖2圖3圖圖1、圖2為柱鉸鏈：圖3為球鉸鏈：光滑鉸鏈實例：2、兩種特殊的約束物體可繞柱鉸鏈無摩擦地在二維平面內自由

2、轉動. 可繞球鉸鏈無摩擦地在三維空間自由轉動. 1232-1-3、施力與受力性質:光滑鉸鏈與物體間 的作用力 (彈力)通過鉸鏈的中心（柱軸或球心）鉸鏈的施力與受力實例：受力施力受力施力受力施力2-2、連桿2-2-1、概念：一根輕桿，其兩端分別用光滑鉸鏈和兩物體相連，僅兩端受力.2-2-2、性質：（1）無論靜止還是運動，其兩端受力必為一對平衡力，方向沿桿長方向.（2）通過連桿，只能沿桿長方向向其他物體施力.1vv2Gv連桿實例：G連桿施力1vv2v你能不能證明這一性質？連桿受力其作用在于使兩物體上的兩點的距離一定. 如圖所示的水平放置的由五根輕桿和一個拉力器構成的正方形框架. A、B、C、D四處

3、由鉸鏈連接，AC桿和BD桿交匯處不連接. 如果調節(jié)拉力器，使它產生拉力為T，問：各桿受到的力是拉力還是壓力？各力的大小等于多少？ABCD解ABTADTAD桿：拉力器對鉸鏈A的拉力TAB ( =T )必然水平向右.對鉸鏈A的力不能是向上的壓力，只能是向下的拉力TAD. AC桿：對鉸鏈A只能是壓力TAC，方向沿CA.ACT()ABADT、DCT進而可得到2ACTTTBDT根據對稱性可知：DC桿：對鉸鏈D的拉力TDC=TAB=T, 方向向右.BC桿：BCT 要使AB和AD桿的合力T(AB、AD)與TAC反向且等大，ADABTTT必須研究各桿對鉸鏈的力的大小及性質即可.對鉸鏈B的拉力方向向下.,BCA

4、DTTT例1BD桿： 對鉸鏈B的壓力方向沿DB.2BDACTTT，21OK 五根質量與長度均相同的勻質細棒用質量與線度均可忽略不計的光滑鉸鏈兩兩首尾連成一個五邊形. 今將其一個頂點掛在天花板下.試求平衡時此五邊形的五個頂角. 又若在最下邊的細棒的中點再懸掛一重物，能否使五根細棒構成一個等腰三角形？解 設每根棒質量為m，長為l.TTT12mgmgmg52mg隔離研究左邊兩棒的受力情況：將各棒絞接處的受力進行分解，其受力如圖所示.對左邊上面的棒：0OM由得1115cossinsin22lTlmgmg l對左邊下面的棒：得得由由0 KM2221cossinsin22lTlmgmg l又由幾何關系得1

5、2sinsin2lll32mgT32mg只需求出圖中的 、 即可12例221OKTTTTmgmg12mg52mg由、 兩式得122tantan即22122212sinsin41 sin1 sin代入化簡后，令1sin:x43212129410 xxxx 利用計算器進行一元高次方程的逼近求解432( )1212941f xxxxx令121sinsin2將此三方程簡化為12tanTmg2tanTmg432( )1212941f xxxxx令21OKTTTTmgmg12mg52mg01:x在 的范圍內嘗試取值x)(xf0.1 0.2 0.15 0.17 0.171 0.1715 0.5 -0.24

6、0.16 0.011 0.0031 -0.00085取使 f (x) 最接近零的 x 值： x=0.1715211sinsin0.32852由計算器查得：于是有1sin0.1715,1sinx121sinsin2所以五邊形的個頂角為：側方內頂角為12180189.3下方內頂角為29070.8上方內頂角為1219.8129.9 ,19.20 .假設能構成等腰三角形，看其是否滿足平衡條件.對左側上面的棒，0:OM由得1cossin(5)sin22lTlmgmM gl對下面的棒，0KM由得：1cossin()sin22lTlmgmM gl由此兩式得11sin()sin(5)sin22mglmM gl

7、mM gl解得m=0 這表明在五根細棒質量不為零時不可能構成等腰三角形. 題后總結本例的桿不具有連桿的施力與受力性質；本題的假定法研究非平衡問題時很有用OKTTTTmgmg1()2mM g1(5)2mM gM1(3)2mM g1(3)2mM g即sin0mABDCAvDvBv 四個質量相同的小球A、B、C、D用相同長度的輕質剛性細桿光滑鉸接成一個菱形，開始時菱形為正方形，在光滑的水平面上沿著對角線AC方向以速度v作勻速運動.如圖所示，在它前方有一與速度方向垂直的粘性固定直壁，C球與其相碰后立即停止運動. 試求碰后瞬間A球的速度vA. vABDC解 碰后瞬間各球的運動如圖.III設碰撞中系統(tǒng)所受

