(3)物體的平衡

1、第三專題 物體的平衡解題知識(shí)與方法研究一、兩種重要的約束二、利用對(duì)稱性確定力的方向三、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的確定一、兩種重要的約束1、何謂約束作為研究對(duì)象的物體的位置所受到的其他物體的限制，稱為約束.繩的約束使球只能沿球面運(yùn)動(dòng)斜面和繩的共同約束使球被限制在斜面上的一圓周上.繩子、物面均為普通的約束！v斜面的約束使球只能沿斜面運(yùn)動(dòng)v解題知識(shí)與方法研究2-1、光滑鉸鏈2-1-1、概念：使物體上的一點(diǎn)保持不動(dòng)（在物體其他部分運(yùn)動(dòng)時(shí)）的一種約束. 2-1-2、分類：為柱鉸鏈和球鉸鏈兩種.1圖2圖3圖圖1、圖2為柱鉸鏈：圖3為球鉸鏈：光滑鉸鏈實(shí)例：2、兩種特殊的約束物體可繞柱鉸鏈無(wú)摩擦地在二維平面內(nèi)自由

2、轉(zhuǎn)動(dòng). 可繞球鉸鏈無(wú)摩擦地在三維空間自由轉(zhuǎn)動(dòng). 1232-1-3、施力與受力性質(zhì):光滑鉸鏈與物體間 的作用力 (彈力)通過鉸鏈的中心（柱軸或球心）鉸鏈的施力與受力實(shí)例：受力施力受力施力受力施力2-2、連桿2-2-1、概念：一根輕桿，其兩端分別用光滑鉸鏈和兩物體相連，僅兩端受力.2-2-2、性質(zhì)：（1）無(wú)論靜止還是運(yùn)動(dòng)，其兩端受力必為一對(duì)平衡力，方向沿桿長(zhǎng)方向.（2）通過連桿，只能沿桿長(zhǎng)方向向其他物體施力.1vv2Gv連桿實(shí)例：G連桿施力1vv2v你能不能證明這一性質(zhì)？連桿受力其作用在于使兩物體上的兩點(diǎn)的距離一定. 如圖所示的水平放置的由五根輕桿和一個(gè)拉力器構(gòu)成的正方形框架. A、B、C、D四處

3、由鉸鏈連接，AC桿和BD桿交匯處不連接. 如果調(diào)節(jié)拉力器，使它產(chǎn)生拉力為T，問：各桿受到的力是拉力還是壓力？各力的大小等于多少？ABCD解ABTADTAD桿：拉力器對(duì)鉸鏈A的拉力TAB ( =T )必然水平向右.對(duì)鉸鏈A的力不能是向上的壓力，只能是向下的拉力TAD. AC桿：對(duì)鉸鏈A只能是壓力TAC，方向沿CA.ACT()ABADT、DCT進(jìn)而可得到2ACTTTBDT根據(jù)對(duì)稱性可知：DC桿：對(duì)鉸鏈D的拉力TDC=TAB=T, 方向向右.BC桿：BCT 要使AB和AD桿的合力T(AB、AD)與TAC反向且等大，ADABTTT必須研究各桿對(duì)鉸鏈的力的大小及性質(zhì)即可.對(duì)鉸鏈B的拉力方向向下.,BCA

4、DTTT例1BD桿： 對(duì)鉸鏈B的壓力方向沿DB.2BDACTTT，21OK 五根質(zhì)量與長(zhǎng)度均相同的勻質(zhì)細(xì)棒用質(zhì)量與線度均可忽略不計(jì)的光滑鉸鏈兩兩首尾連成一個(gè)五邊形. 今將其一個(gè)頂點(diǎn)掛在天花板下.試求平衡時(shí)此五邊形的五個(gè)頂角. 又若在最下邊的細(xì)棒的中點(diǎn)再懸掛一重物，能否使五根細(xì)棒構(gòu)成一個(gè)等腰三角形？解 設(shè)每根棒質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l.TTT12mgmgmg52mg隔離研究左邊兩棒的受力情況：將各棒絞接處的受力進(jìn)行分解，其受力如圖所示.對(duì)左邊上面的棒：0OM由得1115cossinsin22lTlmgmg l對(duì)左邊下面的棒：得得由由0 KM2221cossinsin22lTlmgmg l又由幾何關(guān)系得1

