-偏微分方程差分方法

1、偏微分方程的差分方法 含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程。由于變量的增多和區(qū)域的復(fù)雜性，求偏微分方程的精確解一般是不 可能的，經(jīng)常采用數(shù)值方法求方程的近似解。偏微分方程的數(shù)值方法種類較多，最常用的方法是差分方法。差分 方法具有格式簡單，程序易于實現(xiàn)，計算量小等優(yōu)點，特別適合于規(guī)則區(qū)域上偏微分方程的近似求解。本章將以一些典型的偏微分方程為例，介紹差分方法的基本原理和具體實現(xiàn)方法。 9.1 橢圓型方程邊值問題的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的橢圓型方程是Poisson（泊松）方程 G是x,y平面上的有界區(qū)域，其邊界r為分段光滑的閉曲線。當f（x,y）三0時，方程（9.1）稱為Lapl

2、ace（拉普拉斯）方程。橢圓型方程的定解條件主要有如下三種邊界條件 這里，n表示r上單位外法向，a（x,y）,3（x,y）,丫（x,y）和k（x,y）都是已知白函數(shù)，k（x,y）0。滿足方程（9.1）和上述三種邊值條件之一的光滑函數(shù)u（x,y）稱為橢圓型方程邊值問題的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精確解u（x,y）在區(qū)域G的一些離散節(jié)點（為，y）上的近似值u,j -（xi,yi）。差分方法的基本思想是，對求解區(qū)域G做網(wǎng)格剖分，將偏微分方程在網(wǎng)格節(jié)點上離散化，導(dǎo)出精確 解在網(wǎng)格節(jié)點上近似值所滿足的差分方程，最終通過求解差分方程，通常為一個線性方程組，得到精確解在離散 節(jié)點上的近似值。

3、 設(shè)G=0 xa,0yAm(n0,B(x,Y)Bmn0,E(x,y)0引進半下點x1=為上一h1idio,一22 1 =Yi 1h2,利用一階中心差商公式，在節(jié)點（ :：；：U1:：U1;：U1_2 -(A-)(i,j)(A)(i,j)-(A-)(i-,j)O(h1) x:xh1ex2：x2 A1U(i*j)U(i,j)-A1U(i,j)U(iTj)+O(h；)對工(B*),且類似處理,h1i2，Jh1 5jh1二Y二Y二y (i,j)-U(i1,j)u(i1,j)O(A2) ：x2n 就可推得求解方程(9.9)的差分方程 -ai1,jUi,j.ai,jUi,j.ai,j1Ui,j1,ai,j

4、Ui,j-ai,jUi,j/ee、 (9.10) =f(i,j),(i,j)Gh 其中(Xi,Yi),(i,j)eTh(9.7) (Ijf) 圖 9 9- -2 2 (9.8) 其中 yi-2 i,j）處可有 .2,.h1c、 ai+,jhi(Al.+Ci,j) i%2 aijhi(A1-Ci,j) W2 _2h2 hi,j+=h2-2(Bi.4i+?Di,j)i,j22 ai,j,=hL(B.i-?Di,j) i、2 .2,.、./一_、一 ai,j=hi(A1.+A1)+h2(B1+B1)+Ei, i-,ji-,ji,j-i,j- 2222 顯然，當系數(shù)函數(shù)A(x,y)=B(x,y)=1,

5、C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0時，橢圓型方程(9.9)就成為Poisson方程(9.1),而差分方程（9.10）就成為差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截斷誤差為O（h；+h|）階。 9.1.2一般區(qū)域的邊界條件處理 前面已假設(shè)G為矩形區(qū)域，現(xiàn)在考慮G為一般區(qū)域情形，這里主要涉及邊界條件的處理。 考慮Poisson方程第一邊值問題 Au=f（x,y）,（x,y）wGu=cc（x,y）,（x,y）w 其中G可為平面上一般區(qū)域，例如為曲邊區(qū)域。仍然用兩組平行直線:進行矩形網(wǎng)格剖分，見圖9-3。 如果一個內(nèi)節(jié)點（i,j）的四個相鄰節(jié)點（i+1,j）,（i-1,j）,（

6、i,j+1）和（i,j-1）屬于G=GuI則稱其為正 則內(nèi)點，見圖9-3中打“?！碧栒撸蝗绻粋€節(jié)點（i,j）屬于G且不為正則內(nèi)點，則稱其為非正則內(nèi)點，見圖 9-3中打.”號者。記正則內(nèi)點集合為Gh,非正則內(nèi)點集合為rh。顯然，當G為矩形區(qū)域時，Gh=Gh,rh=h成立。 在正則內(nèi)點（i,j）處，完全同矩形區(qū)域情形，可建立五點差分格式 3Uf,j2Ui,j+u-,jJUi,j書2Ui,j+Ui,j,=fi,j,（i,j）WGh（9.1313） h1h2 在方程（9.13）中，當（i,j）點臨近邊界時，將 因此必須補充非正則內(nèi)點處的方程。 若非正則內(nèi)點恰好是邊界點，如圖9-4中 D點，則利用邊界