8、的沖量為I， 則對整個系統(tǒng)由動量定理得A、B、D球的速度有關系cos45BDAvvv(cos45cos45 )4ABDImvmvmvmv 將 代入化簡得4-2AImvmv設碰撞時C球受到DC、BC桿的沖量為I . 對C球由動量定理得2 cos450IImvmv 即2ImvIxDC、BC桿對C的沖量方向如何？判斷碰后瞬間的形狀和各球速度方向？例3ABDCAvDvBvIII BC桿、DC桿同時對B、D球也有沖量I. II0cos45cos45Imvmv 即2mvI由、式（或D）球，在BC（或DC）方向上由動量定理有對B4-2AImvmv2ImvI.Avv便可解出xABDCAvDvBvx另解碰后瞬間

9、各球的運動如圖.A、B球的速度有關系：cos45BAvv對A，B，桿AB系統(tǒng)，在桿長方向動量守恒：cos452cos45ABmvmvmvcos452 cos45ABvvv即由、消去vB解出.Avv此結果有點意外，該如何解釋 ?vA=vABDCvABDC如圖，若C球與直壁的碰撞不是完全為非彈性、 四個球質量不是全等、直壁不與速度v垂直、 ABCD是長方形、，還有vA=v嗎？ 題后思考vABDCBvAv二、利用力學平衡系統(tǒng)結構的對稱性確定力的方向 如圖，三根不光滑的質量、形狀完全相同的桿對稱的架立在水平不光滑地面上. 試確定各桿受其他桿的作用力的方向？你認為是哪種情況？為什么？對稱：系統(tǒng)的某種屬性

10、、狀態(tài)經某種操作（或變換）后能保持不變，便稱系統(tǒng)的這種屬性、狀態(tài)對此操作（或變換）具有對稱性（或者說是對稱的）.ABCAFCFBF三力斜向上ABCAFCFBF三力斜向下ABC三力水平CFBFAF例PPAWP 如圖所示的機構由兩長兩短的四根輕桿通過光滑鉸鏈連接而成, 四根桿的尺寸已在圖中標出. 機構豎放在光滑水平面上. W和P、P 為所加的外力, 求： （1）平衡時 與 的關系; （2）鉸鏈O對所連接的兩桿的作用力.PP BCONNBF2sinAWF 如圖，AB桿為連桿，其A端受力FA、沿AB方向，B端受力FB沿BA方向.2sinBAWFF于是有解 （1）分解W得BE桿的B端受力 與 為作用與反

11、作用力，BFBF0OM由 得sin2BF aaaaaaaFBAFWDE2sinBBWFF 故BE桿是不是連桿？cosNasinPa研究AB桿：研究BE桿：系統(tǒng)整體受力如圖.例4能否判斷鉸鏈O對連接的兩桿的作用力的方向？對整個機構，0yF由 得2WN 由 解得2tan3WP（2）據 對稱性可知鉸鏈O對BE桿的作用力沿水平方向.0 xF由 知cosBEBFPF方向水平向右.鉸鏈O對CD桿的作用力大小為cot .2CDBEWFFP方向水平向左. 題后總結與思考綜合利用了對稱性分析和連桿的性質；假定FBE傾斜，進行計算，看看結果？PPABCONNFBEBFaaaaaaFBAFWDEcos2sinWPs

12、in2cossin2sinWaNaPa即2sinBWF cot .2WPCDFABC1122何處打滑？何處打滑？1、多摩擦點“打滑”實例 判斷各摩擦點達最大靜摩擦的先、后情況的依據：2、判斷處理的方法三、多摩擦點何處“打滑”的判斷12FF12何處打滑？2-1、已知各處的靜摩擦系數相同，實際 摩擦力始終相等，則可根據各處壓力 大小進行判斷111.fN222fN，12ff ，12=. .N小處將先“打滑”假定一處靜摩擦力達到最大根據平衡條件計算他處所需的摩擦力與他處可能的最大靜摩擦力比較大小何處打滑？12FABC1122何處打滑？F12何處打滑？2-2、已知各處的靜摩擦系數相同，壓力 力始終相等，