5、2sinsin2lll32mgT32mg只需求出圖中的 、 即可12例221OKTTTTmgmg12mg52mg由、 兩式得122tantan即22122212sinsin41 sin1 sin代入化簡(jiǎn)后，令1sin:x43212129410 xxxx 利用計(jì)算器進(jìn)行一元高次方程的逼近求解432( )1212941f xxxxx令121sinsin2將此三方程簡(jiǎn)化為12tanTmg2tanTmg432( )1212941f xxxxx令21OKTTTTmgmg12mg52mg01:x在 的范圍內(nèi)嘗試取值x)(xf0.1 0.2 0.15 0.17 0.171 0.1715 0.5 -0.24

6、0.16 0.011 0.0031 -0.00085取使 f (x) 最接近零的 x 值： x=0.1715211sinsin0.32852由計(jì)算器查得：于是有1sin0.1715,1sinx121sinsin2所以五邊形的個(gè)頂角為：側(cè)方內(nèi)頂角為12180189.3下方內(nèi)頂角為29070.8上方內(nèi)頂角為1219.8129.9 ,19.20 .假設(shè)能構(gòu)成等腰三角形，看其是否滿足平衡條件.對(duì)左側(cè)上面的棒，0:OM由得1cossin(5)sin22lTlmgmM gl對(duì)下面的棒，0KM由得：1cossin()sin22lTlmgmM gl由此兩式得11sin()sin(5)sin22mglmM gl

7、mM gl解得m=0 這表明在五根細(xì)棒質(zhì)量不為零時(shí)不可能構(gòu)成等腰三角形. 題后總結(jié)本例的桿不具有連桿的施力與受力性質(zhì)；本題的假定法研究非平衡問題時(shí)很有用OKTTTTmgmg1()2mM g1(5)2mM gM1(3)2mM g1(3)2mM g即sin0mABDCAvDvBv 四個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B、C、D用相同長(zhǎng)度的輕質(zhì)剛性細(xì)桿光滑鉸接成一個(gè)菱形，開始時(shí)菱形為正方形，在光滑的水平面上沿著對(duì)角線AC方向以速度v作勻速運(yùn)動(dòng).如圖所示，在它前方有一與速度方向垂直的粘性固定直壁，C球與其相碰后立即停止運(yùn)動(dòng). 試求碰后瞬間A球的速度vA. vABDC解 碰后瞬間各球的運(yùn)動(dòng)如圖.III設(shè)碰撞中系統(tǒng)所受

8、的沖量為I， 則對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由動(dòng)量定理得A、B、D球的速度有關(guān)系cos45BDAvvv(cos45cos45 )4ABDImvmvmvmv 將 代入化簡(jiǎn)得4-2AImvmv設(shè)碰撞時(shí)C球受到DC、BC桿的沖量為I . 對(duì)C球由動(dòng)量定理得2 cos450IImvmv 即2ImvIxDC、BC桿對(duì)C的沖量方向如何？判斷碰后瞬間的形狀和各球速度方向？例3ABDCAvDvBvIII BC桿、DC桿同時(shí)對(duì)B、D球也有沖量I. II0cos45cos45Imvmv 即2mvI由、式（或D）球，在BC（或DC）方向上由動(dòng)量定理有對(duì)B4-2AImvmv2ImvI.Avv便可解出xABDCAvDvBvx另解碰后瞬間

9、各球的運(yùn)動(dòng)如圖.A、B球的速度有關(guān)系：cos45BAvv對(duì)A，B，桿AB系統(tǒng)，在桿長(zhǎng)方向動(dòng)量守恒：cos452cos45ABmvmvmvcos452 cos45ABvvv即由、消去vB解出.Avv此結(jié)果有點(diǎn)意外，該如何解釋 ?vA=vABDCvABDC如圖，若C球與直壁的碰撞不是完全為非彈性、 四個(gè)球質(zhì)量不是全等、直壁不與速度v垂直、 ABCD是長(zhǎng)方形、，還有vA=v嗎？ 題后思考vABDCBvAv二、利用力學(xué)平衡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性確定力的方向 如圖，三根不光滑的質(zhì)量、形狀完全相同的桿對(duì)稱的架立在水平不光滑地面上. 試確定各桿受其他桿的作用力的方向？你認(rèn)為是哪種情況？為什么？對(duì)稱：系統(tǒng)的某種屬性

