RLC串聯(lián)與并聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特性

1、123 諧振電路諧振電路 含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡(luò)，在含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡(luò)，在某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流波形相位某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流波形相位相同的情況時(shí)，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的相同的情況時(shí)，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱為諧振電路。諧振電路在電子和通信工電路，稱為諧振電路。諧振電路在電子和通信工程中得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)討論最基本的程中得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)討論最基本的RLC串聯(lián)串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特性。和并聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特性。 一、一、RLC串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路 圖圖1215(a)表示表示RLC串聯(lián)諧振電路，圖串聯(lián)諧振電路，圖1

2、215(b)是它是它的相量模型，由此求出驅(qū)動點(diǎn)阻抗為的相量模型，由此求出驅(qū)動點(diǎn)阻抗為 圖圖1215)2412()(| )j (|)1( j)j (ZCLRIUZ 其中其中 )2612()1arctan()()2512()1(| )j (|22RCLCLRZ 當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，時(shí)， ( )=0, 01CLLC1 )2712(10LC 式中式中 稱為電路的固有諧振角頻率。稱為電路的固有諧振角頻率。LC10 |Z(j )|=R,電壓電壓u(t)與電流與電流i(t)相位相同，電路發(fā)生諧振。相位相同，電路發(fā)生諧振。也就是說，也就是說，RLC串聯(lián)電路的諧振條件為串聯(lián)電路的諧振條件為 1. 諧振條件諧振條

3、件)2812(210LCff 當(dāng)電路激勵信號的頻率與諧振頻率相同時(shí)，電路發(fā)生當(dāng)電路激勵信號的頻率與諧振頻率相同時(shí)，電路發(fā)生諧振。用頻率表示的諧振條件為諧振。用頻率表示的諧振條件為 RLC串聯(lián)電路在諧振時(shí)的感抗和容抗在量值上相等，串聯(lián)電路在諧振時(shí)的感抗和容抗在量值上相等，其值稱為諧振電路的特性阻抗，用其值稱為諧振電路的特性阻抗，用 表示，即表示，即 )2912(100CLCL 2. 諧振時(shí)的電壓和電流諧振時(shí)的電壓和電流 RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，阻抗的電抗分量串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，阻抗的電抗分量 0100CLX)3012()j (0 RZ 導(dǎo)致導(dǎo)致 即阻抗呈現(xiàn)純電阻，達(dá)到最小值。若在端口上外加電即

4、阻抗呈現(xiàn)純電阻，達(dá)到最小值。若在端口上外加電壓源，則電路諧振時(shí)的電流為壓源，則電路諧振時(shí)的電流為 )3112(SSRUZUI 電流達(dá)到最大值，且與電壓源電壓同相。此時(shí)電阻、電流達(dá)到最大值，且與電壓源電壓同相。此時(shí)電阻、電感和電容上的電壓分別為電感和電容上的電壓分別為 )328 (SRUIRU)338(jjjSS00LUQURLILU)348(j1jj1SS00CUQURCICU 其中其中 )358(100RRCRLQ Q 稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其數(shù)值等于諧振時(shí)稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其數(shù)值等于諧振時(shí)感抗或容抗與電阻之比。感抗或容抗與電阻之比。 從以上各式和相量圖可見，諧振時(shí)電阻電壓與

5、電壓源從以上各式和相量圖可見，諧振時(shí)電阻電壓與電壓源電壓相等，電壓相等， 。電感電壓與電容電壓之和為零，。電感電壓與電容電壓之和為零，即即 ，且電感電壓或電容電壓的幅度為電壓源，且電感電壓或電容電壓的幅度為電壓源電壓幅度的電壓幅度的Q倍，即倍，即 SRUU0CLUU)3612(RSCLQUQUUU 若若Q1,則則UL=UCUS=UR，這種串聯(lián)電路的諧振稱為，這種串聯(lián)電路的諧振稱為電壓諧振。電壓諧振。圖圖1216 3.諧振時(shí)的功率和能量諧振時(shí)的功率和能量 設(shè)電壓源電壓為設(shè)電壓源電壓為uS(t)=Usmcos( 0t)，則：，則： )90cos()()()90cos()()cos()cos()(0

6、SmLC0SmL0Sm0mtQUtututQUtutRUtIti 由于由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相當(dāng)于虛短路相當(dāng)于虛短路)，任何時(shí)刻進(jìn)，任何時(shí)刻進(jìn)入電感和電容的總瞬時(shí)功率為零，即入電感和電容的總瞬時(shí)功率為零，即pL(t)+pC(t)=0。電感和。電感和電容與電壓源和電阻之間沒有能量交換。電壓源發(fā)出的功電容與電壓源和電阻之間沒有能量交換。電壓源發(fā)出的功率全部為電阻吸收，即率全部為電阻吸收，即pS(t)=pR(t)。 電感和電容吸收的功率分別為：電感和電容吸收的功率分別為： )2sin()()()2sin()90cos()cos()(0SLC0S00mSmLtIQUtptptI