13、則可根據各處實際靜摩 擦力的大小進行判斷12NN，12=. .f大處將先“打滑”111.fN212fN，2-3、已知各處壓力、實際靜摩擦力始終相等， 則可根據各處摩擦系數大小進行判斷12NN，12.ff .小處將先“打滑”2-4、一般情況下的判斷方法 如圖，半徑為r、質量為m的三個相同剛性球兩兩接觸放在水平桌面上，用一個高為1.5r的圓柱形剛性圓筒（上下無底）將此三球套在筒內，圓筒的半徑取適當值，使得各球間以及球與筒壁間均保持接觸但無相互作用力. 現取一個質量亦為m、半徑為R的第四個球，放在三個球的上方正中. 設四個球的表面、圓筒的內壁均由相同材料構成，其間的靜摩擦系數均為 （約為0.775）

14、.問：R 取何值時，用手輕輕向上提起圓筒即能將四個球一起提起來？315ABDAD解研究系統(tǒng)已被提起的平衡狀態(tài)對D球:0F豎直由得223sin3cos0.Nfmgf2f2mgN2N1f1只需研究球A和D 球就行了！對所有的四個球：0F豎直由得134.fmg其受力如圖對A球：0F豎直由得122cossin0ffmgN ，0F水平由得221cossin0NfN ，0AM由得120.f rf r其受力如圖N2mg例5223sin3cos0.Nfmg122cossin0.ffmgN221cossin0.NfN120.f rf r134.fmgABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由、 得124.3m

15、gff代入（或者） 得2411cot.33sinNmgmg、代入 得1141cot.33sinNmgmg為使各物體間無滑動，還需滿足：11;fN22.fN將代入得：111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf由于14cos(14cos )4所以只要成立必定成立.315將代入：1514cos34sinABDADf2f2mgmgN2N2N1f1 和R是對應的，通過確定 就能確定R.由幾何關系知cosOADAO23rRr由此可得23 cosrRr211316rr32

16、 31.33r11解 式得：11111cos cos1616，或者11rABCOABCrO為使D球不從中空處掉下去，R還需滿足R OAr綜上可知232 3(1)(1) .333r Rr0cos30rr2(1) .3r32 3133RrABD另解 先確定上球和下球的接觸處E與下球和圓筒的接觸處Y何處先達最大靜摩擦狀態(tài).ADf2f2mgmgN2N2N1f1YE對下面的A球, 0AM由得120.f rf r由此即知12.ffX0XM又由得12+.NXYNXE mgr12+rNNmgXY，所以由此即知12.NN 根據、兩式以及B、Y兩處的最大靜摩擦因數相等，即可斷定E處先于Y處達到最大靜摩擦狀態(tài). 所

17、以只須考慮E處不滑動即可. 此時22.fN 現在你能否判斷：E、Y何處先達最大靜摩擦？對所有四個球，由=0F豎直有ADf2f2mgmgN2N2N1f1YEX134fmg對下面的A球，由0YM 有22sin(cos )N rmgrfrr22sin(1cos )Nmgf即由、式解得243fmg，244 15.3Nmgmg代入式并整理變換得到 2128cos24cos770由式并結合題意解出 11cos.16ABCrO其他同上. 題后思考試比較兩種解答.22fN12ff 有一木板可繞其下端的水平軸轉動，轉軸位于一豎直墻上，如圖所示. 開始時木板與墻面的夾角為15，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為

18、r，在木板外側加一力F使其保持平衡，在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭. 已知木棍與墻面之間和木棍與木板之間的靜摩擦系數分別為1=1.00, 2= 若板緩緩地減小所加的力F，使夾角慢慢張開，木棍下落. 問當夾角張到60時，木棍端面上的箭頭指向什么方向？10.577.3F解當F逐漸減小時，板、墻給棍的摩擦方向如何，大小如何變化？判 斷2N1N2f1f當壓力減小到一定程度，棍受力如圖.o0 0 yxFF由，得00M 由得122+sincosfNfmg，122+ sincos .NfN12.f rf r假如棍與墻接觸點先滑，則此時有11max11ffN而222fN將 代入得mg例6F2N1N2f1fo1122NN由得112(1sin )cosNN由 兩式得1211cossin為何值時此時成立？此式成立則左邊先滑.設 取臨界角0時有003cos=1sin將1、 2值代入，解出0=30 90，().不合題意，舍去當1530時不成立: 當30 60時成立: 棍右接觸點打滑棍左接觸點打滑棍順時針轉動.棍反時針轉動.下面研究最后棍上的箭頭轉向了何方？mg122+ sincos .NfN12.f rf r11max11ffN3cos1sin 有現在你該知道：在 張大的過程中，棍是怎樣轉動的？oooABCABC1h2h3hDrrr右圖