10、、狀態(tài)經(jīng)某種操作（或變換）后能保持不變，便稱系統(tǒng)的這種屬性、狀態(tài)對(duì)此操作（或變換）具有對(duì)稱性（或者說是對(duì)稱的）.ABCAFCFBF三力斜向上ABCAFCFBF三力斜向下ABC三力水平CFBFAF例PPAWP 如圖所示的機(jī)構(gòu)由兩長(zhǎng)兩短的四根輕桿通過光滑鉸鏈連接而成, 四根桿的尺寸已在圖中標(biāo)出. 機(jī)構(gòu)豎放在光滑水平面上. W和P、P 為所加的外力, 求： （1）平衡時(shí) 與 的關(guān)系; （2）鉸鏈O對(duì)所連接的兩桿的作用力.PP BCONNBF2sinAWF 如圖，AB桿為連桿，其A端受力FA、沿AB方向，B端受力FB沿BA方向.2sinBAWFF于是有解 （1）分解W得BE桿的B端受力 與 為作用與反

11、作用力，BFBF0OM由 得sin2BF aaaaaaaFBAFWDE2sinBBWFF 故BE桿是不是連桿？cosNasinPa研究AB桿：研究BE桿：系統(tǒng)整體受力如圖.例4能否判斷鉸鏈O對(duì)連接的兩桿的作用力的方向？對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)，0yF由 得2WN 由 解得2tan3WP（2）據(jù) 對(duì)稱性可知鉸鏈O對(duì)BE桿的作用力沿水平方向.0 xF由 知cosBEBFPF方向水平向右.鉸鏈O對(duì)CD桿的作用力大小為cot .2CDBEWFFP方向水平向左. 題后總結(jié)與思考綜合利用了對(duì)稱性分析和連桿的性質(zhì)；假定FBE傾斜，進(jìn)行計(jì)算，看看結(jié)果？PPABCONNFBEBFaaaaaaFBAFWDEcos2sinWPs

12、in2cossin2sinWaNaPa即2sinBWF cot .2WPCDFABC1122何處打滑？何處打滑？1、多摩擦點(diǎn)“打滑”實(shí)例 判斷各摩擦點(diǎn)達(dá)最大靜摩擦的先、后情況的依據(jù)：2、判斷處理的方法三、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的判斷12FF12何處打滑？2-1、已知各處的靜摩擦系數(shù)相同，實(shí)際 摩擦力始終相等，則可根據(jù)各處壓力 大小進(jìn)行判斷111.fN222fN，12ff ，12=. .N小處將先“打滑”假定一處?kù)o摩擦力達(dá)到最大根據(jù)平衡條件計(jì)算他處所需的摩擦力與他處可能的最大靜摩擦力比較大小何處打滑？12FABC1122何處打滑？F12何處打滑？2-2、已知各處的靜摩擦系數(shù)相同，壓力 力始終相等，

13、則可根據(jù)各處實(shí)際靜摩 擦力的大小進(jìn)行判斷12NN，12=. .f大處將先“打滑”111.fN212fN，2-3、已知各處壓力、實(shí)際靜摩擦力始終相等， 則可根據(jù)各處摩擦系數(shù)大小進(jìn)行判斷12NN，12.ff .小處將先“打滑”2-4、一般情況下的判斷方法 如圖，半徑為r、質(zhì)量為m的三個(gè)相同剛性球兩兩接觸放在水平桌面上，用一個(gè)高為1.5r的圓柱形剛性圓筒（上下無(wú)底）將此三球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)值，使得各球間以及球與筒壁間均保持接觸但無(wú)相互作用力. 現(xiàn)取一個(gè)質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個(gè)球，放在三個(gè)球的上方正中. 設(shè)四個(gè)球的表面、圓筒的內(nèi)壁均由相同材料構(gòu)成，其間的靜摩擦系數(shù)均為 （約為0.775）