7、QUttIQUtp 電感和電容之間互相交換能量，其過程如下電感和電容之間互相交換能量，其過程如下:當(dāng)電流減當(dāng)電流減小時(shí)，電感中磁場能量小時(shí)，電感中磁場能量WL=0.5Li2減小，所放出的能量全部減小，所放出的能量全部被電容吸收，并轉(zhuǎn)換為電場能量，如圖被電容吸收，并轉(zhuǎn)換為電場能量，如圖12-17(a)所示。當(dāng)電所示。當(dāng)電流增加時(shí)，電容電壓減小，電容中電場能量流增加時(shí)，電容電壓減小，電容中電場能量WC=0.5Cu2減減小，所放出的能量全部被電感吸收，并轉(zhuǎn)換為磁場能量，小，所放出的能量全部被電感吸收，并轉(zhuǎn)換為磁場能量，如圖如圖1217(b)所示。所示。圖圖1217串聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換串聯(lián)電路諧振

8、時(shí)的能量交換 能量在電感和電容間的這種往復(fù)交換，形成電壓和電能量在電感和電容間的這種往復(fù)交換，形成電壓和電流的正弦振蕩，這種情況與流的正弦振蕩，這種情況與 LC串聯(lián)電路由初始儲能引起的串聯(lián)電路由初始儲能引起的等幅振蕩相同等幅振蕩相同(見第九章二階電路分析見第九章二階電路分析)。其振蕩角頻率。其振蕩角頻率 ，完全由電路參數(shù)，完全由電路參數(shù)L和和C來確定。來確定。 LC10 諧振時(shí)電感和電容中總能量保持常量，并等于電感中諧振時(shí)電感和電容中總能量保持常量，并等于電感中的最大磁場能量，或等于電容中的最大電場能量，即的最大磁場能量，或等于電容中的最大電場能量，即 )3712(2S2L2CCLRULLIC

9、UWWW 可以從能量的角度來說明電路參數(shù)可以從能量的角度來說明電路參數(shù) R、L、C變化對電變化對電感和電容電壓感和電容電壓UL= UC的影響。若電阻的影響。若電阻 R減小一半，或電感減小一半，或電感 L增加到增加到4倍倍( 增加一倍增加一倍)，則總能量，則總能量 增增加到加到4倍，這將造成電壓倍，這將造成電壓UL=UC增加一倍。若電容增加一倍。若電容 C減少到減少到 l/4( Q增加一倍增加一倍)， 總能量不變，而電壓總能量不變，而電壓UL= UC增增加一倍?？傊?，加一倍?？傊?， R、L和和 C的改變造成的改變造成 變化的倍變化的倍數(shù)與數(shù)與UL= UC變化的倍數(shù)相同。變化的倍數(shù)相同。 CLRQ

10、122S/ RLUW 2CCUW CLRQ1例例12-7 電路如圖電路如圖12-18所示。已知所示。已知 求求: (l) 頻率頻率 為何值時(shí)，電路發(fā)生諧振。為何值時(shí)，電路發(fā)生諧振。 (2)電路諧振時(shí)電路諧振時(shí), UL和和UC為何值。為何值。 V cos210)(Sttu圖圖1218 解：解：(l)電壓源的角頻率應(yīng)為電壓源的角頻率應(yīng)為 rad/s10rad/s1010116840LC (2)電路的品質(zhì)因數(shù)為電路的品質(zhì)因數(shù)為 1000RLQ 則則 V1000V10100SCLQUUU二、二、RLC并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路 圖圖12-19(a)所示所示RLC并聯(lián)電路，其相量模型如圖并聯(lián)電路，其相量模

11、型如圖12-19(b)所示。所示。圖圖1219)3812()(| )j (|)1( j)j (YLCGUIY 其中其中 )4012()1arctan()()3912()1(| )j (|22GLCLCGY 驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納為驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納為 1.諧振條件諧振條件 )4112(10LC 式中式中 稱為電路的諧振角頻率。與稱為電路的諧振角頻率。與RLC串聯(lián)串聯(lián)電路相同。電路相同。 LC1001LC 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), Y(j )=G=1/R，電壓，電壓u(t)和電流和電流i(t)同相，電路發(fā)生諧振。因此，同相，電路發(fā)生諧振。因此，RLC并聯(lián)電路諧振的條件是并聯(lián)電路諧振的條件是 2.諧振時(shí)的電壓和電流諧振時(shí)的電壓和

12、電流)4212(SSSIRGIYIU RLC并聯(lián)電路諧振時(shí)，導(dǎo)納并聯(lián)電路諧振時(shí)，導(dǎo)納Y(j 0)=G=1/R，具有最小，具有最小值。若端口外加電流源值。若端口外加電流源 ，電路諧振時(shí)的電壓為，電路諧振時(shí)的電壓為SI 電路諧振時(shí)電壓達(dá)到最大值，此時(shí)電阻、電感和電容電路諧振時(shí)電壓達(dá)到最大值，此時(shí)電阻、電感和電容中電流為（見下頁）中電流為（見下頁） )4512(jjj)4412(jjj1)4312( SS00CSS00LSRIQIRCUCIIQILRULIIUGI)4612(00LCRCRLRQ 其中其中 稱為稱為RLC并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其量值等于諧振并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其量值等于諧振時(shí)感