7、條件可取UD=a（D） 對于不是邊界點的非正則內(nèi)點，如圖9-4中B 方法。 a.直接轉(zhuǎn)移法.取與點B距離最近的邊界點 值作為U（B）的近似值UB,即UB=U（E）=a（E） 直接轉(zhuǎn)移法的優(yōu)點是簡單易行，但精度較低，只為一階近似。 b.線性插值法.取B點的兩個相鄰點（如圖9-4中邊界點A和正則內(nèi)點C作為插值節(jié)點對u（B）進行線性插值 則得到點B處的方程 線性插值法精度較高，為二階近似。 對每一個非正則內(nèi)點進行上述處理，將所得到的方程與（9.13）式聯(lián)立，就組成了方程個數(shù)與未知量個數(shù)相 一致的線性代數(shù)方程組。求解此方程組就可得到一般區(qū)域上邊值問題（9.12）的差分近似解。 (9.11) (9.12

8、) x=xo+ih1,y=yo+jh2,i,j=0,1,，對區(qū)域G 出現(xiàn)非正則內(nèi)點上的未知量， 點，一般可采用如下兩種處理 （如圖9-4中E點）上的u的 D D 圖9 9- -4 4 對于一般區(qū)域上二階橢圓型方程(9.9)的第一邊值問題，可完全類似處理。 第二、三邊值條件的處理較為復(fù)雜，這里不再討論。 9.2拋物型方程的差分方法 本節(jié)介紹拋物型方程的差分方法，重點討論差分格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性分析。 9.2.1 一維問題 作為模型，考慮一維熱傳導(dǎo)的初邊值問題 :u：2u一、 J=aJ+f(x,t),0cxl,0tT(9.14) 一t二x u(x,0)=中(x),0 xl(9.15) u(0,t)=

9、gi(t),u(l,t)=g2(t),0tT(9.16) 中(x),g1(t)和g2(t)都是已知的連續(xù)的函數(shù)。 現(xiàn)在討論求解問題(9.14)-(9.18)的差分方法。首先對求解區(qū)域G=0WxWl,0t0都會廣生 2 但只能就具體取定的r值進行，并且也不適用 9.2.2差分格式的穩(wěn)定性 前節(jié)構(gòu)造的幾種雙層差分格式都可以表示為如下的矩陣方程形式 kkLikJ.上匚k u=Hu+F 04 u= (9.32) 其中H稱為傳播矩陣。對于顯格式H=A,隱格式H=B-1,六點對稱格式H=（I+B）-1（I+A）。一般的三層格式也可以轉(zhuǎn)化為雙層格式。 為了討論方便，設(shè)在初始層產(chǎn)生誤差S0,且假定右端項Fk的

10、計算是精確的。用uk表示當初始層存在誤差8時, 由差分格式（9.32）得到的計算解，則Uk滿足方程 kIIk-1_LLk u=Hu+F -04,0 u-三 (9.33) 記誤差向量好=uk-uk,則8k滿足方程 ；k=H2,k=1,2, 名0為初始誤差 (9.34) 定義9.1稱差分格式（9.32）是穩(wěn)定的，如果對任意初始誤差 0,誤差向量臚在某種范數(shù)下滿足 k-0,0-0 (9.35) 其中C為與h,無關(guān)的常數(shù)。 這個定義表明，當差分格式穩(wěn)定時，它的誤差傳播是可控制的。 從（9.34）式遞推得到 因此，差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是 Hk|C,0k0,條件(9.37)成立。注意，H=B-1仍為實對稱矩陣，所以古典隱格式對任何網(wǎng)比r0都是穩(wěn) 定的，稱為絕對穩(wěn)定。 例9-3六點對稱格式此時H=(I+B)-1(I+A),利用矩陣A和B的特征值可得到矩陣H的特征值為 則對任意r0,條件(9.37)成立。由于A和B均為實對稱矩陣，且AB=BA,則可驗證H也是實對稱矩陣。所以六點對稱格式是絕對穩(wěn)定的。 習題九 9-1試用五點差分格式求解Poisson方程的邊值問題 其中G=-1x,y1。取步長h=0.5求解。 9-2試寫出求解Laplace方程邊值問題 的