14、.問：R 取何值時(shí)，用手輕輕向上提起圓筒即能將四個(gè)球一起提起來？315ABDAD解研究系統(tǒng)已被提起的平衡狀態(tài)對(duì)D球:0F豎直由得223sin3cos0.Nfmgf2f2mgN2N1f1只需研究球A和D 球就行了！對(duì)所有的四個(gè)球：0F豎直由得134.fmg其受力如圖對(duì)A球：0F豎直由得122cossin0ffmgN ，0F水平由得221cossin0NfN ，0AM由得120.f rf r其受力如圖N2mg例5223sin3cos0.Nfmg122cossin0.ffmgN221cossin0.NfN120.f rf r134.fmgABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由、 得124.3m

15、gff代入（或者） 得2411cot.33sinNmgmg、代入 得1141cot.33sinNmgmg為使各物體間無(wú)滑動(dòng)，還需滿足：11;fN22.fN將代入得：111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf由于14cos(14cos )4所以只要成立必定成立.315將代入：1514cos34sinABDADf2f2mgmgN2N2N1f1 和R是對(duì)應(yīng)的，通過確定 就能確定R.由幾何關(guān)系知cosOADAO23rRr由此可得23 cosrRr211316rr32

16、 31.33r11解 式得：11111cos cos1616，或者11rABCOABCrO為使D球不從中空處掉下去，R還需滿足R OAr綜上可知232 3(1)(1) .333r Rr0cos30rr2(1) .3r32 3133RrABD另解 先確定上球和下球的接觸處E與下球和圓筒的接觸處Y何處先達(dá)最大靜摩擦狀態(tài).ADf2f2mgmgN2N2N1f1YE對(duì)下面的A球, 0AM由得120.f rf r由此即知12.ffX0XM又由得12+.NXYNXE mgr12+rNNmgXY，所以由此即知12.NN 根據(jù)、兩式以及B、Y兩處的最大靜摩擦因數(shù)相等，即可斷定E處先于Y處達(dá)到最大靜摩擦狀態(tài). 所

17、以只須考慮E處不滑動(dòng)即可. 此時(shí)22.fN 現(xiàn)在你能否判斷：E、Y何處先達(dá)最大靜摩擦？對(duì)所有四個(gè)球，由=0F豎直有ADf2f2mgmgN2N2N1f1YEX134fmg對(duì)下面的A球，由0YM 有22sin(cos )N rmgrfrr22sin(1cos )Nmgf即由、式解得243fmg，244 15.3Nmgmg代入式并整理變換得到 2128cos24cos770由式并結(jié)合題意解出 11cos.16ABCrO其他同上. 題后思考試比較兩種解答.22fN12ff 有一木板可繞其下端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸位于一豎直墻上，如圖所示. 開始時(shí)木板與墻面的夾角為15，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為

18、r，在木板外側(cè)加一力F使其保持平衡，在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭. 已知木棍與墻面之間和木棍與木板之間的靜摩擦系數(shù)分別為1=1.00, 2= 若板緩緩地減小所加的力F，使夾角慢慢張開，木棍下落. 問當(dāng)夾角張到60時(shí)，木棍端面上的箭頭指向什么方向？10.577.3F解當(dāng)F逐漸減小時(shí)，板、墻給棍的摩擦方向如何，大小如何變化？判 斷2N1N2f1f當(dāng)壓力減小到一定程度，棍受力如圖.o0 0 yxFF由，得00M 由得122+sincosfNfmg，122+ sincos .NfN12.f rf r假如棍與墻接觸點(diǎn)先滑，則此時(shí)有11max11ffN而222fN將 代入得mg例6F2N1N2f1fo1122NN由得112(1sin )cosNN由 兩式得1211cossin為何值時(shí)此時(shí)成立？此式成立則左邊先滑.設(shè) 取臨界角0時(shí)有003cos=1sin將1、 2值代入，解出0=30 90，().不合題意，舍去當(dāng)1530時(shí)不成立: 當(dāng)30 60時(shí)成立: 棍右接觸點(diǎn)打滑棍左接觸點(diǎn)打滑棍順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).棍反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).下面研究最后棍上的箭頭轉(zhuǎn)向了何方？mg122+ sincos .NfN12.f rf r11max11ffN3cos1sin 有現(xiàn)在你該知道：在 張大的過程中，棍是怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)的？oooABCABC1h2h3hDrrr右圖