13、納或容納與電導(dǎo)之比。電路諧振時(shí)的相量圖如圖時(shí)感納或容納與電導(dǎo)之比。電路諧振時(shí)的相量圖如圖12-20(b)所示。所示。 由以上各式和相量圖可見，諧振時(shí)電阻電流與電流源由以上各式和相量圖可見，諧振時(shí)電阻電流與電流源電流相等電流相等 。電感電流與電容電流之和為零，。電感電流與電容電流之和為零，即即 。電感電流或電容電流的幅度為電流源電。電感電流或電容電流的幅度為電流源電流或電阻電流的流或電阻電流的Q倍，即倍，即 SIIR0CL II)478(RSCLQIQIII 并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。 圖圖1220 3.諧振時(shí)的功率和能量諧振時(shí)的功率和能量 設(shè)電流源電流設(shè)電流源電流iS(t

14、)=Ismcos( 0t)，則：，則： )90cos()()90cos()()cos()cos()(0SmC0SmL0Sm0mtQItitQItitRItUtu 電感和電容吸收的瞬時(shí)功率分別為：電感和電容吸收的瞬時(shí)功率分別為： )2sin()()()2sin()90cos(cos)(0SLC0S00SmmLtQUItptptQUIttIQUtp 由于由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相當(dāng)于虛開路相當(dāng)于虛開路)，任何時(shí)刻進(jìn)入，任何時(shí)刻進(jìn)入電感和電容的總瞬時(shí)功率為零，即電感和電容的總瞬時(shí)功率為零，即pL(t)+pC(t)=0。電感和電。電感和電容與電流源和電阻之間沒有能量交換。電流源發(fā)出

15、的功率容與電流源和電阻之間沒有能量交換。電流源發(fā)出的功率全部被電阻吸收，即全部被電阻吸收，即pS(t)=pR(t) 。 能量在電感和電容間往復(fù)交換能量在電感和電容間往復(fù)交換(圖圖1221)，形成了電，形成了電壓和電流的正弦振蕩。其情況和壓和電流的正弦振蕩。其情況和 LC并聯(lián)電路由初始儲能引并聯(lián)電路由初始儲能引起的等幅振蕩相同，因此振蕩角頻率也是起的等幅振蕩相同，因此振蕩角頻率也是 ，與串，與串聯(lián)諧振電路相同。聯(lián)諧振電路相同。 LC10圖圖1221 并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換 諧振時(shí)電感和電容的總能量保持常量，即諧振時(shí)電感和電容的總能量保持常量，即 )4812(2S22C2

16、LCLICRCULIWWW圖圖1221 并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換 由于并聯(lián)電路的電壓相同，即由于并聯(lián)電路的電壓相同，即UL=UC=RIS。當(dāng)電阻。當(dāng)電阻R增增加到加到2倍，或電容倍，或電容 C 增加到增加到4倍倍( 增加一倍增加一倍)時(shí)，總時(shí)，總儲能增加到儲能增加到4倍，將導(dǎo)致電流倍，將導(dǎo)致電流IL= IC增加一倍。若電感減小增加一倍。若電感減小到原值的到原值的l/4(Q增加一倍增加一倍)，總能量，總能量 不變，而諧振時(shí)的電不變，而諧振時(shí)的電流流IL= IC增加一倍?？傊?，由增加一倍。總之，由 R、L和和C的改變引起的改變引起 Q值變值變化的倍數(shù)與化的倍數(shù)與IL= IC

17、變化的倍數(shù)相同。變化的倍數(shù)相同。 LCRQ 2LLI 諧振時(shí)電感和電容的總能量保持常量，即諧振時(shí)電感和電容的總能量保持常量，即 )4812(2S22C2LCLICRCULIWWW圖圖1221 并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換并聯(lián)電路諧振時(shí)的能量交換 例例12-8 圖圖12-22(a)是電感線圈和電容器并聯(lián)的電路模型。是電感線圈和電容器并聯(lián)的電路模型。 已知已知R=1 , L=0.1mH, C=0.01 F。試求電路的諧振。試求電路的諧振 角頻率和諧振時(shí)的阻抗。角頻率和諧振時(shí)的阻抗。圖圖1222解：根據(jù)其相量模型解：根據(jù)其相量模型圖圖12-22(b)寫出驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納寫出驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納 2222)(j)(j1j)j (LRLCLRRLRCY2222)(j)()j (LRLCLRRY 令上式虛部為零令上式虛部為零0)(22LRLC 求得求得 22011111QLCLCRLCCLRQ1是是RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)。串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)。 其中其中圖圖1222 當(dāng)當(dāng)Q 1時(shí)時(shí), LC10 代入數(shù)值得到代入數(shù)值得到 rad/s10rad/s1010110101648840 諧